第六章 应力状态与强度理论

1 3 3 应力状态的分类: 复杂应力状态 1、单向应力状态：三个主应力中，仅一个不为零的应力状态 2、二向（平面）应力状态：三个主应力中，两个不为零的应力状态； 3 3 3、三向（空间）应力状态：三个主应力均不为零的应力状态； 复杂应力状态 材料力学

应 力 指明 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？ 过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。

( Three-Dimensional State of Stresses ) 三向（空间）应力状态 ( Three-Dimensional State of Stresses ) y x z

( Plane State of Stresses ) 平面（二向）应力状态 ( Plane State of Stresses ) x y

y y x x 单向应力状态 纯剪应力状态 ( Shearing State of Stresses ) ( One Dimensional State of Stresses ) 纯剪应力状态 ( Shearing State of Stresses )

求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力。 二、平面应力状态分析 x y  求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力。 e f

R c 应 力 圆 （Mohr 圆）

应力圆的画法 R (sx ,txy) (sy ,tyx) a D c A d 在s - t坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上 应力对应的点a和d。

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力 应力圆与应力状态对应关系 转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。

c t (sx ,txy) tyx a o txy d (sy ,tyx) 主平面（Principal Plane）：t = 0 的方向面 20 a d A D 主平面（Principal Plane）：t = 0 的方向面 与应力圆上和横轴交点对应的面 主应力（Principal Stresses）：主平面上的正应力 主方向（Principal Direction）：主平面的外法向 (sx ,txy) (sy ,tyx)

主应力表达式 主应力排序 s1 s2  s3 主方向的确定

面内最大和最小切应力 对应于应力圆上的最高点和最低点的面上切应力最大，称为面内最大和最小切应力。 t s o tmax c tmin

a 例2：一点处的平面应力状态如图所示。已知 o t s 解： （1）作应力圆 求（1）主应力；（2）绘出主应力单元体。 C D 120º

（2）根据应力圆的几何关系确定主应力 120º o t s a b 半径 因此主应力为：

（3）绘出主应力单元体。 C D 120º o t s a b s2 s1 s1 s2

2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应 力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要 ★分析： C D 1、本题亦可用解析法求解。 2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应 力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要 已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以 求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。例如：

o t s a 4、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。

五、三向应力状态的概念 三向应力状态——三个主应力均不为零的应力状态； 特例——三个主应力中至少有一个及其主方向是已知的。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。

三向应力状态特例的一般情形 至少有一个主应力及其主方向已知 sy txy tyx sx sz sz sx sy txy tyx

 三向应力状态 的应力圆 s1 s2 s3

t 平行于s3的方向面－其上之应力与s3无关，于是由s1 、 s2可作出应力圆 III 材料力学

t s3 s2 I s s1 II 在-平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域内。 III s1

tmax t tx t t yp xp zp s1 s2 s2 s2 s2 s2 s1 s2 s1 s2 s1 sx s1 s1 s1 I = t ' ' sx tx II s1 s3 s1 s3 s1 s3 III t ' t ' s3 I s2 s1 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：

 三向应力状态中 （方向与 及 成45°角）

 平面应力状态作为三向应力状态的特例 o tmax 200 300 50

O 200 50 300 50

O 300 50

t （M Pa ） (M Pa) 例 求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa） x y z 建立应力坐标系如图，画应力圆和点1′,得: 10 (M Pa) sa （M Pa ） ta B C t max A A B 40 50 30 解：由单元体图知：y z面为主面 s3 s2 s1

六 、 广义胡克定律，应变能密度  各向同性材料的广义胡克定律 1、横向变形与泊松比（各向同性材料） y x --泊松比

2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法 2 + 1 3 +

1 2 3 1 2 3

3 1 2

1 2 3 广义胡克定律

即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。 ★分析： 1、 即 即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。 2、当 时，即为二向应力状态： 3、当 时，即为单向应力状态；

4、若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力 时，则单元体不仅有线变形 ，而且有角变形 。其应力-应 变关系为： y x z

3、三个弹性常数之间的关系

a c 1 3 b 2  体积变形 变形前单元体体积： 变形后单元体体积：

单位体积变形： （体积应变） 利用广义胡克定律： （体积变形 胡克定律） 式中： （体积弹性模量） （平均主应力）

t t ★讨论： 1、单位体积变形 只与三个主应力之和有关，与主应 力的大小比例无关。 2、因为 ，因此 与取轴方向无关，且三 1、单位体积变形 只与三个主应力之和有关，与主应 力的大小比例无关。 2、因为 ，因此 与取轴方向无关，且三 个相互垂直面上的正应变之和不变。 3、若 或 ，则 ，即体积不变。但 因此仅当 时， 例如纯剪切应力状态： t t 45ｏ

纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积 改变与切应力 无关，但形状有改变，即形状改 变与切应力有关。 ★结论： 纯剪切应力状态，具有体积不变性。说明体积 改变与切应力 无关，但形状有改变，即形状改 变与切应力有关。