通信原理

通信原理 第10章 数字信号最佳接收

10.1数字信号的统计特性 数字通信系统信号码元+噪声误码——误码率 以二进制数字通信系统为例研究接收电压的统计特性。 采取抽样的方式考察接受电压。设： 噪声是均值为0的带限高斯白噪声，单边功率谱密度 n0； 发送的二进制码元为“0”和“1”，其发送概率P(0)和P(1)，则有 P(0) + P(1) = 1 若系统的基带截止频率小于fH，抽样速率 fs ≤ 2fH ，接收电压可以用其抽样值表示。 设在一个码元持续时间Ts内以2fH的速率抽样，得 k 个抽样值：k ＝ 2fHTs。

由于每个噪声电压抽样值都是正态分布的随机变量，故其一维概率密度可以写为 式中，n － 噪声的标准偏差； n2 － 噪声的方差，即噪声平均功率； i ＝1，2，…，k。 设接收噪声电压n(t)的k个抽样值的k维联合概率密度函数为

高斯噪声性质：通过带限线性系统后仍为高斯分布。 所以，k 个抽样值之间互不相关、互相独立。 于是，此 k 维联合概率密度函数可以表示为 当k 很大时，在一个码元持续时间Ts内接收的噪声平均功率可以表示为： 或者将上式左端的求和式写成积分式，则上式变成

由 则前式的联合概率密度函数可以改写为： 式中 n = (n1, n2, …, nk) － k 维矢量，表示一个码元内噪声的k个抽样值。 需要注意，f(n)不是时间函数，虽然式中有时间函数n(t)，但是后者在定积分内，积分后已经与时间变量t无关。n是一个k维矢量，它可以看作是k 维空间中的一个点。

在码元持续时间Ts、噪声单边功率谱密度n0和抽样数k（它和系统带宽有关）给定后，f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量： 由于噪声的随机性，每个码元持续时间内噪声的波形和能量都是不同的，这就使被传输的码元中有一些会发生错误，而另一些则无错。

设 r(t) 为接收电压，则 r(t) = s(t) + n(t) 在发送码元确定时，r(t) 随 n(t) 而服从高斯分布，方差仍为n2，而均值为 s(t)。 设发送码元“0”的信号波形为 s0(t) ，“1”为 s1(t)，r(t) 的 k 维联合概率密度函数为 r = s + n ：k 维矢量，表示一个码元内接收电压的k个抽样值； s ： k 维矢量，表示一个码元内信号电压的k个抽样值。

若通信系统传输的是 M 进制码元，即可能发送s1，s2，…，si，…，sM之一，则按上述原理不难写出当发送码元是 si 时，接收电压的k 维联合概率密度函数为 仍需记住，以上三式中的k 维联合概率密度函数不是时间 t 的函数，并且是一个标量，而 r 仍是k维空间中的一个点，是一个矢量。

10.2 数字信号的最佳接收 “最佳”的准则：错误概率最小 产生错误的原因：暂不考虑失真的影响，主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的错误概率最小。 判决规则 在一个二进制通信系统中，总误码率Pe等于 式中 Pe1 = P(0/1) － 发送“1”时，收到“0”的条件概率； Pe0 = P(1/0) － 发送“0”时，收到“1”的条件概率； 即错误转移概率。

由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画在下图中（图中把 r 当作1维矢量画出）： 按照前面的分析，接收端收到的每个码元持续时间内的电压可以用一个k 维矢量表示。接收设备需要对每个接收矢量作判决，判定它是发送码元“0”，还是“1”。 由接收矢量决定的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线画在下图中（图中把 r 当作1维矢量画出）： 可以将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0，并将判决规则规定为： 若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。 A0 A1 r f0(r) f1(r) r0 P(A0/1) P(A1/0)

