第三节 动量守恒定律

知识梳理图

【知识点】 1.系统､内力和外力. 2.动量守恒定律的内容及表达式. 3.用牛顿运动定律推导动量守恒定律. 4.动量守恒定律的应用.

情景设置 在光滑冰面上的两滑冰者,相对站立,此时一人用力推一下另外一个人,你会发现两个人同时开始向相反的方向运动,分开始两者的速度大小除了跟推开时作用的力有关外,还跟哪些因素有关?你仔细分析一下,能给出其中的原因吗?如图所示.

深化探究 一､系统､内力和外力 1.系统:相互作用的两个或几个物体所组成的物体体系. 2.内力:系统内各物体之间的相互作用力叫做内力. 3.外力:系统以外的其他物体对系统中任何物体的作用力叫做外力.

二､动量守恒定律 1.动量守恒定律的理论推导 如图所示,在水平桌面上做匀速运动的小球,质量分别为m1和m2,沿着同一直线向相同的方向运动,速度分别是v1和v2,且v2>v1,当第二个小球追上第一个小球时两球碰撞,碰后的速度分别为v1′和v2′,碰撞过程中第一个小球所受另一个小球对它的作用力是F1,第二个小球受另一个小球的作用力是F2,根据牛顿第二定律,碰撞过程中m1､m2两球的加速度分别是a1= ,a2= 根据牛顿第三定律,F1和F2是作用力反作用力,大小相等,方向相反,即F1=-F2, 所以m1a1=-m2a2

碰撞时两球之间的作用时间很短,用Δt表示,这样根据加速度的定义可知,m1的加速度a1= ,m2的加速度a2= 代入上式m1a1=-m2a2,并整理得到m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′,式中m1v1表示球m1碰前的动量,m2v2表示碰前m2的动量,而m1v1′为碰后m1的动量,m2v2′为碰后球m2的动量. 上式说明,两球碰前动量之和等于碰后两球动量之和,即碰撞过程中系统的总动量守恒,这就是动量守恒定律,即p=p′.

2.动量守恒定律 (1)动量守恒定律的内容:如果一个系统不受外力或者所受外力的矢量和为零,这个系统的总动量保持不变,这就是动量守恒定律. (2)数学表达式:p=p′ 在一维情况下,对于A､B两物体组成的系统有: m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′ 式中各物理量的含义:m1､m2表示系统中两物体的质量,v1､v2表示作用前两物体的速度,v1′､v2′表示作用后系统中两物体的速度.

注意:①动量守恒定律的表达式为矢量表达式,在一维情况下规定正方向,物体的速度与规定方向一致的为正,与规定正方向相反的为负. ②式中各速度都是相对同一参考系的,一般以地面为参考系.

3.动量守恒定律的条件 (1)系统内的任何物体都不受外力作用,这是一种理想化的情形,在这种情形下系统的总动量守恒. (2)系统虽然受到了外力作用,但所受外力的合力为零.像光滑水平面上两物体碰撞的情形,两物体所受的重力和支持力的合力为零,此时系统的总动量保持不变.

(3)系统所受的外力不为零,但系统受到的外力远远小于系统内物体间的内力时,系统的总动量近似守恒,该情形下可应用动量守恒定律解决相关问题,如抛出的手榴弹在空中爆炸的瞬间,火药的内力远大于重力,重力完全可以忽略,动量近似守恒. (4)系统所受合外力不为零,但某方向上的合力为零或不受外力,那么该方向上的动量守恒.

4.对动量守恒定律的理解 (1)研究对象:相互作用的物体组成的系统. (2)正确理解“总动量保持不变”的含义,不仅指系统的初末两个时刻的总动量相等,而且系统在整个过程中任意两个时刻系统的总动量相等.

