电磁学
几个物理规律的数学表达式 描述电磁运动规律的方程?
写下这些记号的,难道是一位 凡人吗? 玻尔兹曼对于maxwell方程的给予高度的赞赏,曾引用歌德的<浮士德>中的一段话予以评价: 一位发凡人吗? 玻尔兹曼对于maxwell方程的给予高度的赞赏,曾引用歌德的<浮士德>中的一段话予以评价: 写下这些记号的,难道是一位 凡人吗?
三次工业革命 从科学技术发展史来说，物理学的发展，对科学技术的发展起着决定性的作用，因为物理学发展的每次重大突破，都引起了一次工业大革命。
第一次是17、18世纪，牛顿力学的建立和热力学的发展，有力地推动了其它学科的发展，蒸汽机的制造和机械工业的发展，引起了第一次工业大革命——实现了工业生产的机械化
第二次是19世纪，在法拉第、麦克斯韦电磁理论的推动下，成功地制造了发电机、电动机、各种电器和电讯设备，引起了第二次工业大革命——实现了工业生产的电气化.
第三次是20世纪以来，由于相对论和量子力学的建立，人类的认识深入到了原子核的内部结构和基本粒子这一层次，实现了核能和人工放射性同位素的利用，促成了半导体、核磁共振、激光、电子计算机等新技术的发明，推动了材料科学、生命科学等许多学科的发展，引起了第三次工业大革命——核能的利用和工业生产自动化。
近年来，物理学家的研究眼光转向超导、纳米材料、等离子态和非线性物理等领域，若能取得重大突破，将在二十一世纪引起第四次工业大革命。
电磁理论的发展过程简介 1820年前的二千多年时间 电学 磁学 1820年，奥斯特的电流的磁效应使人们认识到电磁是相互联系的。 三次工业革命：从科学技术发展史来说，物理学的发展，对科学技术的发展起着决定性的作用，因为物理学发展的每次重大突破，都引起了一次工业大革命。第一次是17、18世纪，牛顿力学的建立产热力学的发展，有力地推动了其它学科的发展，蒸汽机的制造和机械工业的发展，引起了第一次工业大革命——实现了工业生产的机械化；第二次是19世纪，在法拉第、麦克斯大韦电磁理论的推动下，成功地制造了发电机、电动机、各种电器和电讯设备，引起了第二次工业大革命——实现了工业生产的电气化；第三次是20世纪以来，由于相对论和量子力学的建立，人类的认识深入到了原子核的内部结构和基本粒子这一层次，实现了核能和人工放射性同位素的利用，促成了半导体、核磁共振、激光、电子计算机等新技术的发明，推动了材料科学、生命科学等许多学科的发展，引起了第三次工业大革命——核能的利用和工业生产自动化。近年来，物理学家的研究眼光转向耗散结构、混沌、超导、等离子态和非线性物理，若能取得突破，将在二十一世纪引起第四次工业大革命。 1831年Fraday发现电磁感应定律使人们对电磁内在的联系有了更深刻的认识。
1865年Ｍaxwell在前人的基础上，以及自己提出位移电流和涡旋电场的假设下，建立了完整的电磁场理论，并预言了电磁波的存在，而且指出了光是一种电磁波（交变电磁场)，在工程技术中获得了广泛的应用，如通信。
问题：在点电荷周围存在什么场？ 电场？磁场？电磁场？ 电磁场的描述与参照系有关
第五章 静电场
第五章 真空中的静电场 Electrostatic field §5.1 电荷 一.电荷守恒定律 第五章 真空中的静电场 Electrostatic field §5.1 电荷 一.电荷守恒定律 1.对电荷的基本认识（摩擦起电，做一个小实验) 两种 电荷量子化 (charge quantization ) 1906-1917年，密立根用液滴法首先从实验上证明了，微小粒子带电量的变化不连续。
电荷守恒定律 (law of conservation of charge) 电荷守恒定律的表述 在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。 电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律
库仑定律 A.de coulomb 库 仑
§5.2 库仑定律(Coulomb Law) 1785年，库仑通过扭称实验得到。 1.库仑定律表述 在真空中， 两个静止点电荷之间的相互作用 力大小，与它们的电量的乘积成正比，与它们 之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它 们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
点电荷：一个形状和大小可以略去不计的 带电粒子或带电体。 可以简化为点电荷的条件； d r < Q 2 r 1 d
二 库仑定律的数学表达式 SI制
令 （ 为真空中介电常数）
例 在氢原子内,电子和质子的间距为 . 求它们之间电相互作用和万有引力,并比较它们的大小. 解 （微观领域中,万有引力比库仑力小得多,可忽略不计.）
§5- 3 电场强度 Q 于 用 作 Q 生 产 Q 的电场 用 作 于 生 产 Q 的电场 物 质 一、电场 §5- 3 电场强度 一、电场 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力， 但其相互作用是怎样实现的？（力作用的两种形式？） 2 Q 于 用 作 Q 1 生 产 Q 1 的电场 用 作 于 生 产 Q 的电场 2 实物 物 质 场 场是一种特殊形态的物质
电场中某点处的电场强度 等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受力方向. 二 电场强度 ：场源电荷 ：试验电荷 电场中某点处的电场强度 等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受力方向. 试验电荷为点电荷、且足够小,故对原电场几乎无影响 单位
三 点电荷的电场强度
四 电场强度的叠加原理 点电荷 对 的作用力 由力的叠加原理得 所受合力 故 处总电场强度 电场强度的叠加原理
电荷连续分布情况 电荷体密度 点 处电场强度
电荷面密度 电荷线密度
五 电偶极子的电场强度 电偶极子的轴 电偶极矩（电矩） 讨 论 （1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度