式中，P(A0/1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送“0”时，矢量r落在区域A1的条件概率 显然，区域A0和区域A1是两个 互不相容的区域。当这两个区 域的边界r0确定后，错误概率 也随之确定了。 总误码率可以写为 式中，P(A0/1)表示发送“1”时，矢量r落在区域A0的条件概率 P(A1/0)表示发送“0”时，矢量r落在区域A1的条件概率 这两个条件概率可以写为： 这两个概率在图中分别由两块阴影面积表示。 A0 A1 r f0(r) f1(r) r0 P(A0/1) P(A1/0)

为了求出使Pe最小的判决分界点r0，将上式对r0求导 总误码率可以表示为 从图中的范围可以确定积分限 可以看出，Pe是r0的函数。 为了求出使Pe最小的判决分界点r0，将上式对r0求导 令导函数等于0，求出最佳分界点r0的条件： A0 A1 r f0(r) f1(r) r0 P(A0/1) P(A1/0)

即 当先验概率相等时，即P(1) = P(0)时，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界点位于图中两条曲线交点处的r 值上。 在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域A0应判为收到的是“0”的判决准则，这时有： 判为“0” ； 判为“1”。 在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，此条件简化为： 可以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。 最大似然准则 A0 A1 r f0(r) f1(r) r0 P(A0/1) P(A1/0) 若f0(r) > f1(r)，则判为“0” 若f0(r) < f1(r)，则判为“1”

以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是s1，s2，…，si，…，sM之一，它们的先验概率相等，能量相等。 当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函数为 于是，若 则判为si(t)，其中，

10.3 确知数字信号的最佳接收机 确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的信号。 判决准则（设s0(t)、 s1(t)周期都为Ts，能量也相等） 当发送码元为“0”，波形为s0(t)时，接收电压的概率密度 当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度 使用上两式按照最大似然判决准则进行判断，得到：

若 则判为发送码元是s0(t)；若 则判为发送码元是s1(t)。 将上两式的两端分别取对数，得到，若 则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是s1(t)。 由于已经假设两个码元的能量相同，即 所以上式还可以进一步简化。

按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下： 若 式中 则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。 最佳接收机 按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：

由于 r(t) 与 s0(t) 和 s1(t) 的相乘积分运算称为相关运算，所以此接收机又称为相关接收机。 W1 r(t) S1(t) S0(t) W0 t = Ts 比较判决 积分器 由于 r(t) 与 s0(t) 和 s1(t) 的相乘积分运算称为相关运算，所以此接收机又称为相关接收机。

若此二进制信号的先验等概，则 简化为 最佳接收机的原理方框图也可以简化成 r(t) S0(t) S1(t) 积分器 比较判决 t = Ts

上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。 由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。 由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构 上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算，所以常称这种算法为相关接收法。 由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。 积分器 r(t) SM(t) S0(t) S1(t) 比较判决

10.4 确知数字信号最佳接收的误码率 总误码率 在最佳接收机中，若 则判为发送码元是s0(t)。 所以若将r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，则上式成立的概率就是在发送码元“1”的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概率P(0/1)。计算化简可得（推导见附录G）

式中 同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率

因此，总误码率为 先验概率对误码率的影响 当先验概率P(0) = 0及P(1) = 1时，a = - 及b = ，因此由上式计算出总误码率Pe = 0。在物理意义上，这时由于发送码元只有一种可能性，即是确定的“1”。因此不会发生错误。 同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，总误码率也为零。

当先验概率相等时： 当先验概率不等时： P(0) = P(1) = 1/2，a = b。这样，上式可以化简为 式中 上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率2，误码率仅和两种码元波形之差[s0(t) – s1(t)]的能量有关，而与波形本身无关。差别越大，c 值越小，误码率Pe也越小。 当先验概率不等时： 由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。

在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数 ，其定义如下： 先验概率相等时误码率的计算 在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码元的区别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量，即码元的相关系数 ，其定义如下： 式中 E0、E1为信号码元的能量。 当s0(t) = s1(t)时，＝1，为最大值；当s0(t) = -s1(t)时，＝－1，为最小值。所以 的取值范围在-1    +1。

