利息理论 授 课：王 云

什么是利息理论？ 一言以蔽之，金钱具有时间价值 具体地说，不同时间点的金钱不具有可比性，所有的加减运算和比较工作都必须在同一时间点进行，为此需要计算各种现值和积累值。

具体课程内容 利息问题——基础 年金——核心 收益率——应用 债务偿还——应用

第一章 利息的基本概念 利息度量 各种利息度量概念之间的相互关系 利息问题求解 在一个利息问题中，已知三个基本量，求解第四个基本量

第一节 利息度量 一、基本概念 本金：开始时的投资额 终值：一定时间后回收的总金额，也称为积累值 积累函数a(t)：0时刻数量为1的本金在t时刻的积累值，a(0)=1，a(t)单调递增，a(t)可连续或间断。 贴现函数v(t): t时刻数量为1的积累值在0时刻的现值，v(t)=1/a(t) 利息金额In=A(n)-A(n-1)

例1.1.1 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的金额为1050元，第二年末他存折上的金额为1100元，问：第一年和第二年的实际利率分别是多少？ 例1.1.2 某人投资1000元于证券上，该证券年实际利率为10%，问：一年后，此人将得到的金额为多少？其中利息多少？

二 实际利率 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，则in=In/A(n-1)；

例1.1.3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入5000元，问5年后的积累值为多少？ 例1.1.4 某银行以复利计息，年息为6%，某人存入5000元，问5年后的积累值为多少？ 例1.1.5 已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的现值。

三 单利和复利 考虑投资一单位本金 如果其在t时刻的积累值为a(t)=1+i*t，则称这样产生的利息为单利；

单利和复利的比较 在同样长的时期内，单利利息增长数额为常数，复利利息增长比例为常数； 常数的单利意味着递减的实际利率，常数的复利意味着实际利率为常数； 对相同数值的利率，在t<1时，单利产生的积累值比复利产生的积累值大，t>1时正好相反。

讨论 Jill在t＝0时投资了10000美元，有两种投资方式可以选择。投资方式A以8%的单利计息，投资方式B以5%的实际利率复利计息。Jill可以以任何比例将投资分配于A和B两种方式，并且可以在任何时刻在这两种投资方式之间作出转换。试问，Jill以何种方式投资可以使得当t=20时这笔投资的价值最大？

四 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。 四 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。 等价的利率i、贴现率d和贴现因子（折现因子）v之间关系如下：

例1.1.6 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的金额为1050元，第二年末他存折上的金额为1100元，问：第一年和第二年的实际贴现率分别是多少？ 例1.1.7 设0<d<1，证明： （1） （2） （3）

例1.1.8 已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元，而等价的贴现金额为300元，求本金额。

五 名义利率与名义贴现率 名义利率与等价的实际利率i之间的关系： 定义名义贴现率 名义贴现率与名义利率之间的关系：

例1.1.9 （1）求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及每年计息4次的年名义贴现率；（2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。 例1.1.10 求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资三年的积累值。 例1.1.11 以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5万元，求其值。

六 利息强度 定义利息强度为 从定义可知： 一个常用的关系式如下：

例1.1.12 如果δt=0.01t，0≤t≤2，确定投资1000元在第1年末的积累值和第2年内的利息总额。 例1.1.13 如果实际利率在头3年为10%，随后2年为8%，再随后1年为6%，求一笔1000元的投资在这6年中所得总利息。 例1.1.14 已知年度实际利率为8%，求投资500元、经8年的积累值。

讨论 等价的实际利率、名义利率、实际贴现率、名义贴现率以及利息强度之间有什么关系？不同转换频率的名义利率、名义贴现率之间又有什么关系？

第二节 利息问题求解 利息理论的基本原则：任何时刻资金的积累额依赖于其所经历的时间。 利息问题的基本量：投资的原始本金；投资的时间长度；利率；本金在投资期末的积累值。 求解时，我们往往借助于一个一维的时间图。

例1.2.1 某人为了能在第7年末得到一笔10000元的款项，原意在第1年末付出1000元，在第3年末付出4000元，并在第8年末付出一笔钱，如果年利率为6%，试问他在第8年末应付多少元？

投资期的确定 计算利息的基本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/基础天数。就国际金融领域，目前使用较多的方法有三种： 严格单利方法——实际/实际 常规单利法——30/360 银行家规则——实际/360

例1.2.2 一项投资从美国参加第二次世界大战之日，即1941年12月7日开始，到战争结束之日，即1945年8月8日终止，问一共投资了多少天？（1）按实际/实际计算；（2）按30/360计算。 例1.2.3 若在3月13日存入1000元，到同年的11月27日取出，利率为单利8%，试确定利息金额：（1）按实际/实际计算；（2）按银行家规则计算。

未知时间问题 计算方法 72律：利率为i时，使得积累值是本金的2倍所需的时间大致是72/i。 利用计算器 利用复利表 利用Taylor展式 非整数期部分采用单利近似替代 72律：利率为i时，使得积累值是本金的2倍所需的时间大致是72/i。

例1.2.4 预定在第1、3、5、8年末分别付款200元、400元、300元、600元，假设实际年利率为5%，试确定一个付款1500元的时刻，使这次付款与上面4次付款等价。

未知利率问题 单期投资 利用计算器 多期投资 迭代法 线性插值法 特殊方程利用代数法求解

例1.2.5 某人投资4000元，在3年后积累到5700元，问每季度计息的年名义利率为多少？ 例1.2.6 某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔投资将在4年后积累至1500元，问实际利率是多少？ 例1.2.7 某人现在投资500元，第1年末投资300元，第2 年末再投资150元，这样在第4年末将积累至1300元，试用线性插值法求实际利率是多少。 例1.2.8某人现在投资500元，第1年末投资300元，第2 年末再投资150元，这样在第4年末将积累至1300元，试用迭代法求实际利率是多少。