第九章 奇异期权 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
奇异期权 奇异期权：比常规期权(标准的欧式或美式期权 )更复杂的衍生证券，比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废 。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
奇异期权的主要性质 分拆与组合 弱式路径依赖 强式路径依赖 时间依赖 维数：基本的独立变量的个数 期权的阶数 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
路径依赖 期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响，它又可以分为弱式路径依赖和强式路径依赖两种。如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。 美式期权就是弱式路径依赖型的期权。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
障碍期权 障碍期权是指期权的回报依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平 敲出障碍期权 敲入障碍期权 向上期权 向下期权 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
特殊交易条款 障碍水平的时间依赖性 双重障碍 多次触及障碍水平 障碍水平的重新设定 外部障碍期权 提前执行的可能性 部分折扣 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
障碍期权的性质 障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
障碍期权定价 在障碍条件被触发之前，期权价值仍然满足 障碍条件则反映在相应的边界条件上 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
敲出障碍 当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为 当 时 如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件可以修改为： 当 时 如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件可以修改为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
敲入障碍 敲入期权在没有到达障碍水平时，有： 对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值 就等于一个相应的常规期权价值 。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
敲入和敲出障碍期权的关系 在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系： 敲入期权＋敲出期权＝ 执行价格和时间相同的常规期权 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
障碍期权的具体定价公式 向下敲出看涨期权 向上敲入看涨期权 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
障碍期权定价的扩展 障碍期权合约中增加条款的考虑 波动率的选择 标的资产价格的观察频率 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
数值定价方法 将结点设置在障碍上 结点不在障碍水平上的调整 适应性网状模型 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
三叉树图中的障碍水平 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二叉树图中的障碍水平 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
障碍期权的静态套期保值 尽可能地用交易活跃的常规看涨和看跌期权来复制障碍期权价值。比如为向上敲出看涨期权空头保值的一个常用方法是买进同样价格和到期日的看涨期权多头，如果期权敲出，则还有一个看涨期权多头可以弥补。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
反射保值 这个方法建立在反射原理和看涨看跌对称的基础上，很简单但效果相当不错，但是只有在障碍水平和执行价格以正确的顺序排列的时候才有效。 假设我们目前拥有一个向下敲入看涨期权，并假设障碍水平H和执行价格X相等。现在用一个具有同样执行价格的常规看跌期权空头来为其保值。如果触及障碍水平，则我们的组合头寸价值为 ，其中第一项来自障碍期权，第二项来自常规期权。根据平价关系和 ，组合价值正好等于 ，这是一个接近0的数。此时我们将两个期权平仓，就可实现保值。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
亚式期权 亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一。它最重要的特点在于：其到期回报依赖于标的资产在一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均价格。它属于强式路径依赖期权，因为这一平均价格将成为定价公式中的一个独立状态变量。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
亚式期权的种类 平均资产价期权 平均执行价期权 算术平均 几何平均 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
连续取样平均 定义反映资产价格路径平均值的变量为 其中 为平均值函数，视期权合约条款规定而不同 建立一个无风险组合 其中 为平均值函数，视期权合约条款规定而不同 建立一个无风险组合 应用布莱克-舒尔斯模型的方法，得到： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
连续取样平均（续） 偏微分方程中增加了对变量I的一阶偏导，是对第三个独立变量的影响的描述。这时，边界条件变为 具体运用到算术平均和几何平均期权，偏微分方程分别为 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
更新规则 在简单的亚式平均期权中： 这里I的新值只由I的旧值、取样日的资产价格和取样日决定。这个规则还可以根据计算平均数的不同方法进行推广。但无论函数F如何变化，这个路径依赖变量始终都是在取样日进行相应的更新。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