当两码元的能量相等时，即 E0 = E1 = Eb，则上式可以写成 并且 将上式代入误码率公式，得到 将上式做变换，得到误码率最终表示式

式中 — 误差函数 — 补误差函数 Eb — 码元能量；  — 码元相关系数； n0 — 噪声功率谱密度。 上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差，但是绝对不可能超过它。

误码率曲线 dB

即： E0 = E1 = Eb， E0 = 0，E1 = Eb，例如2ASK信号

最佳接收性能特点 1、误码率仅和Eb / n0以及相关系数有关，与信号波形及噪声功率无直接关系。 码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信号噪声功率比Ps/Pn。因为若系统带宽B等于1/Ts， 则有 按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所需的最小带宽为(1/2Ts) Hz。对于已调信号，若采用的是2PSK或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的两倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比看待。

2、相关系数  对于误码率的影响很大。a. 当两种码元的波形相同，相关系数最大，即 = 1时，误码率最大。这时的误码率Pe = 1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即 = -1时，误码率最小。这时的最小误码率等于 例如，2PSK信号的相关系数就等于 -1。 又，b. 当两种码元正交，即相关系数  等于0时，误码率等于 例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。

又，c. 若两种码元中有一种的能量等于零，例如2ASK信号，则 误码率为 比较以上3式可见，它们之间的性能差3dB，即2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，而2FSK信号的性能又比2PSK信号的性能差3dB。 多进制系统也可以按照类似的方法推导误码率，但是过于繁琐，请大家自己看看书

10.5 随相数字信号的最佳接收 码元相位带有随机性。假设： 2FSK信号的能量相等、先验概率相等、互不相关； 可以将此信号表示为： 通信系统中存在带限白色高斯噪声； 接收信号码元相位的概率密度服从均匀分布。 可以将此信号表示为： 及将此信号随机相位的概率密度表示为：

判决条件：由于已假设码元能量相等，故有 在讨论确知信号的最佳接收时，对于先验概率相等的信号，按照下式条件作判决： 若接收矢量r使f1(r) < f0(r)，则判发送码元是“0”， 若接收矢量r使f0(r) < f1(r)，则判发送码元是“1”。 现在，由于接收矢量具有随机相位，故上式中的f0(r)和f1(r)均需考虑相位影响，分别可以表示为： 上两式经过复杂的计算（附录H）后，代入判决条件，就可以得出最终的判决条件：

若接收矢量r 使M12 < M02，则判为发送码元是“0”， 上面就是最终判决条件，其中： 按照上面判决准则构成的随相信号最佳接收机的结构示于下图中。

最佳接收机的结构 相关器 平 方 cos0t 相 加 sin0t cos1t sin1t 比 较 r(t) Y0 X1 Y1 X0

误码率： 随相信号最佳接收机的误码率，用类似10.4节的分析方法，可以计算出来，结果如下： 最后指出，上述最佳接收机及其误码率也就是2FSK确知信号的非相干接收机和误码率。因为随相信号的相位带有由信道引入的随机变化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。换句话说，相干接收只适用于相位确知的信号。对于随相信号而言，非相干接收已经是最佳的接收方法了。

10.6 起伏数字信号的最佳接收 仍以2FSK信号为例简要地讨论其最佳接收问题。 假设： 通信系统中的噪声是带限白色高斯噪声； 式中，A0和A1是由于多径效应引起的随机起伏振幅，它们服从同一瑞利分布：

式中，s2为信号的功率； 而且0和1的概率密度服从均匀分布： 此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信号si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之间的关系为

接收矢量的概率密度: 由于接收矢量不但具有随机相位，还具有随机起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分别可以表示为：

经过繁复的计算，上两式的计算结果如下： 式中 n0 － 噪声功率谱密度； n2 － 噪声功率。

最佳接收机： 和随相信号最佳接收时一样，比较f0(r)和f1(r)仍然是比较M02和M12的大小。所以，不难推论，起伏信号最佳接收机的结构和随相信号最佳接收机的一样。 误码率： 这时的最佳误码率则不同于随相信号的误码率。这时的误码率等于 式中， － 接收码元的统计平均能量。