(3)动量守恒定律的“五性” ①矢量性:动量守恒定律的表达式是一个矢量式,当速度在一条直线上时可规定正方向,把矢量运算转化成代数运算. ②相对性:动量守恒定律中,系统中各物体在相互作用前后的速度,必须相对于同一惯性参考系,一般各物体都以地面为参考系. ③同时性:动量守恒定律中,p1､p2……必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量,p1′､p2′……必须是系统中各物体作用后同一时刻的动量.

④条件性:动量守恒定律是有条件的,应用时一定要判断是否满足动量守恒定律的应用条件. ⑤普适性:动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统,也适用于多个物体组成的系统;不仅适用于宏观物体组成的系统,也适用于微观粒子组成的系统.

5.应用动量守恒定律解题的一般步骤 (1)确定研究对象——系统. (2)分析研究对象受力,判断是否符合动量守恒定律的条件. (3)规定正方向,确定初末状态动量的正､负. (4)根据动量守恒定律列出表达式. (5)结合题目条件与动量守恒定律联立求解.

三､动量守恒定律的普适性 1.应用过程,牛顿定律涉及整个过程中的力,而动量守恒只涉及过程始末两个状态,与过程中力的细节无关. 2.适用范围:牛顿定律只适合研究宏观､低速问题,而动量守恒定律适用于目前为止物理学的一切领域. 动量守恒定律是自然界最重要,最普遍的规律之一,大到星球的宏观系统,小到基本粒子的微观系统,无论系统内各物体之间的相互作用力是什么力,只要满足守恒条件,动量守恒定律都是适用的.

典例分析 一､判断系统是否满足动量守恒的问题 例1:把一弹簧枪水平固定在小车上, 小车放在光滑水平地面上,枪射出一颗子弹时,关于枪､子弹､车,下列说法正确的是( ) A.枪和子弹组成的系统动量守恒 B.枪和车组成的系统动量守恒 C.子弹和枪筒之间的摩擦很小,可忽略不计,故二者组成的系统动量守恒 D.枪､子弹､车三者组成的系统动量守恒

解析:内力､外力决定于系统的划分,以枪和子弹组成的系统,车对枪的作用力是外力,系统动量不守恒;枪和车组成的系统受到子弹作用于弹簧的作用力,是外力,系统动量不守恒;枪弹和枪筒之间的摩擦力属于内力,但枪筒受到车的作用力属于外力.所以以枪锋和枪筒组成的系统动量不守恒;以枪､子弹､车三者所组成的系统,在发射子弹时不受外力作用,故三者组成系统的动量守恒. 答案:D

点评:分析动量守恒时要着眼于系统,要在不同的方向上研究系统所受外力的矢量和,同时要清楚所选取的系统包含多少个物体,各物体受力是否来自于系统外,即是否是外力,从而确定所选系统的动量是否守恒.

巩固练习1:如图所示,A､B两物体质量之比mA：mB=3：2,原来静止在平板小车C上,A､B间有一根被压缩的弹簧,地面光滑,当两物体被同时释放后,则( )

A.若A､B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A､B组成的系统动量守恒 A､B､C组成的系统动量守恒 C.若A､B所受的摩擦力大小相等,A､B组成的系统动量守恒 D.若A､B所受的摩擦力大小相等,A､B､C组成的系统动量守恒

解析:A､B与小车的动摩擦因数相同,由于A､B与小车间摩擦大小不相等,所以A､B组成的系统合外力不为零,动量不守恒,故A选项错误;若以A､B､C组成的系统为研究对象,系统所受合外力为零,满足动量守恒,故B选项正确,同理可知,C､D选项正确. 答案:BCD

二､动量守恒定律的应用 例2:如图所示,在光滑的水平面上有一辆平板车,上面站着一个人,车以速度v0前进.已知车的质量为m1,人的质量为m2,某时刻人突然向前跳离车,设人跳离车时,相对于车的速度为v,求人跳出后车的速度.