（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度
θ = f l sin θ M + l = q l E θ sin sin p = E θ M = p E 电偶极子在电场中所受的力矩 e ×
ò ò A M d = E p sin = d 2 = E p 2 A E p = = 0.5J E M p sin = 45 E p 例：一电偶极子原来与一均匀电场平行，将它转到与电场反平行时，外力作功1J。问当此电偶极子与场强成45O时，作用于它的力偶矩有多大？ π q A M d = ò q E p sin = d π ò 解： 2 = E p 2 A E p = = 0.5J q E M p sin = 45 E p sin = = 0.5× 45 sin =3.45×10-2 N.m
解 例 正电荷均 匀分布在半径为 的圆环上.计算在环的轴线上任一点 的电场强度. 由对称性有
讨 论 （1） （点电荷电场强度） （2） （3）
例 均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度. 有一半径为 ,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为 . 求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度. 解 由例１
讨 论 无限大均匀带电平面的电场强度 （点电荷电场强度）
例 .真空中有均匀带电直线，长为L，总电量为Q。线外有一点P，离开直线的垂直距离为a，P点和直线两端连线的夹角分别为1和2 。求P点的场强。（设电荷线密度为） 电荷元：dq=dx a y x 1 2 o P 解： dE dEy dEx r dx x
a y x 1 2 o P dx dE dEx dEy r
无限长带电直线： 1 = 0 ，2 =
无限长均匀带电直线的场强具有轴对称性 ε 2 λ a = E π
π ε π ε π ε π ε π ε θ θ θ E = arc tg =45 d 4 l a = ( ) sin E 4 -l d = 例 、 一根很长的绝缘棒，均匀带电（如图），单位长度上的电荷量为。试求距棒的一端垂直距离为d 的P点处的电场强度。 P E x y θ = arc tg =45 d 45 π ε 4 l a = ( ) sin θ 2 1 E x π ε 4 -l d = l π ε 4 a = ( ) cos θ 1 2 E y π ε 4 l d = l π ε 4 d = 2 E x y 2 + =
[例 ]有宽度为a的直长均匀带电薄板，沿长度方向单位长度的带电量为l . 试求：与板的边缘距离为b的一点P 处的电场强度。 P . a b
ò ò ε ε ε ε ε . π π π π π a P b d r d E r 2 = a = d r ? r 2 = a d E d 解：如图，沿宽度方向取一窄条 a P b . d r d E r l ε π 2 = l a = d r ? r ε π 2 = l a d E d r l ε π 2 = a l ε π 2 = ò r d b a+b = a l ε π 2 ln b a+b E d ò =
例、两根相的均匀细棒，长为l，电荷 线密度为，沿同一条直线放置。两细棒间的最近距离也为l，如图所示，假设棒上的电荷 是不能自由移动的。试求两棒间的静电相互作用力。 ２ １ l ０ x dx 解：分析：带电体之间的相互作用力是通过电场来实现 的，可以先求出一个带电体在空间产生的电场分布，然后求该电场对另一个带电体处在该电场中时的作用力。注意本题不能当作点电荷 来处理。
１ l ２ l l ０ x dx 方向沿两棒的连线
[例] 有一半径为a的均匀带电的半圆环，带电量为q。试求：圆心处的电场强度。 y x o q
ò ò ε ε ε ε ε ε ε ò ò π π π π π π d q = a = q d a = d l q d E a 4 = q 解： a = l q d a = d l q d E a ε π 4 = q 2 q l = a π a ε π 4 = 2 l q d Ey =0 a E d q y x o 由对称性 ò Ex = d E q sin = ò E d π q sin = ò a ε 4 l d π q sin = ò a ε 4 l d π = a ε 2 q q cos = a ε π 4 l = a ε π 2 l
[例 ] 有一半径为 a 的非均匀带电的半圆环，电荷线密度为=0cos 。 y x o q
ε ε ò ò π π 解： r y x o q d dE l d q = q r = d d q r 4 E = r 4 = q d Ex l =l 0cosq 解： r y x o q d dE + l d q = l q r = l 0cosq d d π q r 2 ε 4 E = π r 2 ε 4 = q l 0cosq d Ex ò = d q cos = ò E d
ò ò ò ε ε ε ε ε ε ò ò π π π π r 4 q d cos =- = r 4 q d cos + q 2 sin 4 q l d cos =- ò = π r ε 4 q -l d 2 cos ò + q 2 sin 4 1 π r ε l =- r ε 8 l =- Ey ò = d q sin = ò E d π r 2 ε 4 q l d cos =- ò sin π r ε 4 l q 2 sin =- =0
高斯 定理
德国数学家 物理学家 高斯 C.F.Gauss (1777-1855)
§5 - 5 电场线和电通量 一 电场线 （电场的图示法） 规 定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, §5 - 5 电场线和电通量 一 电场线 （电场的图示法） 规 定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为 该点电场强度的大小.