误码率曲线 由此图看出，在有衰落时， 性能随误码率下降而迅速 变坏。当误码率等于10-2 时，衰落使性能下降约 10 dB；当误码率等于10-3 时，下降约20 dB。

10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较 相干2ASK信号 非相干2ASK信号 相干2FSK信号 非相干2FSK信号 相干2PSK信号 差分相干2DPSK信号 同步检测2DPSK信号 实际接收机的Pe 最佳接收机的Pe

10.8 数字信号的匹配滤波接收法 什么是匹配滤波器？ 计算输出信噪比，假设条件： 使用线性滤波器接收时，使抽样时刻上输出信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器（match filter）。 计算输出信噪比，假设条件： 接收滤波器的传输函数为H(f)，冲激响应为h(t)，滤波器输入码元s(t)的持续时间为Ts，信号和噪声之和r(t)为 式中，s(t) － 信号码元；n(t) － 高斯白噪声； 并设信号码元s(t)的频谱密度函数为S(f)，噪声n(t)双边功率谱密度为Pn(f) = n0/2，n0为其单边功率谱密度。

输出电压 假定滤波器是线性的，根据线性电路叠加定理，当滤波器输入电压r(t)中包括信号和噪声两部分时，滤波器的输出电压y(t)中也包含相应的输出信号so(t)和输出噪声no(t)两部分，即 式中

匹配滤波器就要求其的 H(f) 使上式 r0 取最大值 输出噪声功率 由 这时的输出噪声功率No等于 输出信噪比 在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为 匹配滤波器就要求其的 H(f) 使上式 r0 取最大值

匹配滤波器的传输特性： 利用施瓦兹不等式求 r0的最大值 若 其中k为任意常数，则上式的等号成立。 将上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令 则有 式中

而且当 时，上式的等号成立，即得到最大输出信噪比 2E/n0。 上式的 H(f) 就是我们要找的最佳接收滤波器传输特性。它等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。故称此滤波器为匹配滤波器。

匹配滤波器的冲激响应函数： 由上式可见，匹配滤波器的冲激响应h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)，但在时间轴上（向右）平移了t0。

图解 t t1 -t1 t2-t1 -t2 t2 s(t) s(-t) h(t) t0 (a) (b) (c)

实际的匹配滤波器 一个实际的匹配滤波器应该是物理可实现的，其冲激响应必须符合因果关系，在输入冲激脉冲加入前不应该有冲激响应出现，即必须有： 即要求满足条件 或满足条件 上式的条件说明，接收滤波器输入端的信号码元s(t)在抽样时刻t0之后必须为零。一般不希望在码元结束之后很久才抽样，故通常选择在码元末尾抽样，即选t0 = Ts。故匹配滤波器的冲激响应可以写为

这时，若匹配滤波器的输入电压为s(t)，则输出信号码元的波形为： 上式表明，匹配滤波器输出信号码元波形是输入信号码元波形的自相关函数的k倍。k是一个任意常数，它与r0的最大值无关；通常取k ＝ 1。 这实际上就告诉了我们，如何针对某种信号波形来求解其匹配滤波器。

【例10.1】设接收信号码元s(t)的表示式为 试求其匹配滤波器的特性和输出信号码元的波形。 【解】上式所示的信号波形是一个矩形脉冲，如下图所示。 其频谱为 由 令k = 1，可得其匹配滤波器的传输函数为 令k = 1，还可以得到此匹配滤波器的冲激响应为 t Ts s(t) 1

so(t) t Ts h(t) 1 t Ts 此冲激响应示于下图。 表面上看来，h(t)的形状和信号s(t)的形状一样。实际上，h(t)的形状是s(t)的波形以t = Ts / 2为轴线反转而来。由于s(t)的波形对称于t = Ts / 2，所以反转后，波形不变。 由式 可以求出此匹配滤波器的 输出信号波形如下： t Ts h(t) 1 t Ts so(t)

