5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述 (Geometric description of transmission of light in crystals) 光在晶体中的传播规律除了利用上述解析方法进行严格的讨论外，还可以利用一些几何图形描述。

5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述 几何图形能使我们直观地看出晶体中光波的各个矢量场间的方向关系，以及与各传播方向相应的光速或折射率的空间取值分布。

几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。 5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述 几何方法仅仅是一种表示方法，它的基础仍然是上面所给出的光的电磁理论基本方程和基本关系。 x1 x2 x3 n1 n2 n3

5.2.2 光在晶体中传播的几何法描述 人们引入了折射率椭球、折射率曲面、波法线曲面、菲涅耳椭球、射线曲面、相速卵形面等六种三维曲面. 折射率椭球 折射率曲面 菲涅耳椭球 射线曲面

1. 折射率椭球 1) 折射率椭球方程 由光的电磁理论知道，在主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度为

1) 折射率椭球方程 故有 在给定能量密度 e 的情况下，该方程为D (D1、D2、D3)空间的椭球面。

1) 折射率椭球方程 若令 则有

它就是在主轴坐标系中的折射率椭球方程。对于任一特定的晶体，折射率椭球由其光学性质(主介电常数或主折射率)唯一地确定。 1) 折射率椭球方程 x1 x2 x3 n1 n2 n3 或 它就是在主轴坐标系中的折射率椭球方程。对于任一特定的晶体，折射率椭球由其光学性质(主介电常数或主折射率)唯一地确定。

若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量 k，再过坐标原点作一平面(k)与 k 垂直。 2) 折射率椭球的性质 若从主轴坐标系的原点出发作波法线矢量 k，再过坐标原点作一平面(k)与 k 垂直。 x3 x1 k

(k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作 ra(k) 和 rb (k)，则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质： 2) 折射率椭球的性质 (k)与椭球的截线为一椭圆，椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记作 ra(k) 和 rb (k)，则可以证明折射率椭球具有下面两个重要的性质： x3 x1 k

①与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光的折射率 n 和 n，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即 2) 折射率椭球的性质 ①与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光的折射率 n 和 n，分别等于这个椭圆的两个主轴的半轴长，即 x3 x1 k

2) 折射率椭球的性质 ②与波法线方向 k 相应的两个特许线偏振光 D 的振动方向 d 和 d，分别平行于 ra 和 rb，即 这里，d 是 D 矢量方向上的单位矢量。

只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球。 2) 折射率椭球的性质 只要给定了晶体，知道了晶体的主介电张量，就可以作出相应的折射率椭球。 x3 x1 k 从而就可以通过上述的几何作图法定出与波法线矢量k 相应的两个特许线偏振光的折射率和 D 的振动方向。

由空间解析几何理论，与波法线 k 垂直的中心截面(k)上的椭圆，应满足下面两个方程： 现在证明上述结论: 由空间解析几何理论，与波法线 k 垂直的中心截面(k)上的椭圆，应满足下面两个方程： x3 x1 k

由于椭圆的长半轴和短半轴是椭圆矢量的两个极值,所以，可以通过对满足(73)式、(74)式的 r2＝x12＋ x22 + x32 求极值来确定 ra(k) 和 rb(k)。

根据拉格朗日待定系数法，引入两个乘数 2l 和 2，构成一个函数:

求解 ra(k) 和 rb(k) 的问题就变成了对 F 求极值的问题。而 F 取极值的必要条件是它对 x1、x2、x3 的一阶导数为零，即

将(76)式的三个式子分别乘以 x1、x2、x3，然后相加，利用(73)式和(74)式关系，得

再将(76)式的三个式子分别乘以 k1、k2、k3，然后相加，并再次利用(73)式关系，得到

将(77)式、(78)式得出的 1 和 2 关系代入(76)式， 可得

这三个方程就是与 k 垂直的椭圆截线矢径 r 为极值时所满足的条件,也就是椭圆两个主轴方向的矢径 ra和 rb 所满足的条件。

将(79)式与(38)式进行比较可见，二式的差别只是符号不同。

如果我们进行如下的代换： 并注意到 Di/0i＝Ei，则(79)式可以写成

这组关系式就是晶体中与 k 相应的两个特许线偏振光的 D 矢量和折射率所遵从的关系(38)式。 考虑到 x1: x2: x3＝D1: D2: D3和 r＝n，r 的方向就是满足(80)式的 D 方向，r 的长度就是满足(80)式的 n。

通过中心与 k 垂直的椭圆截面两个主轴矢径 ra 和 rb 的方向，就是波法线矢量为 k 的两个特许编振光 D 矢量的振动方向，两个半轴长 ra和 rb 就是分别与这两个线偏振光相应的折射率。

椭球的三个半轴长分别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方向一致。 x1 x2 x3 n1 n2 n3

通过椭球中心的每一个矢径方向，代表 D 的一个振动方向，其长度为 D 在此方向振动的光波折射率,故矢径可表示为 r＝nd。所以，折射率椭球有时也称为(d，n)曲面。 x3 x1 k

3)利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法 利用折射率椭球除了确定相应于 k 的两个特许线偏振光 D 矢量的振动方向和折射率外，还可以借助于下述几何方法，确定 D、E、k、s 各矢量的方向。 x3 x1 k

3)利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法 D、E、k、s 矢量都与H 矢量垂直，因而同处于一个平面内，这个平面与折射率椭球的交线是一个椭圆。 O D E B 法线 T 切平面 R x3 x1 k D