离散取样的定价方程 由于更新规则，实际上只有在取样日变量I才发生变化。在取样日之间，I是常数，因此定价方程与一般的布莱克-舒尔斯偏微分方程相同： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
几何平均亚式期权 在亚式期权中，只有几何平均期权能得到精确的解析解。几何平均期权的解析价格公式之所以存在，是因为布莱克-舒尔斯模型假设标的资产价格服从对数正态分布，而一系列对数正态分布变量的几何平均值仍为对数正态分布 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
算术平均亚式期权 亚式期权中更常见的情况是取算术平均，但是一系列对数正态分布值的算术平均值并不服从对数正态分布。为了解决这个问题，人们采用了各种方法，但是仍然无法得到解析的定价公式。对标的算术平均亚式期权更多的是采用数值方法或以标的几何平均亚式期权来近似逼近，常见的如下： 二阶矩近似法 控制方差法 相似变量代换法 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
回溯期权 回溯期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称为回溯时段）中达到的最大或最小价格（又称为回溯价），根据是资产价还是执行价采用这个回溯价格，回溯期权可以分为： 固定执行价期权 浮动执行价期权 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
B-S模型框架下的回溯期权 回溯期权定价模型中包含路径依赖变量，因此回溯期权也属于强式路径依赖期权。可以采用在亚式期权中所讨论的强式路径依赖定价的思路，根据连续观测和离散观测的不同，将回溯期权定价纳入到布莱克-舒尔斯模型框架中去。但由于回溯价和亚式期权中的平均价性质不同，平均价必然会随着观测值的增加而改变，而最大值的回溯价则不一定会改变，这使得回溯期权的定价和亚式期权有所不同。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
连续观测 Goldman, Sosin和Gatto推导出这个方程的边界条件是 当 时 由回报推出的边界条件是 （固定执行价看涨期权） 当 时 由回报推出的边界条件是 （固定执行价看涨期权） （浮动执行价看跌期权） Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
离散观测 回溯价是通过离散时间取得的观测值比较形成的，其更新规则为： 根据这一更新规则，可以得到离散观测的回溯期权的跳跃条件： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
欧式浮动执行价回溯看涨期权 看涨期权回报为： 其中M是目前已经实现的最小值，在B-S模型框架下，期权价值为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
续 公式中： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
欧式浮动执行价回溯看跌期权 浮动执行价回溯看跌期权的回报为： 其中M是目前已经实现的最大值。在B-S模型框架下，期权价值为: Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
续 其中： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
回溯期权的数值定价方法 回溯期权的定价就经常使用到二叉树模型。但是，在使用二叉树模型的时候，在每个结点需要考虑到当前为止不同路径所导致的不同的最大值或最小值，路径越多，这些值的个数越多，降低了二叉树模型的实用意义 解决方法1、在每个结点，仅对路径函数中具有代表性意义的值进行计算，其他值则用内插法从已知的值中计算得到 解决方法2、最高价格M和现价S之比 来建立标的资产价格树图并进一步为期权定价 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
两值期权 现金或无价值看涨期权，期权价值为 资产或无价值看涨期权，期权价值为 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
打包期权 打包期权：由常规的欧式期权、远期合约、现金和标的资产等构成的证券组合。 经济意义：可以利用这些金融工具之间的关系，组合成符合需要的投资工具 最常见的打包期权：具有零初始成本的期权组合 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
非标准美式期权 标准美式期权在有效期内任何时间都可执行且执行价格总是相同的，非标准美式期权则对其做了一些改动，例如： 百慕大期权只能在事先确定的时间内提前执行； 公司发行的认股权证往往规定提前执行的时间段，而且执行价格也会有所不同。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
远期开始期权 远期开始期权：现在支付期权费而在未来某时刻才开始的期权 其定价也可以在布莱克-舒尔斯模型框架中进行零时刻的期权为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
呐喊期权 呐喊期权：一个常规欧式期权加上一个额外的特征：在整个期权有效期内，持有者可以向空头方“呐喊”一次。在期权到期时，期权持有者可以选择以下两种损益中的一种：一个常规欧式期权的回报；根据呐喊时刻的内在价值得到的回报 可以把呐喊期权的回报写为 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
复合期权 复合期权在 时刻给予持有者一个在 这一特定时间以特定价格买卖另一个期权的权利，后面这个标的期权将在 时刻到期 复合期权在 时刻给予持有者一个在 这一特定时间以特定价格买卖另一个期权的权利，后面这个标的期权将在 时刻到期 时刻的复合期权价值满足： 条件为 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
选择者期权 选择者期权类似于复合期权，其特征在于，持有者可以在特定时间 以特定价格选择一个进一步的期权：持有者可以选择购买一个看涨期权或是购买一个看跌期权 。 选择者期权在 时刻的回报为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
多资产期权 多资产期权中往往包含两个或两个以上标的资产 在多资产期权中，每个标的资产仍然假设服从几何布朗运动 存在多种变形，如彩虹期权和资产交换期权 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University