上式中的(1/j2f)是理想积分器的传输函数， 而exp(-j2fTs)是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。 由其传输函数 可以画出此匹配滤波器的方框图如下： 上式中的(1/j2f)是理想积分器的传输函数， 而exp(-j2fTs)是延迟时间为Ts的延迟电路的传输函数。 延迟Ts 理想 积分器 ＋ －

【例10.2】 设信号的表示式为 试求其匹配滤波器的特性和匹配滤波器输出的波形。 【解】 上式给出的信号波形 是一段余弦振荡， 如右图所示： 其频谱为 Ts

其匹配滤波器的传输函数为 上式中已令t0 = Ts。 此匹配滤波器的冲激响应为： 为了便于画出波形简图，令 式中，n = 正整数。这样，上式可以化简为 h(t)的曲线示于下图：

这时的匹配滤波器输出波形可以由卷积公式求出： 由于s(t)和h(t)在区间(0, Ts)外都等于零，故上式中的积分可以分为如下几段进行计算： 显然，当t < 0和t > 2Ts时，式中的s()和h(t-)不相交，故so(t)等于零。 (b) 冲激响应 Ts

当0  t < Ts时，上式等于 当Ts  t  2Ts时，上式等于 若因f0很大而使(1/4f0)可以忽略，则最后得到

按上式画出的曲线示于下图中。 (a) 信号波形 (b) 冲激响应 (c) 输出波形 Ts 2Ts

匹配滤波器接收电路的构成 对于二进制确知信号，使用匹配滤波器构成的接收电路方框图示于下图中。 图中有两个匹配滤波器，分别匹配于两种信号码元。在抽样时刻对抽样值进行比较判决。哪个匹配滤波器的输出抽样值更大，就判决那个为输出。若此二进制信号的先验概率相等，则此方框图能给出最小的总误码率。 匹配滤波器1 匹配滤波器2 抽样 比较 判决 t = Ts 输入 输出

匹配滤波器可以用不同的硬件电路实现，也可以用软件实现。 目前，由于软件无线电技术的发展，它日益趋向于用软件技术实现。 上面的讨论中未涉及具体的信号波形，也就是说最大输出信噪比和信号波形无关，只决定于信号能量E与噪声功率谱密度n0之比，所以这种匹配滤波法对于任何一种数字信号波形都适用，不论是基带数字信号还是已调数字信号。例10.1中给出的是基带数字信号的例子；而例10.2中给出的信号则是已调数字信号的例子。

匹配滤波器的性能 用匹配滤波器得到的最大输出信噪比就等于最佳接收时理论上能达到的最高输出信噪比。证明如下： 匹配滤波器输出电压的波形 y(t) 可以写成 在抽样时刻Ts，输出电压等于 式中的k是任意常数，通常令k = 1。 可以看出，上式中的积分是相关运算，即将输入r(t)与s(t)作相关运算，而后者是和匹配滤波器匹配的信号。它表示只有输入电压r(t) = s(t) + n(t)时，在时刻t = Ts才有最大的输出信噪比。

用上述相关运算代替上图中的匹配滤波器得到如下图所示的相关接收法方框图。 匹配滤波法和相关接收法完全等效，都是最佳接收方法。 积分 s1(t) s0(t) 抽样 比较 判决 t = Ts 输入 输出

【例10.3】设有一个信号码元如例10.2中所给出的s(t)。试比较它分别通过匹配滤波器和相关接收器时的输出波形。 【解】此信号码元通过相关接收器后，输出信号波形等于 上式中已经假定f0很大，从而结果可以近似等于t / 2，即与t 成直线关系。这两种结果示于下图中。由此图可见，只有当t = Ts时，两者的抽样值才相等。 相关器输出 匹配滤波器输出