点电荷的电场线 正 点 电 荷 + 负 点 电 荷
一对等量异号点电荷的电场线 +
一对等量正点电荷的电场线 +
一对不等量异号点电荷的电场线
带电平行板电容器的电场线 + + + + + + + + + + + +
电场线特性 1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远). 2） 电场线在没有电荷的地方不相交. 3） 静电场电场线不闭合.(后面进一步讨论)
二 电场强度通量 通量有正负号，与法向的选择有关
S为封闭曲面，外法向为正 闭合曲面的电场强度通量
均匀电场 ， 垂直平面 大小等于电场线数 均匀电场 ， 与平面夹角
例1 如图所示 ，有一 个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电 场中 . 求通过此三棱柱体的 电场强度通量 .
解
三 高斯定理 在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以真空中的介电常数 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
1、点电荷位于球面中心 +
q + + 2. 若电荷在面外，则此积分值为??。因为有几条电场线进入面内必然有同样数目的电场线从面内出来。 3. 若封闭面不是球面,则积分值不变，为什么？ +
4、由多个点电荷产生的电场
高斯定理 总 结 1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
讨论 将 从 移到 * 点 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 有否变化？ 将 从 移到 点 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 有否变化？ 讨论 在点电荷 和 的静电场中，做如下的三个闭合面 求通过各闭合面的电通量 .
四 高斯定理的应用 （用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 其步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
分析均匀带电球面的电场分布 以上分析可知场分布具有球对称性
一半径为 , 均匀带电 的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 例2 均匀带电球面的电场强度 + 一半径为 , 均匀带电 的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度. 解（1） （2）
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度. 例3 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度. + 对称性分析：轴对称 解 选取闭合的柱形高斯面 +
+
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为 ， 求距平面为 处的电场强度. 例4 无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为 ， 求距平面为 处的电场强度. 对称性分析： 垂直平面 解 + + + + + + + + + + 选取闭合的柱形高斯面 + + + + + + + + + + 底面积
讨 论 无限大带电平面 的电场叠加问题
思考题与练习题 1、均匀带电球体的电场分布具有什么特征？如何用高斯定理求解？
例 均匀带电球体的电场强度 + 解（1） （2）
Q q S [ B ] 3、点电荷 Ｑ被曲面Ｓ所包围，从无穷远处引入另一点电荷 q到曲面外一点，如图所示，则引入前后： 2、一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况，通过高斯面的电通量发生变化？ （Ａ）、将另一点电荷 放在高斯面外； （Ｂ）、将另一点电荷 放在高斯面内； （Ｃ）、将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内； （Ｄ）、将高斯面半径缩小 [ B ] 3、点电荷 Ｑ被曲面Ｓ所包围，从无穷远处引入另一点电荷 q到曲面外一点，如图所示，则引入前后： （Ａ）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强不变； （Ｂ）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强不变； （C）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强变化； （D）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强变化。 Q q [ D ] S
r P 1 2 4、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可以肯定： （Ａ）高斯面上各点场强均为零； （Ｂ）穿过高斯面上每一面元的电通量为零； （Ｃ）穿过整个高斯面上的电通量为零； （Ｄ）以上说法均不对 [ C ] 5、如图所示，两个无限长的半径分别为Ｒ１和Ｒ２的共轴圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长为度上的带电量分别为1,、2，则在外圆柱外面，距离轴线为r处的Ｐ点的电场强度大小Ｅ为： r 答案： P 1 2
a d b c q a A d b c q 6、如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的Ａ角上，则通过侧面abcd的电通量为： 如果放在中心处，则又是多少？ Ａ d b A a b d q c c
-x x x E S 7、设电荷 体密度沿 x 轴方向按余弦规律＝０cosx分布在整个间，试求间场强分布。 Yoz平面 解：如图所示，由于cosx为偶函数，故其电荷分布关于yoz平面对称，电场强度亦关于yoz平面对称，作面积为Ｓ，高为2x的长方体（或柱体），则利用高斯定理得： S -x x x E
8、有一带球壳，内外半径分别为a和b,电荷 密度=A/r,在球心处有一 点电荷 Ｑ，证明当Ａ=Q/2a2 时，球壳区域内的场强Ｅ的大小与r无关。 证明： 以Ｑ为圆心，半径 r作一球面为高斯面，则利用ＧＳ定理与场分 布具有球对称性的特点可得 r Ｑ S
r S 9、图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为，球壳内半径为Ｒ１，外半径为Ｒ２，为零点。求球内外电场分布。 解：以o为圆心，半径 r作一球面为高斯面，则利用ＧＳ定理与场分 布具有球对称性的特点可得 r S
10、如图，求空腔内任一点Ｐ的场强。 解：求空腔内任一点场强，挖 去体密度为的小球，相当于不挖，而在同一位置处，放一体密度为- 的小球产生的场强的迭加。 Ｐ 02 01
11 如图所示,一厚度为a的无限大带电平板,其电荷体密度分布为 kx (0 x a)式中k 为正常数,试证明: (1) 平板外空间的场强为均匀电场,大小为 (2) 平板内 处E=0 解(1) 据分析可知平板外的电场是均匀电场,作如图封闭圆柱面为高斯面 x dx x E S a
x<a (2) x x E1 S a
§5.4 静电场的环路定理 电势 一 静电场力所做的功 点电荷的电场 结果: 仅与 的始末位置有关，与路径无关.
