奥赛典型例题 分析(运动学)

力 学 运 动 学 1.试求图1中物体B的速度. d A C B v α 图1

2. 试求图2中物体A的速度. 图2 A v α

v2 v1 图3 3.图3中， M线以速度v1运动，v1与M线垂直; N线以速度v2运动，v2与N线垂直，试求M线与N线交点的速度. N M θ

4.图4中圆周的半径为R，细杆以速率v0向右运动，t＝0时，细杆与y轴重合，试求细杆未离开圆周前，它与圆周在第一象限的交点的向心加速度与时间的关系. x o

5. 一小球m位于倾角为θ的光滑斜坡A点的上方，小球离A点的距离为h，斜坡B处有一小孔，A与B的距离为S，如图5所示 5.一小球m位于倾角为θ的光滑斜坡A点的上方，小球离A点的距离为h，斜坡B处有一小孔，A与B的距离为S，如图5所示. 若小球自由下落后与斜坡的碰撞是完全弹性碰撞. 欲使小球恰能掉进小孔B，则h应满足什么条件？ 图5 θ B ● h A m S

6. 离地面高度为h 处，有一小球以初速度v0做斜上抛运动，v0的方向与水平方向成θ角，如图6所示，那么当θ角为多大时，才能使小球的水平射程最大，这最大的水平距离是多少？ ● h v0 θ 图6

终向着当时A所在位置运动. 试问试问这三个小孩何时相遇在一起？开始时他们的加速度大小是多少？ 7. 两两相距都是d的三个小孩A、B、C，从t＝0开始相互追逐，运动速率都是v.追逐过程中，A始终向着当时B所在位置运动，B始终向着当时C所在位置运动，C始 ● B d A C v 图7 终向着当时A所在位置运动. 试问试问这三个小孩何时相遇在一起？开始时他们的加速度大小是多少？

8. 如图8所示，线轴沿水平面做无滑滚动，并且线端A点的速度为v，方向水平 8.如图8所示，线轴沿水平面做无滑滚动，并且线端A点的速度为v，方向水平. 以铰链固定在B点的木板靠在线轴上，线轴的内、外半径分别为r和R，试求木板的角速度ω与角α的关系. B v α ● A 图8

（1）这时猎犬的加速度大小；（2）猎犬追上狐狸所用的时间. 9. 如图9所示，一只狐狸以恒定的速度v1沿AB直线逃跑，一只猎犬以恒定速率v2追击这只狐狸，运动方向始终对准狐狸，设某时刻狐狸位于F处，猎犬位于D处，已知：DF=L,DFAB，试求： （1）这时猎犬的加速度大小；（2）猎犬追上狐狸所用的时间. ● D F A B v1 v2 图9 L

10.试用物理方法求抛物线 y=Ax2上任一点处的曲率半径.

v 例1 解 方法1（微元法） d A C B 图1 如图2所示，设经很短时间∆t，物体B向上移动了∆y，滑轮到物体B部分的绳子缩短了∆L. 例1 解 方法1（微元法） d A C B v α 图1 如图2所示，设经很短时间∆t，物体B向上移动了∆y，滑轮到物体B部分的绳子缩短了∆L. 则有 d L y ∆y ∆L vB 图2 α 所以

v 方法2（利用绳子不可伸长的特点） d 由于绳子不可伸长，所以物体B的速度沿绳子方向的投影应该等于绳子的速度大小. B 于是有 A C α 图1 由于绳子不可伸长，所以物体B的速度沿绳子方向的投影应该等于绳子的速度大小. 于是有 所以

v 方法3（利用合力的功等于分力的功的和） d 如图3所示，作用在物体B上的绳子的拉力的合力F为 B A C B v α 图1 如图3所示，作用在物体B上的绳子的拉力的合力F为 因为合力F的功应该等于两个分力f的功的和，所以有 B f F α 图3 由以上两式可得

v 例2 解 方法1（微元法） 图1 A α 如图2所示，设经很短的时间∆t，物体A向前移动了∆l1，于是，在这段时间内绳子缩短的总长为 v 例2 解 方法1（微元法） 图1 A α v 如图2所示，设经很短的时间∆t，物体A向前移动了∆l1，于是，在这段时间内绳子缩短的总长为 v ∆l1 ∆l2 α 图2 u 由图2易得 物体A的速度为 由以上三式可解得