匹配滤波器的实际应用 匹配滤波器的冲激响应h(t)应该和信号波形s(t)严格匹配，包括对相位也有要求。对于确知信号的接收，这是可以做到的。对于随相信号而言，就不可能使信号的随机相位和h(t)的相位匹配。但是，匹配滤波器还是可以用于接收随相信号的。下面就对此作进一步的分析。 设匹配滤波器的特性仍如例10.2所给出： 并设此匹配滤波器的输入是r(t)，则此滤波器的输出y(t)由卷积公式求出为：

式中 当t = Ts时，上式的y(t)的包络和10.5节随相信号最佳接收判决条件式中的M0和M1形式相同。所以，按照10.5节随相信号最佳接收时的判决准则比较M0和M1，就相当于比较上式的包络。

因此，10.5节中的随相信号最佳接收机结构图可以改成如下图所示的结构： 在此图中，有两个匹配滤波器，其特性分别对二进制的两种码元匹配。匹配滤波器的输出经过包络检波，然后作比较判决。 由于起伏信号最佳接收机的结构和随相信号的相同，所以上图同样适用于对起伏信号作最佳接收。 r(t) t=Ts M0 M1 y1(t) y0(t) 匹配滤波器f0 包络检波器 比较判决 匹配滤波器f1

10.9 最佳基带传输系统 何谓最佳基带传输系统？ 设基带数字信号传输系统由发送滤波器、信道和接收滤波器组成： 其传输函数分别为GT(f)、C(f)和GR(f)。 在第6章中将这3个滤波器集中用一个基带总传输函数H(f)表示： H(f) = GT(f)C(f)GR(f) 抽样 判决

设计最佳基带传输系统的方法 在第6章中，为了消除码间串扰，要求H(f)必须满足奈奎斯特第一准则。当时忽略了噪声的影响，只考虑码间串扰。 现在，我们将分析在H(f)满足消除码间串扰的条件之后，如何设计GT(f)、C(f)和GR(f)，以使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。 将消除了码间串扰并且噪声最小的基带传输系统称为最佳基带传输系统。 设计最佳基带传输系统的方法 由于信道的传输特性C(f)往往不易得知，并且还可能是时变的。所以，在系统设计时，有两种分析方法： 1）假设信道具有理想特性，即假设C(f) = 1。 2）考虑到信道的非理想特性。

假设信道传输函数C(f) = 1。于是，基带系统的传输特性变为 H(f) = GT(f) GR(f) 一、理想信道的最佳传输系统 最佳传输系统的条件 假设信道传输函数C(f) = 1。于是，基带系统的传输特性变为 H(f) = GT(f) GR(f) 若传输系统的输入为冲激脉冲，则GT(f)的传输特性即为发送信号码元的频谱。 现在，将分析在H(f)按照消除码间串扰的条件确定之后，如何设计GT(f)和GR(f)，以使系统在加性白色高斯噪声条件下误码率最小。 由对匹配滤波器频率特性的要求可知，接收匹配滤波器的传输函数GR(f)应当是信号频谱S(f)的复共轭。现在，信号的频谱就是发送滤波器的传输函数GT(f)，所以要求接收匹配滤波器的传输函数为： 上式中已经假定k = 1。

由 H(f) = GT(f) GR(f) ，有 将上式代入所要求的接收匹配滤波器的传输函数 得到 即 上式左端是一个实数，所以上式右端也必须是实数。因此，上式可以写为 所以得到接收匹配滤波器应满足的条件为

由于上式条件没有限定对接收滤波器的相位要求，所以可以选用 这样，由H(f) = GT(f) GR(f) ，得到发送滤波器的传输特性为 上两式就是最佳基带传输系统对于收发滤波器传输函数的要求。

最佳基带传输系统的误码率性能 设基带信号码元为M 进制的多电平信号。一个码元可以取下列M 种电平之一： 其中d为相邻电平间隔的一半，如下图所示。图中的M ＝ 8。 在接收端，判决电路的判决 门限值则应当设定在： d 3d 7d -5d -3d -d t -7d 5d