任意电荷的电场（视为点电荷的组合） 结论：静电场力做功与路径无关. 二 静电场的环路定理 1 2 静电场是保守场
电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的. 三 电势能 静电场是保守场，静电场力是保守力.静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值. 令 试验电荷 在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功. 电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的.
四 静电场的电势 (积分大小与 无关) 点电势 点电势 （ 为参考电势，值任选）
令 电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零. 物理意义 把单位正试验电荷从点 移到无穷远时，静电场力所作的功. 电势差
电势差 (将单位正电荷从 移到 电场力作的功.) 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关. 注意 静电场力的功 原子物理中能量单位 单位：伏特
五 电势的计算 1 点电荷的电势 令
2 点电荷系和连续带电体的电势 叠加原理 点电荷系 电荷连续分布
讨论 利用 （利用了点电荷电势 ， 这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.） 求电势 的方法 讨论 （利用了点电荷电势 ， 这一结果已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点.） 若已知在积分路径上 的函数表达式， 则
例1 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为 处点 的电势. 例1 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为 处点 的电势. +
讨 论
均匀带电薄圆盘轴线上的电势 （点电荷电势）
试求（1）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳内任意点的电势. 例2 均匀带电球壳的电势. 真空中，有一带电为 ，半径为 的带电球壳. 试求（1）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点间的电势差；（3）球壳外任意点的电势；（4）球壳内任意点的电势. + 解 （1）
（2） + （3） 令 由 可得 或
（4） 或 均匀带电球体的电势分布?
例3 “无限长”带电直导线的电势 解 令 能否选 ？
[ 例4 ] 如图电荷 均匀分布在锥面上，求锥顶处的电势。 l d P l R σ l R
dq P x a o dx 解： 如果线电荷密度是X的函数，电势如何求？ 例5、电量q均匀分布在长为2l 的细杆上，求在杆外延长线与杆端距离为a的Ｐ点的电势 (设无 穷远处的电势为零). dq P x a o dx 解： 如果线电荷密度是X的函数，电势如何求？
例6、如图所示，半径为Ｒ的均匀带电球面，电量为Ｑ,沿径向方向上有一均匀带电细线，电荷 线密度为，长度为 Ｌ,细线近端离球心距离为 r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用的影响，试求细线所受球面电荷 的电场力和细线在该电场中的电势能。 Ｒ dq= dx Ｑ o dF 解（１） x x dx 方向如图向右
Ｒ Ｑ o x x dx (2)、
a b １ ２ d 例7、试 证明，在静电场中，电场线都是平行的区域内（无电荷 分布），必定是场强处处相等的均匀电场。 证明： （１）、因为电场线平行，因而在同一条电场线上各处的电力线数密度相同，所以，任一条电力线上的电场强度相同。 （２）、下面利用环流定理证明任意两条电场线上的电场强度相同。 a b １ ２ d C 综合（１）和（２）可得结论成立
例8、电荷 密度分别为＋和－的两块“无限大”均匀带电平板相互平行，处于与平面 的＋a和－a的位置上。设坐标原点o处电势为零，试求空间电势分布的表达式，并画出其曲线。 y - -a +a ＋ 解： o x
o x y ＋ -a +a
-a x +a
例9、如图所示，在电偶极子的电场中，将一电量为q0的点电荷从Ａ点沿半径为Ｒ的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，Ｒ＞＞电偶极子正负电荷之间的距离）移到B点，求此过程中电场力作的功。 Ｂ
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德国生理学家 物理学家 亥姆霍兹 （1821-1894） 电 势 梯 度