如图2所示，设人拉绳子的力为f，那么作用在物体A上的合力为F. 方法2（利用功能关系） 图1 A α 如图2所示，设人拉绳子的力为f，那么作用在物体A上的合力为F. 由图2 易得 A α f F 图2 由于人的拉力f所做的功应等于作用在物体A上的合力F所做的功，于是有 由以上两式可解得

如图2所示，设经过时间t，两线的交点由A移到B，那么交点的位移为AB，由余弦定理可得 例3 解 方法1（利用速度的定义） 图1 v1 v2 M N θ 如图2所示，设经过时间t，两线的交点由A移到B，那么交点的位移为AB，由余弦定理可得 M N v1 v2 A B C1 C2 A1 A2 θ 图2 因为 据速度的定义可知，交点的速度为

M N v1 v2 A B C1 C2 A1 A2 θ 图2 由以上4个方程可解得

如图3所示，以t=0时两线交点为原点，建立xoy坐标系.经过时间t，M、N线的方程分别是 方法2（利用交点的运动方程求解） 图3 v1 M N v2 A B θ x y o 如图3所示，以t=0时两线交点为原点，建立xoy坐标系.经过时间t，M、N线的方程分别是 由以上两个方程可解得交点的坐标（即交点的运动参数方程）为

图3 v1 M N v2 A B θ x y o 由以上两个方程可得交点速度的两个分量 所以交点速度的大小为

y v0 x o 图1 v vx =v0 θ 如图1所示，设经时间t， R θ P 如图1所示，设经时间t， 细杆运动到图示位置，交点P的坐标为 (x，y)，速度大小为v，其方向必然沿圆周切线方向. 例4 解 由图可见

图1 x v0 y o v vx =v0 R θ P 交点P的向心加速度为 由以上4个方程可解得

如图2所示，建立xoy坐标系，由于小球与斜坡的碰撞是完全弹性碰撞，所以碰前、碰后的速度大小相等，与斜坡法线的夹角相等. 图1 B h A m θ ● 例5 解 （递推法） 如图2所示，建立xoy坐标系，由于小球与斜坡的碰撞是完全弹性碰撞，所以碰前、碰后的速度大小相等，与斜坡法线的夹角相等. θ v0 y x A A1 A2 A3 S1 S2 S3 … 图2 设小球与斜坡第一次碰撞后的速度为v0,与y轴的夹角为θ，那么

由于小球在y方向做类竖直上抛运动，所以与斜坡相邻两次碰撞之间的运动时间是一恒量，为 θ v0 y x A A1 A2 A3 S1 S2 S3 … 图2 小球空中运动的加速度为 由于小球在y方向做类竖直上抛运动，所以与斜坡相邻两次碰撞之间的运动时间是一恒量，为 小球与斜坡头两次碰撞之间的距离为

所以，每次碰撞后的速度的x分量都比前一次碰撞后的速度的x分量大. θ v0 y x A A1 A2 A3 S1 S2 S3 … 图2 因为 所以，每次碰撞后的速度的x分量都比前一次碰撞后的速度的x分量大. 故每碰撞一次都使小球的水平位移增加

θ v0 y x A A1 A2 A3 S1 S2 S3 … 图2 于是 那么应有AB

θ v0 y x A A1 A2 A3 S1 S2 S3 … 图2 把 代入可解得

不论θ是多少，小球落地时的速度大小都相同,为 例6 解 方法1 (矢量图解法) θ v0 h 图1 不论θ是多少，小球落地时的速度大小都相同,为 又任一时刻，小球的速度为 v0 gt v θ β 图2 三个矢量 所围成的三角形面积为 作出如图3所示的矢量图 . 而小球的水平射程为

由于三角形两边v0、v的大小都是恒量，所以当它们的夹角为90°时，三角形的面积最大.即当 时， gt v θ β 图2 所以有 这表明只要S最大，则水平射程L就最大. 由于三角形两边v0、v的大小都是恒量，所以当它们的夹角为90°时，三角形的面积最大.即当 时， 又由图2易得 故

v0 gt v θ β 图2 所以当 时，小球有 最大水平射程. 这最大水平射程为

θ v0 h 图1 方法2 (极值法) 由图3，据勾股定理可得 整理后可得 图3 v0t θ β L h 当 时，L有最大 值，为

图3 v0t θ β L h 把 t 值代入 可解得

v A 例7 解 (1)方法1 (微元法结合递推法和极限法) ● B d A C v 图1 例7 解 (1)方法1 (微元法结合递推法和极限法) d1 A1 B1 C1 D 设经过很短时间∆t ，三个小孩分别到达A1、B1、C1点，那么根据对称性可知， A1、B1、C1仍组成等边三角形，如图所示，设边长变为d1，且必有AA1=BB1=v∆t，由图易得 同理有