按照这样的规定，在接收端抽样判决时刻，若噪声值不超过d，则不会发生错误判决。但是，当噪声值大于最高信号电平值或小于最低电平值时，不会发生错误判决；也就是说，对于最外侧的两个电平，只在一个方向有出错的可能。这种情况的出现占所有可能的1/M。所以，错误概率为 式中，是噪声的抽样值，而P(|  |>d)是噪声抽样值大于d 的概率。 现在来计算上式中的P(|  |>d) 。设接收滤波器输入端高斯白噪声的单边功率谱密度为n0，接收滤波器输出的带限高斯噪声的功率为2，则有

上式中的积分值是一个实常数，我们假设其等于1，即假设 故有 这样假设并不影响对误码率性能的分析。由于接收滤波器是一个线性滤波器，故其输出噪声的统计特性仍服从高斯分布。因此输出噪声的一维概率密度函数等于 对上式积分，就可以得到抽样噪声值超过d 的概率：

上式中已作了如下变量代换： 将上式代入误码率公式，得到

再将上式中的Pe和d/的关系变换成Pe和E/n0的关系。由上述讨论我们已经知道，在M 进制基带多电平最佳传输系统中，发送码元的频谱形状由发送滤波器的特性决定： 发送码元多电平波形的最大值为 等。这样，利用巴塞伐尔定理 计算码元能量时，设多电平码元的波形为Ax(t)，其中x(t)的最大值等于1，以及

则有码元能量等于 因此，对于M 进制等概率多电平码元，求出其平均码元能量E等于 因此有 于是得到误码率的最终表示式：

上式是在理想信道中，消除码间串扰条件下，二进制双极性基带信号传输的最佳误码率。 M进制多电平信号的误码率曲线： 由此图可见，当误码率 较低时，为保持误码率 不变，M值增大到2倍， 信噪比大约需要增大 7 dB。 Pe 1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-6 10-5 E/n0 (dB) M=2 4 8 16 5 10 15 20 25 30 35

二、非理想信道的最佳基带传输系统 最佳传输条件 接收信号码元的频谱等于GT(f)C(f)。为了使高斯白噪声条件下的接收误码率最小，在接收端可以采用一个匹配滤波器。为使此匹配滤波器的传输函数GR(f)和接收信号码元的频谱匹配，要求 GR(f) = GT*(f)C*(f) 基带传输系统的总传输特性为 H(f) = GT(f)C(f)GR(f) = GT(f)C(f) GT*(f)C*(f) =|GT(f)|2|C(f)|2 此总传输特性H(f)能使其对于高斯白噪声的信噪比最小，但是还没有满足消除码间串扰的条件。为了消除码间串扰，由第6章的讨论得知，H(f)必须满足：

为此，可以在接收端增加一个横向均衡滤波器T(f)，使系统总传输特性满足上式要求。故从上两式可以写出对T(f)的要求: 式中 从上述分析得知，在非理想信道条件下，最佳接收滤波器的传输特性应该是传输特性为GR(f)的匹配滤波器和传输特性为T(f)的均衡滤波器级连。

非理想信道的最佳基带传输系统方框图 最后需要说明的是，上面的讨论是假定发送滤波器和信道特性已给定，由设计接收滤波器使系统达到最佳化。在理论上，自然也可以假定接收滤波器和信道特性已给定，设计发送滤波器使系统达到最佳；或者只给定信道特性，联合设计发送和接收滤波器两者使系统达到最佳。但是，分析结果表明，这样做的效果和仅使接收滤波器最佳化的结果差别不大。在工程设计时，还是以设计最佳接收滤波器的方法较为实用。 GT(f) C(f) GT*(f)C*(f) T(f) 最佳接收滤波器 n(t)

10.10 小结 最似然准则：思路、结论 匹配滤波器：概念、计算 最佳基带传输系统：概念、设计思路

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