1.等势面：在静电场中，电势相等的面所组成的面。 §5-6 电势梯度 1.等势面：在静电场中，电势相等的面所组成的面。 2. 等势面与电场线的关系 若A、B为一等势面。 qo 在等势面上移动 电场对电荷 所作的元功为： q o θ B 在等势面上移动不作功，所以有： A 结论：电场线与等势面垂直
点电荷的电场线与等势面 +
+
电平行板电容器的电场线与等势面 +
I θ I 二、电势梯度矢量 的方向为垂直于等势面 法线 规定： 并指向电势升高 方向。 d l 电势沿 方向的变化率 d n 因为 所以
I θ 电势梯度矢量定义： 方向：垂直于等势面指向电势升高的方向 n 即法线 的方向。 大小：电势梯度矢量在数值上等于电势沿法 线方向的方向导数，或电势沿法线方 向的变化率。 即等于
I θ d E n = ( ) + = grad d n 电势梯度矢量 三、电势梯度与电场强度的关系 = E d 电场强度大小等于在法线方向的电势变化率，其方 向和电势梯度的方向相反。
ε ε π π [ ] q r 4 = ( ) x + R = 4 q ( ) x + R ¶ E = [ 例1 ] 已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为： q π ε r 4 o = ( ) x 2 + R 1 求：轴线上任一点的场强。 π = ε 4 o q ( ) x 2 + R 3 [ ] E x = ¶ 解：
π ε ¶ ε π ε π r 4 q = r = E = = 4 q ( ) r 1 = 4 q r [ 例2 ] 已知一点电荷的电势为： π ε r 4 o q = 求：任一点的场强。 r = ¶ E r = 解： ε = π 4 o q ( ) r 2 1 = ε π 4 o q r 2
静电场的能量
q1 q 2 Ｂ Ａ r Ｂ Ａ 一、带电体之间的相互作用能 如图，设q1和q2开始时处于无穷远的状态，现在外界的作用下，从状态（a）（b），在此过程中外界作用的功就等于状态（b）时q1和q2之间的相互作用能。 （a） Ａ Ｂ q1 q 2 （b） Ａ Ｂ r
二、带电体的静电能 如图设想构成带电体的无限多的元电荷开始处于彼此相距无穷远的分散状态。现将这些分散的元电荷聚集起来，在此过程中外界做的功就是这个带电体的静电能。
三、带电体系的静电能 2 3 1 ???
三、点电荷系之间的相互作用能 １、q1、q 2 组成的系统 Ａ Ｂ r12 q1 q 2 式中 i是 qi 以外的电荷在 qi 处的电势
２、q1、q 2和q3 组成的系统的相互作用能
3、n个点电荷组成的系统的相互作用能
四 、连续分布的电荷系统的静电能 连续分布的电荷系统可分割成无限多元电荷，由静电能的定义可知，此时系统的无限多元电荷的相互作用能就为该电荷系统的静电能。 V 式中dq处的电势为
例题１、如图所示，边长为a的立方体的每一边顶点上方放有一点电荷 -e,立方体中心处放有一正点电荷 ＋2e,求此系统的相互作用能 。 解：（１）、八个顶点上的负电荷 分别与相邻的负电荷之间的相互作用能为Ｗ１
-e +2e a （２）、６个面上其有１２对顶点负电荷 之间的相互作用能的相互作用能为Ｗ２
-e +2e a （３）、立方体对角线上四对负电荷 的相互作用能Ｗ３ （４）、中心点电荷与八个顶点上的负电荷 的相互作用能Ｗ４为
例题２、求均匀带电 球面的静电能 解： q R ＋
例题３、求电容器的能量 R _ + u _ + 解法：（１）、如图将dq从负极搬到正极，电源克服电场力作功
解法：（２）利用静电能公式
电容器的充放电过程 RC时间常演示 充电 时间常数 RC大充电时间长
放电 放电时间
ò ò . W w = V 1 2 E 1 2 E dV = W w dV = 五、静电场的能量 = 1 2 S d E ( ) ( ) 1 A B Q W e 1 2 = E d S 1 2 = E V . 电场能量密度 W e w = V 1 2 E 1 2 E dV V ò = W e w dV V ò = Ｖ遍及整个场所在的空间。
ε ε ε ò ò π π π E = Q r 4 dV = r 4 dr R Q dr r = W w dV = Q R 8 1 ( ) [例4]求一均匀带电球面的电场能量。 ε π E = Q r 2 4 dV = r 2 4 π dr R ε r + Q dr r = W e w dV V ò π ε = Q 2 R 8 1 ( ) r 4 dr ò 静电能就是电荷 产生的电场的能量
思考题: 有一半径为R的导体球,开始不带电,现将分散在无限远处的元电荷聚集到导体球上,则当导体球上带有Q电量时,外力做的功是多少? 同学们推导.
试比较均匀带电球面和均匀带电球的静电能 E=0 均匀带电球面和均匀带电球外的电场分布相同，因此后者的静电能大于前者的静电能.