3)利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法 如果相应于波法线方向 k 的一个电位移矢量 D 确定了，与该 D 平行的矢径端点为 B，则椭球在B 点的法线方向平行于与该 D 矢量相应的 E 矢量方向。 O D E B 法线 T 切平面 R

现证明如下： 曲面 f(x1，x2，x3)＝C 上某点处的法线方向平行于函数 f 在该点处的梯度矢量 f。由(69)式，折射率椭球方程可写成 所以，

若将 xi＝Din/D 和i＝Di/0Ei代入，上式变为 因而

3)利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法 O D E B 法线 T 切平面 R

3)利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法 几何方法：先过 B 点作椭圆的切线BT，再由O 点向 BT 作垂线OR, 则OR 的方向即是B 点的法线方向,也 就是与 D 相应的 E 的方向。 O D E B 法线 T 切平面 R

3)利用折射率椭球确定D、E、k、s 方向的几何方法 另外，过O 点作BT 的平行线OQ，则 OQ 的方向就是s 的方向，而垂直于OB 的方向OJ 就 k 的方向。 O D E B 法线 T 切平面 R Q J k s

4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质 (1) 各向同性介质或立方晶体 (2)单轴晶体 (3)双轴晶体

在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数 1＝2 ＝ 3,主折射率 n1＝n2＝n3＝n0，折射率椭球方程为 (1) 各向同性介质或立方晶体 在各向同性介质或立方晶体中，主介电系数 1＝2 ＝ 3,主折射率 n1＝n2＝n3＝n0，折射率椭球方程为 这就是说，各向同性介质或立方晶体的折射率椭球是一个半径为 n0 的球。

不论 k 在什么方向,垂直于k 的中心截面与球的交线均是半径为 n0 的圆，不存在特定的长、短轴，因而光学性质是各向同性的。 (1) 各向同性介质或立方晶体 不论 k 在什么方向,垂直于k 的中心截面与球的交线均是半径为 n0 的圆，不存在特定的长、短轴，因而光学性质是各向同性的。 x3 x2 x1

在单轴晶体中，1=2  3 ，或 n1=n2=no，n3=ne  no，因此折射率椭球方程为 (2)单轴晶体 在单轴晶体中，1=2  3 ，或 n1=n2=no，n3=ne  no，因此折射率椭球方程为 显然这是一个旋转椭球面，旋转轴为 x3轴。 x3 x2 x1 x3 x2 x1

(2)单轴晶体 若 ne＞no称为正单轴晶体，折射率椭球是沿着 x3 轴拉长了的旋转椭球；若 ne ＜no，称为负单轴晶体，折射率椭球是沿着 x3 轴压扁了的旋转椭球。

设晶体内一平而光波的 k 与 x3 轴夹角为 ，则过椭球中心作垂直于 k 的平面 (k)与椭球的交线必定是一个椭圆。 no ne

由于旋转椭球的 x1(x2) 轴的任意性，可以假设 (k，x3) 面为 x2Ox3 平面。若建立新的坐标系 O－x1x2x3，使 x3 轴与 k 重合，x1 轴与 x1 轴重合，则 x2 轴在 x2Ox3 平面内。 x3 x2 x2 x3 k x1 x1  (k) no ne ne

这时，(k) 截面即为 x1Ox2 面，其方程为  (k) no ne ne

新旧坐标系的变换关系为 x2 x2 x3 x3 O  (x1, x2, x3) (x1, x2, x3)

将上面关系代入(82)式，再与(83)式联立，就有

经过整理，可得出截线方程为 其中

或表示为 根据折射率椭球的性质，椭圆截线的长半轴和短半轴方向就是相应于波法线方向 k 的两个待许线偏振光的 D 矢量振动方向 d 和 d ,两个半轴的长度等于这两个特许线偏振光的折射率 n 和 n 。

由(84)式可见,这个椭圆有一个半轴的长度为no 方向为x1 轴方向 由(84)式可见,这个椭圆有一个半轴的长度为no 方向为x1 轴方向.如果k 在 x2Ox3 平面内,不论 k 的方向如何，它总有一个特许线偏振光的折射率不变,相应的 D 方向垂直于 k 与 x3 轴所构成的平面,这就是o 光。 x3 x2 x2 x3 k x1 x1  (k) no ne ne

通过作图法，即可确定 o 光的 ED，sk。 x3 x2 x2 x3 k x1 x1  (k) no ne ne x2 x1 x3 De Ee Eo Do k so se   

对于椭圆的另一个半轴，其长度为 ne，且在 x2Ox3 平面上。相应于波法线方向 k 的另一个特许的线偏振光的D矢量在(k,x3)面内，相应的折射率 ne 随 k 的方向变化，这就是 e 光。  (k) no ne ne

通过作图法可以看出，e 光的 D 方向不在主轴方向,因而 E 与 D 不平行，s 与 k 也不平行。这些结果与解析法得到的结论完全一致。 x2 x1 x3 De Ee Eo Do k so se   

下面讨论两种特殊情况： ① ＝0 时，k 与 x3 轴重合，这时，ne＝no，中心截面与椭球的截线方程为

这是一个半径为 no 的圆。沿 x3 轴方向传播的光波折射率为 no ，D 矢量的振动方向除与 x3 轴垂直外，没有其它约束，故 x3 轴为光轴。 k

②＝/2 时，k 与 x3 轴垂直，这时，ne＝ne，e 光的D 与 x3 轴平行。中心截面与椭球的截线方程为

对于正单轴晶体，e 光有最大折射率；而对于负单轴晶体，e 光有最小折射率。运用几何作图法，可以得到 DE，k s。 x3 x2 x1 x3 x2 x1