解析:由受力特点可知人与车组成的系统动量守恒.由相对速度v可建立人､车末速度的关系. 选取人和车组成的系统为研究对象.人跳出车的过程中,系统的动量守恒.取车前进方向为正方向,假设人跳出之后车的速度为v′,人的速度为v″. 对系统由动量守恒定律 (m1+m2)v0=m1v′+m2v″ 又v″-v′=v 所以v′=v0-

点评:应用动量守恒定律时,表达式中各物体的速度,都必须相对同一参考系,如果某物体的速度不是相对这一参考系,要运用速度分解和合成的知识转化到同一参考系,一般我们以地面为参考系,此题人跳离平板车时,相对车的速度为v,人跳离前车速为v0.但由于人跳离车时的速度已不再是v0,故题的解析中有v″-v′=v,而不是v″-v0=v.

巩固练习2:一个人站在静止于冰面的小车上,人和车的总质量为M=80 kg,当它接到一个质量为m=20 kg,以v0=5 m/s的速度迎面滑来的木箱后,立即又以相对地面的速度v′=5 m/s逆着木箱原来滑行的方向推出,不计冰面的阻力,则小车获得的速度多大?方向如何?

解析:以人､车及木箱组成的系统为研究对象,所受合外力为零,满足动量守恒 解析:以人､车及木箱组成的系统为研究对象,所受合外力为零,满足动量守恒. 以原来木箱滑行的速度方向为正,由动量守恒定律得mv0=-mv′+mv1 v1= =2.5 m/s. 方向与v0方向相同. 答案:2.5 m/s 方向与v0方向相同

三､多个物体组成系统的动量守恒问题 例3:两块厚度相同的木块A和B,紧靠着并排放在光滑的水平面上,其质量分别为mA=0.5 kg,mB=0.3 kg,它们的下底面光滑,上表面粗糙,另有一质量为mC=0.1 kg的滑块C(可视为质点),以vC=25 m/s的速度恰好水平滑上A的上表面,如图所示,由于摩擦,滑块最后停在木块B上,B和C的共同速度为3.0 m/s,求:

(1)木块A的最终速度; (2)滑块C离开A时的速度vC′. 解析:(1)当C滑上A后,由于摩擦力作用,将带动A和B一块运动,直至C滑到B后,A､B两木块分离,分离时A的速度为vA,最后C相对B静止,与B以共同的速度vB=3.0 m/s运动,在整个过程中,由A､B､C三物体组成的系统满足动量守恒得

(2)解法一:为计算vC′,我们以B､C为系统,C滑上B时,B与A分离,B､C水平方向动量守恒,此时B的速度与A的速度相同为vA,由动量守恒有mBvA+mCvC′=(mB+mC)vB 得vC′=

解法二:为计算vC′我们仍以A､B､C三物体组成的系统为研究对象满足动量守恒,C刚滑离A到B时,A､B的速度相同都为vA,此时C的速度为vC′,则 mCvC=(mA+mB)vA+mCvC′ 得vC′= 答案:(1)2.6 m/s (2)4.2 m/s.

点评:对于多个物体组成的系统,要认真分析相互作用的物理过程,然后确定研究对象.原则是既符合动量守恒条件,又能利用动量守恒定律简捷地解决问题.

巩固练习3:两只小船相向航行如图所示,航线邻近,当它们头尾对齐时,由每一只船上各投质量为50 kg的麻袋到对面一只船上去,结果载重较轻的船停了下来,另一只船以v=8.5 m/s的速度向原来的方向航行.设两只船及船上的载重量分别为m1=500 kg,m2=1000 kg,问在交换麻袋前两只船的速率分别为多少?(水的阻力不计)

解析:在此题中只考虑船在原方向上的动量,抛出的物体由于惯性在原方向的速度不变,以m1的速度方向为正,选取小船和从大船投过的麻袋为系统,由动量守恒定律有: (m1-m)v1-mv2=0① 选取大船及从小船投过的麻袋为系统,有 -(m2-m)v2+mv1=-m2v② 联立①②两式解得v1=1 m/s v2=9 m/s. 答案:v1=1 m/s v2=9 m/s