例6、从场的角度谈谈自能、相互作用能和静电能 ２ １
例7. 真空中一半径为a，带电量为Q 的均匀球体的静电场能。 解： 球内场强： 球外场强：
??? 同学们推导
第六章 静电场中的导体和电介质
6-1 静电场中的导体 一 导体的静电平衡条件 静电感应——在静电场力作用下，导体中电荷重新 分布的现象。 无外电场时
+
+ 导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
金属球放入前电场为一均匀场(演示) E
金属球放入后电场线发生弯曲 电场为一非均匀场 + E
（2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直. 静电平衡条件 （1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直. 导体是等势体 + 导体表面是等势面 导体内部电势相等
二 静电平衡时导体上电荷的分布 + 1 实心导体 结论 导体内部无电荷 2 有空腔导体 空腔内无电荷 电荷分布在表面上 内表面上有电荷吗？
+ + - 若内表面带电 矛盾 导体是等势体 所以内表面不带电 结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
空腔内有电荷 电荷分布在表面上 内表面上有电荷吗？ 结论 当空腔内有电荷 时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷 ，外表面有感应电荷 （电荷守恒）
表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比 3 导体表面电场强度与电荷面密度的关系 为表面电荷面密度 + 作柱形高斯面 S 表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比
R Q q r [例1]两金属球体，半径分别为R, r 。它们相距很远，用一导线将它们相联。当它们带电时，求两球电荷面密度和曲率半径的关系。 因为两球相距很远，所以其中一球上的电荷对另一球表面的电势的影响可以认为是零。
ε σ σ σ π π π r Q q 4 = R r Q q = R 4 = R Q 4 = r q = r Q q R = R r ∴ 静电平衡时两球的电势相等,所以: r Q q ε π 4 = R r Q q = R σ 2 π 4 = R Q σ 2 π 4 = r q σ r R = r Q q R 2 = R r ∴ 此式表明,导体的曲率半径越小,电荷面密度越大。
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关. 4 导体表面电荷分布 + 注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.
尖端放电现象 带电导体尖端附近电场最强 带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即尖端放电 . 尖端放电现象的利与弊 尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密测量和对通讯产生危害 . 然而尖端放电也有很广泛的应用 .
< 电风实验 > + + + 应用：避雷针 尖端放电现象演示
三 静电屏蔽演示 不接地的导体腔 接地的导体腔 接地导体的电势与无穷远等势
静电屏蔽 金属罩 带电体 + 仪器
例2. 有一外半径R1，内半径为R2的金属球壳。在球壳中放一半径为R3的金属球，球壳和球均带有电量q=10-8C的正电荷。问：（1）两球电荷分布。（2）球心的电势。（3）球壳电势。 解(1) 电荷分布 电荷+q分布在内球表面。 R3 R2 R1 球壳内表面带电-q。 球壳外表面带电2q。
（2）球心的电势 （r < R3 ） （R3 <r <R2 ） R3 R2 （R2 < r<R1 ） R1
（3）球壳电势 迭加原理求电势? 同学们练习
例3.两块大导体平板，面积为S，分别带电q1和q2，两极板间距远小于平板的线度。求平板各表面的电荷密度。 解： B A q1 q2 电荷守恒： 由静电平衡条件，导体板内E = 0 2 3 4 1
讨论 1、两板电量大小相等异号时，电荷分布的特点？电场与电压？ 2、一个板接地，电荷分布的特点？电场与电压？ 3、一个无限大平行导体板周围的电场如何求？
§6.2 静电场中的电介质 电介质： 电介质的特点： 电阻率很大，导电能力很差的物质，即绝缘体。 （常温下电阻率大于107欧·米） 分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内部几乎没有自由电荷。
一 电介质的极化 两大类电介质分子结构： 1. 无极分子： 分子的正、负电荷中心在无外场时重合。不存在固有分子电偶极矩。 = H4C
2. 有极分子： 分子的正、负电荷中心在无外场时不重合，分子存在固有电偶极矩。 H2O = 电偶极子
1、无极分子的位移极化 + - 在外电场的作用下，介质表面产生电荷的现象称为电介质的极化。 ± 由于极化，在介质表面产生的电荷称为极化电荷或称束缚电荷。 + - + - E
2、有极分子的转向极化 - + - + - 有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为转向极化。 Eo 有极分子在外场中发生偏转而产生的极化称为转向极化。 F + - Eo 无极分子在外场的作用下由于正负电荷发生偏移而产生的极化称为位移极化。
外电场： 极化电荷产生的电场： 介质内的电场： 击穿：在强电场作用下电介质变成导体的现象。 空气的击穿电场强度约为： 矿物油的击穿电场强度约为： 云母的击穿电场强度约为：
二 极化强度 电极化强度 是反映介质极化程度的物理量。 + - 没极化： + - 极化时： Eo
电极化强度定义： （C· m-2 ） 实验表明： 对于各向同性的均匀电介质，其中任一点处的电极化强度与该点的总场强成正比。 实验表明： 对于各向同性的均匀电介质，其中任一点处的电极化强度与该点的总场强成正比。 e ：介质的极化率 极化率e与电场强度E无关，取决于电介质的种类。
