第3章 离散傅立叶变换 DFS DFS的性质 DFT DFT的性质 圆周卷积 利用DFT计算线性卷积 频率域抽样

有限长序列的傅里叶分析 一、四种信号傅里叶表示 1. 周期为T0的连续时间周期信号 频谱特点： 离散非周期谱

2. 连续时间非周期信号 频谱特点： 连续非周期谱

3. 离散非周期信号 频谱特点： 周期为2的连续谱

4. 周期为N 的离散周期信号 频谱特点：周期为N的离散谱

离散傅里叶级数（DFS） 为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。 一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。

周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为： 但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处， 即 因此

利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ，并对一个周期求和 将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ，并对一个周期求和

上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有 或写为 1) 可求 N 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。

时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。

是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为： 习惯上：记 ，

IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。 DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。

DDFS的几个主要特性： 假设 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为： 1）线性 a,b为任意常数

  2）序列移位 证因为 及 都是以N为周期的函数，所以有

由于 与 对称的特点，同样可证明

  3）共轭对称性 对于复序列 其共轭序列 满足 证: 同理:

进一步可得 共轭偶对称分量 共轭奇对称分量

4）周期卷积 若 则 或

周 期 卷 积

证： 这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0~N-1），称为周期卷积。 例： 、 ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。 结果仍为周期序列，周期为 N 。

由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式， 若 则

离散傅里叶变换（DFT） 我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n)，长为N， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：

周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为： 数学表示： RN（n）为矩形序列。 符号（（n））N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。

例： 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。 因此

频域上的主值区间与主值序列： 周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。 数学表示：

再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式： 这两个公式的求和都只限于主值区间（0~N-1），它们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到一个新的定义——有限长序列离散傅里叶变换定义。

长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为：   x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。 有限长序列隐含着周期性。

离散傅里叶变换的性质 1. 线性 需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT 2. 循环位移(Circular shift of a sequence) 循环位移定义为

DFT时域循环位移特性 DFT频域循环位移特性

3. 对称性(symmetry) 周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为 周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为 当序列x[k]为实序列时，周期偶对称序列满足 当序列x[k]为实序列时，周期奇对称序列满足

对称特性 当x[k]是实序列时

4.循环卷积 h[(-n)N] h[(1-n)N] h[(2-n)N] h[(3-n)N]

卷积定理

序列DFT与z变换的关系 x[k]的 X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样

设序列x[k]的长度为N ] [ m X ¾ ® IDFT k x 变换 Z ) ( z (内插公式)

利用DFT计算线性卷积 一、两个有限长序列的线性卷积 问题提出: 实际需要： LTI系统响应 y[k]=x [k]h[k] 例：x1[k]={1,1,1}, x 2[k]={1,1,0,1} , N=4

线性卷积的矩阵表示

循环卷积的矩阵表示

循环卷积的矩阵表示

若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于x[k] 与h[k]的线性卷积。

直接计算与由DFT间接计算结果比较

问题讨论 若x1[k]为 M 点序列, x2[k]为L 点序列 ， L>M x1[k] L x2[k]中哪些点不是线性卷积的点?

0 k  M-2不是线性卷积的结果，即前(M-1)个点与线性卷积不一样。

线性卷积的矩阵表示

循环卷积的矩阵表示

结论 若x1[k]为 M 点序列, x2[k]为L 点序列 ， L>M x1[k] L x2[k] 则L点循环卷积 k=0 ~M-2, 前M-1个点不是线性卷积的点 k= M-1 ~ L-1 , L-M+1个点与线性卷积的点对应 线性卷积 L ~ L+M-2 后M -1点没有计算

长序列和短序列的线性卷积 直接利用DFT计算的缺点： (1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多 (2) 内存要求大 (3) 算法效率不高 解决问题方法：采用分段卷积 分段卷积可采用重叠相加法 和 重叠保留法

将长序列x[k] 分为若干段长度为L的序列 1. 重叠相加（overlap add） 将长序列x[k] 分为若干段长度为L的序列 其中

y0[k]的非零范围 y1[k-L]的非零范围 序列 y0[k], y1[k]的重叠部分 重叠的点数 L+M-2-L+1=M-1 依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。

重叠相加法分段卷积举例

2.重叠保留法(overlap save) 方法： (1) 将x[k]长序列分段，每段长度为L； (2) 各段序列xn[k]与 M点短序列h[k]循环卷积； (3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。 因 yn[k]=xn [k] L h[k] 前M-1个点不是线性卷积的点 故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。

- x [ k ( M 1)] 1 L 1) ] 2 第一段前需补M-1个零

记 yn[k] =xn [k] L h[k]

y0[k]中的[M-1, L-1]点对应于线性卷积 x[k]*h[k]中的[0 , L-M]点 [ L-(M-1), 2L-M-(M-1)]点

例 已知序列x[k]=k+2,0k12, h[k]={1,2,1}试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积, 取L=5 。 解: 重叠相加法 x1[k]={2, 3, 4, 5, 6} x2[k]={7, 8, 9, 10, 11} x3[k]={12,13, 14} y1[k]={2, 7, 12, 16, 20, 17, 6} y2[k]={ 7, 22, 32, 36, 40, 32, 11} y3[k]={12, 37, 52, 41, 14} y[k]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}

解: 重叠保留法 x1[k]={0, 0, 2, 3, 4} x2[k]={3, 4, 5, 6 ,7} y1[k]= x1[k]h[k]= {11, 4, 2, 7, 12} y2[k]= x2[k]h[k]= {23, 17, 16, 20, 24} y3[k]= x3[k]h[k]= {35, 29, 28, 32, 36} y4[k]= x4[k]h[k]= {47, 41, 40, 44, 48} y5[k]= x5[k]h[k]= {12, 37, 52, 41, 14} y[k]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}