d1 A1 B1 C1 D ● B d A C v 图1 因为n→∞，∆t→0，n ∆t =t , dn=0,所以有

v B d A C (1)方法2 (相对运动法) 由图2 可得A相对B的相对速度为 而这一速度在AB方向的投影为 ● B d A C v 图1 (1)方法2 (相对运动法) 由图2 可得A相对B的相对速度为 而这一速度在AB方向的投影为 A B v 图2 vAB 因为A与B之间是距离最初为d，最后相遇时为零，所以有 于是

● B d A C v 图1 O (1)方法3 (对称性法) 根据对称性可知，虽然在不同时刻三个小孩到达不同位置，但这些位置仍组成等边三角形，而且这些等边三角形的中心都在同一点O，最后三个小孩相遇于O点.由图易得任一时刻小孩A的速度沿AO方向的投影始终都是 因为最初 所以三个小孩相遇需要的时间为

v B d A C (2) 由图3易见，经过很短的∆t时间，小孩A的速度的方向改变了，但大小不变. 由图1和图3，利用三角形相似的关系可得 ● B d A C v 图1 θ (2) 由图3易见，经过很短的∆t时间，小孩A的速度的方向改变了，但大小不变. 由图1和图3，利用三角形相似的关系可得 又 θ v ∆v 图3 小孩开始运动时的加速度大小为 由以上各式可解得

由于木板B始终与线轴接触， 所以，必定有两物接触点C的法向速度相等. 由图2可见，木板 上的接触点C的法向速度为 例8 解 α ω 例8 解 B α v ● A 图1 C vn C O vO vCO vC α 图2 ω B 线轴上的接触点C的速度为C点相对于O点的速度vCO与O点相对于地的速度vO的叠加.由于vCO沿线轴的切向(即沿木板方向)，所以，C点的法向速度为

因为线轴作无滑滚动，所以有（与地的接触点D为瞬心） B α v ● A 图1 C D 因为线轴作无滑滚动，所以有（与地的接触点D为瞬心） vn C O vO vCO vC α 图2 ω B 由以上三式可解得

设经很短时间∆t，狐狸从F运动到E，则猎犬的速度方向就从沿DF方向变为沿DE方向，但速度大小不变,如图2所示 . 例9 解 (1)（微元法） 图1 D F A B v1 v2 ● L 设经很短时间∆t，狐狸从F运动到E，则猎犬的速度方向就从沿DF方向变为沿DE方向，但速度大小不变,如图2所示 . v2 ∆v2 F E D ∆x L 图2 由相似三角形可得 因为 猎犬的加速度大小为 由以上三式可解得

设猎犬经过时间 t 便追上狐狸，此时两者的距离为零.又设任一时刻猎犬到达P点处，这时狐狸到达E点,如图3所示. (2)（微元法） v1 D F P B v2 E 图3 设猎犬经过时间 t 便追上狐狸，此时两者的距离为零.又设任一时刻猎犬到达P点处，这时狐狸到达E点,如图3所示. 由开始到猎犬追上狐狸，两者的径向距离由L减少到零. 在任一时刻，它们之间的接近速度为 , 在 ∆t 时间内两者的径向距离减少了 ，于是有

在FB方向上，开始时它们两者之间的距离为零，猎犬追上狐狸时,它们两者之间的距离仍为零. v1 D F P B v2 E 图3 在FB方向上，开始时它们两者之间的距离为零，猎犬追上狐狸时,它们两者之间的距离仍为零. 在FB方向上，任一时刻它们的相对速度为 , 在 ∆t 时间内两者在FB方向距离减少了 所以有

v1 D F P B v2 E 图3 由以上两式可解得

v at an a x y 例10 解 (假设法或称虚拟法) 设一质点的运动轨迹就是抛物线y=Ax2， 为此假设这质点的运动方程为： P θ 例10 解 (假设法或称虚拟法) 设一质点的运动轨迹就是抛物线y=Ax2， 为此假设这质点的运动方程为： 于是在抛物线上任一点P处有 那么 又由图可见

v at an a x y P θ 所以抛物线任一点P处的曲率半径为