电极化强度与极化电荷的关系： 设在均匀电介质中截取一斜柱体。体积为V。
均匀电介质表面产生的极化电荷面密度等于该处电极化强度沿表面外法线方向的投影。 结论： x 极化电荷带正电 极化电荷带负电
讨论：介质球与导体球在外场作用下的区别？
电极化强度通过任意封闭曲面的通量与介质外表面的极化电荷 的关系？
三 有介质时的高斯定理 封闭曲面S所包围的自由电荷。 封闭曲面S所包围的极化电荷。
定义电位移矢量： 介质中的高斯定理： 在静电场中，通过任意封闭曲面的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。 注意： 电位移矢量 是一个辅助量。描写电场的基本物理量是电场强度 。
与 的关系 对于各向同性的电介质： r ：相对介电常数 ：介电常数 或
注： 是定义式，普遍成立。 只适用于各向同性的均匀介质。
有介质时静电场的计算 1. 根据介质中的高斯定理计算出电位移矢量。 2. 根据电场强度与电位移矢量的关系计算场强。
如图电介质中的静电场 如图电介质中的静电场 + 自由电荷的场强 + 极化电荷的场强 介质中的合场强 σ + ´
ε ε σ σ ε + + + + + + A d E D C d E D B 1. 用高斯定理求： D , E ； 2. 求： [ 例1 ] 一平行板电容器，其中填充了一层介质，尺寸如图，介质的相对介电常数为 ε r 。 1. 用高斯定理求： D 1 2 , E ； 2. 求： σ + + + + + + A ε d E 1 D 1 1 C ε r d 2 E 2 D 2 B σ
σ A + + + + + + + + + ε S d 1 D 1 C ε d r 2 σ B
σ A + + + + + + + + + ε d 1 C ε d r 2 S σ B 平板电容器中有n层介质，则其D相同？？
+ d 1 2 ε r B C A D E σ ε σ = d 1 2 + r N层？？
例2 、在空气平行板电容中，平行插入一块各向同性的电介质板，如图所示，当电容器充电后，若忽略边缘效应，电介质中的场强Ｅ与空气中的场强相比较 有Ｅ？Ｅ０ Ｅ Ｅ０
§6.3 电容和电容器 电容器是构成各种电子电路的重要器件,也是电力工业中的一个重要设备。它的作用有整流、隔直、延时、滤波等。
一 电容器 电容器电容 电容的大小仅与导体的形状、相对位置、其间的电介质有关. 与所带电荷量无关.
二 电容器电容的计算 1）设两极板分别带电 ； 2）求 ； 步骤 3）求 ；4）求 . - 1 平板电容器 （1）设两导体板分别带电 二 电容器电容的计算 1）设两极板分别带电 ； 2）求 ； 3）求 ；4）求 . 步骤 + + + +++ - 1 平板电容器 （1）设两导体板分别带电 （2）两带电平板间的电场强度
（3）两带电平板间的电势差 + + + +++ - （4）平板电容器电容
2 圆柱形电容器 （1）设两导体圆柱面单位长度上 分别带电 （2） ++++ ---- （3） （4）电容
* 例２ 球形电容器的电容 球形电容器是由半径分别为 和 的两同心金属球壳所组成． 解 设内球带正电（ ），外球带负电（ ）． 例２ 球形电容器的电容 球形电容器是由半径分别为 和 的两同心金属球壳所组成． 解 设内球带正电（ ），外球带负电（ ）． ＋ * 孤立导体球电容
例3 两半径为 的平行长直导线中心间距为 ，且 , 求单位长度的电容 . 解 设两金属线的电荷线密度为 单位长度的电容
三 电容器的串联和并联 ＋ １ 电容器的并联 ２ 电容器的串联 ＋
电容器的串联 U + _ q - q -q U1 U2 C1 C2
_ q1 + + _ + _ _ + C1 U q2 - q _ + _ + _ + _ + C2 U
a b 例题5、半径分别为a和b的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多。今用一细线将两者相连接，并给系统带上电荷Q,求 （１）、每个球上分配到的电荷 是多少？ （２）、按电容定义式，计算此系统的电容。 a b 解（１）
解（１）、 a b （２）
例题6、一电容器由两根很长的同轴簿圆筒组成，内外半径分别为Ｒ１和Ｒ２，电容器接在电压为Ｕ的电源上，试求距离轴线为Ｒ处Ａ点的ＥＡ和Ａ点与外筒之间的电势差。 解： r R2 R1 U 另一种方法？？
r R2 R1 U
例题7、图示为一球形电容器，在外壳的半径b及内外导体间的电势差Ｕ恒定的情况下，内球半径a为多大时，才能使内球表面附近的电场强度最小。 解： a 内球表面处的场强大小为: o b U
例8、两个电容器１和2 串联以后接上电源充电，在电源保持接的情况下，若把介质充入电容器2中，则电容器1的电势差如何变化？电容器1上的电量又如何变化？（填增大，减小，不变） Ｃ１ Ｕ ２ Ｃ２
例9、 两只电容器，Ｃ１＝８Ｆ，Ｃ２＝２Ｆ，分别把它们充电到1000V,然后将它们反接（如图所示),此时两极板间的电势差为： （Ａ）、０Ｖ；（Ｂ）、２００Ｖ；（Ｃ）、６００Ｖ；（Ｄ）、１０００Ｖ ＋ － Ｃ１ Ｃ２ ＋ －
例10. 球形电容器由半径为R1的导体球和内半径为R3的导体球壳构成，其间有两层均匀电介质，分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。求：电容。 解： r1 R2 R1 R3 r2
静电场拓展习题 1、在-d<x<d的空间区域内，电荷密度>0为常数，其它区域均为真空。若在x=2d处将质量为m,电量为q（<0）的带电质点自静止释放。试问经过多少时间它能到达x=0的位置。 解、由高斯定理可得电场分布
带电质点由x=2d运动到x=d过程中 方向向左 带电质点由x=d运动到x=0过程中
带电质点在线性恢复力作用下作简谐振动 简谐振动的初始条件为 初相位在第一象限
带电质点由x=d运动到x=0过程中,所需的时间为满足方程
2、静电天平可测定静电电势差. 如图,一空气平板电容器,两极板的面积均为S,相距x,下板固定,上板接到天平的左端 2、静电天平可测定静电电势差.如图,一空气平板电容器,两极板的面积均为S,相距x,下板固定,上板接到天平的左端.当电容器没充电时,天平刚好平衡;若把电压V加到电容器的两极板上,则需在天平的右端加上质量为m的法码,天平才能平衡,设S=10cm2,x=1mm,m=0.01g,求所加的电压V.
