第二章 平面解析几何初步

第二章 2.4　空间直角坐标系

第二章 2.4.1　空间直角坐标系

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课前自主预习

在直线上，我们可以用一个实数刻画点的位置；在平面上，我们可以用一对有序实数对(x，y)来刻画点的位置；那么在空间中如何来刻画一个点的位置呢？

1．空间直角坐标系： (1)为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与_______________，这样它们中的任意两条____________；轴的方向通常这样选择：________________________________ _____________________________________________.这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系O－xyz，O称作坐标原点． x轴、y轴都垂直 都互相垂直 从z轴的正方向看，x轴的正半轴 沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合

(2)过空间内任意一点P作一个平面平行于平面yOz(这样构造的平面同样垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x就称作点P的________． (3)过点P作一个平面平行于平面xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y.这个数y就称作点P的________． (4)过点P作一个平面平行于平面xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z.这个数z就称作点P的________． x坐标 y坐标 z坐标

2．空间特殊平面与特殊直线： 每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy，叫做_______________． xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如________的点构成的点集，其中x，y为任意的实数； xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如________的点构成的点集，其中x，z为任意的实数； 坐标平面 (x，y,0) (x,0，z )

yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如___________的点构成的点集，其中y，z为任意的实数； x轴是坐标形如________的点构成的点集，其中x为任意实数； y轴是坐标形如________的点构成的点集，其中y为任意实数； z轴是坐标形如________的点构成的点集，其中z为任意实数． (0，y，z) (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z)

3．空间结构： 三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个________．在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为________、________、________、________卦限；在下方的卦限称为________、________、________、________卦限． 卦限 第Ⅰ 第Ⅱ 第Ⅲ 第Ⅳ 第Ⅴ 第Ⅵ 第Ⅶ 第Ⅷ

1．点(2,0,3)位于(　　) A．y轴上　　　　　　　 B．x轴上 C．xOz平面内 D．yOz平面内 [答案]　C [解析]　点(2,0,3)位于xOz平面内．

2．(2014·湖北理，5)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为(　　)

A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和② [答案]　D [解析]　本题考查三视图中正视图、俯视图的的识别，空间直角坐标系，以及空间想象的能力.

由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.解答本题，如果不能深刻地理解正视图与俯视图的定义，或者不会求正视图与俯视图在平面上投影的坐标，就很难想象出正视图与俯视图的形状．

3．过空间中一点A(1,2，－3)作z轴的垂线，交z轴于点M，则垂足M的坐标为________． [答案]　(0,0，－3) [解析]　由于z轴上点的x、y坐标都为0，且z坐标不变仍为－3，故垂足M的坐标为(0,0，－3)．

4．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)、B(2，－5,1)、C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________． [答案]　(5,13，－3)

课堂典例讲练

空间点的坐标 已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．

[解析]　①对于图一，因为D是坐标原点，A、C、D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、D′(0,0,2)． 因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A、C，所以B(2,2,0)． 同理，A′(2,0,2)、C′(0,2,2)． 因为B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，所以B′(2,2,2)．

②对于图二，A、B、C、D都在xD′y平面的下方，所以其z坐标都是负的，A′、B′、C′、D′都在xD′y平面上，所以其z坐标都是零．因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D′(0,0,0)、A′(2,0,0)、C′(0,2,0)、D(0,0，－2)． 同①得B′(2,2,0)、A(2,0，－2)、C(0,2，－2)、B(2,2，－2)．

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标．

空间直角坐标系 已知V－ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．

[点评]　本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴、y轴建系．如以A为顶点AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建系，等等．

如图所示，棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．

空间点的对称问题 在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下： (1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)， (2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)， (3)关于y轴的对称点是P(－x，y)，

那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标： (2)关于横轴(x轴)的对称点是P2________； (3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3________； (4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4________； (5)关于xOy坐标平面的对称点是P5________； (6)关于yOz坐标平面的对称点是P6________； (7)关于zOx坐标平面的对称点是P7________.

[解析]　(1)(－x，－y，－z)．(2)(x，－y，－z)．

求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标． [解析]　如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)．

过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB， 则A与B关于x轴对称，且B(1，－2,1)． ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)； A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．

易错疑难辨析

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝5，|AD|＝4，|AA1|＝4，A1C1与B1D1相交于点P，建立适当的坐标系，求点C、B1、P的坐标．(写出符合题意的一种情况即可)

[辨析]　在空间直角坐标系中，x轴、y轴和z轴的正方向排列次序要符合右手法则，即用右手握住z轴，拇指所指的方向为z轴的正方向，其余四指所指的方向为由x轴正向到y轴正向的转动方向．误解中，坐标系的建立不符合右手法则，因此解答是不正确的．

思想方法技巧

垂线法和垂面法确定点P的位置 　　 在空间直角坐标系中画出下列各点：A(0,1,1)、B(1,0,2)、C(1,2,3)． [解析]　如图所示．

课后强化作业 （点此链接）