解、电容器内部的电场强度为 每个极板产生的电场强度为和电场力分别为 天平平衡量时
3、热核反应的点火温度：轻原子核结合成较重的原子核的过程叫做核聚变。核聚变能释放巨大能量。实现核聚娈的困难在于两核靠近时互相排斥，只有在极高温度下，轻核所获得的热运动动能足以克服彼此之间的库仑力才能发生核聚变，故称为热核反应。（1）一个质子要有多大的动能（用eV表示）才有可能与另一质子相接触？ （2）平均热运动的动能达到这一数值时，温度需要多高？（这一温度称为点火温度） 考虑到粒子的速率遵从Maxwell分布律，因而在较低温度下已有少数粒子能具有所需的动能，所以大体上1亿度时能够实现点火。
4、静电透镜 在示波器、电视显像等真空器件中都需要将电子束聚焦，使在荧光屏上形成清晰的光点。这时常采用静电透镜来达到此目的。静电透镜是由具有旋转对称形状的金属电极系统制成的，其中每个电极都有一定的电势，可以产生旋转对称的静电场，这种电场对带电粒子的运动轨迹发生折射作用，与光学透镜对光线的作用相似。故这样的电极系统称为静电透镜。 左板 右板 光栏
解：单光栏静电透镜的小孔两侧轴上的电场强度值不等。但在离开小孔稍远处场强值可看作常数，左侧为E1，右侧为E2 左板 右板 光栏 光栏为圆金属片 -d +d 解：单光栏静电透镜的小孔两侧轴上的电场强度值不等。但在离开小孔稍远处场强值可看作常数，左侧为E1，右侧为E2
设离轴线为r的电子，通过圆孔时，沿与轴线垂直的方向上的径向电场为Er，则在径向电场作用范围内，电子受到径向力Fr 作用。 设电子的径向速度为Vz,则在通过轴向距离 dz期间，径向速度的增量为 设电子的径向初速度为0, 通过圆孔后径向速度的增量为
由于电子速度很大，轴向速度变化很小，故当作常数。（-d，d)以外的区域径向场强可视为0. 设在x<-d和x>d区，电场强度分别为E1和E2 为了求上式积分，取如图所示的圆柱面。利用高斯定理有：
电子通过圆孔后的偏转角，则
电子到达轴线上F点，F点离开圆孔的中心距离为 与电子入射时离开轴线的距离r无关，因此平行入射到圆孔的电子束，全都会聚在F点，就像一束光线通过光学透镜时聚焦在焦点上一样，F就是静电透镜的焦点，f就是焦距。
6、静电除尘 不少部门在生产过程中会产生大量的烟尘,处理不当命运 产生严重污染.因此除尘就成为现代工业生产中迫切需要解决的一个问题.在多种除尘方法中,电除尘技术自20年代问世以来,由于具有除尘效率高,电能消耗小,处理气量大能处理高温及有害气体等优点,已被越来越多的部门所采用,其效率可达99%以上,如首钢在烧结、冶炼、电力等生产环节上使用了大开型静电除尘器。
一、静电除尘机理及除尘器的基本结构 静电除尘是利用气体放电的电晕现象，使荷电尘粒在电场力作用下趋向集尘极，从而达到除尘的目的。大致可分为四个部分 1、气体电晕放电 当施加电压在临界电晕电压和临界击穿电压之间时，放电极附近形成强电场，气体电离成大量正、负离子，形成电晕区。在放电极附近可看到蓝色光点或条状光辉，并听到噼啪声。
2、粉尘荷电 气流中的尘埃与自由电子、负离子碰撞结合在一起，实现粉尘荷电。 3、粉尘沉积 集电极与电源的正极相接，电场力驱使带有负电荷的尘粒迁移到接地的集电极并释放所携带的电荷，沉积在集电极上，实现净化气流的目的。
4、消除粉尘 通过振打或冲洗使积灰落入灰斗 二、静电除尘器电场的基本理论 除尘在是放电极与集极之间的电场中进行的。若采用均匀电场，电压升高到临界值，会引起整个电场中气体被击穿，产生火花放电。为了维持稳定的电晕放电，必须选择非均匀电场。电除尘进行时，必然有电晕电流存在，所以又是非静电场，因而场强的计算较为困难。一般把电除尘器中的电场当静电场，并以所得结果为基础，再通过实验作必要的修正，作为设计的依据。
管式静电除尘器电场的基本理论