高中数学课改教材培训 必修5

数学(必修5)的内容 第1章 解三角形 第2章 数列 第3章 不等式

教材的特色 ： 1. 人文性：注重人的情感调动，激发学生的求知欲。 2. 问题性：学习始于疑问。 3. 应用性：学习的目的在于应用。 4. 思想性：利于把握数学的精髓。

第1章 解三角形 正弦定理 余弦定理 正弦定理、余弦定理的应用

一、对课标和教材的分析 （一）知识结构 三角形中的边角关系 正弦定理 余弦定理 解 三 角 形 解三角形的应用

（二）地位与作用 1．整体定位：(承上启下) 延伸、应用、工具、交汇 2. 中心内容: 探究、发现、应用 3. 主要问题 长度、角度、面积

整体定位： 本章定位主要包括以下四个方面: (1)延伸:初中解直角三角形内容的延伸 (2)应用:高中三角函数一般知识和平面向量知识在解三角形中的具体应用 (3)工具:是解决可转化为三角形计算问题的其他数学问题(特别是生产、生活实际中的实际测量问题)的重要工具。 (4)交汇:中学许多重要数学知识的交汇点。

（三）目的与要求 1．课标描述： （1）通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些测量与几何计算有关的实际问题。 2．教学指导意见描述： （1）通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

（四）教学重点与难点： 教学重点 1.探究与发现：正弦定理与余弦定理的探究与发现; 2.设计与运用：依据所学数学知识设计测量方法，应用正弦定理和余弦定理进行几何测量。 教学难点： 1. 已知“边边角”求解三角形。 2.解三角形在实际问题中的应用。

二、从对《课标》《大纲》及新旧教材的比较中看课标教材的特点 （一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较 1.从教学内容编排的位置来看： 2.从《课标》与《大纲》安排位置与描述方式来看： 3.从例题与习题的配备来看： 4.从课时安排来看： 5.从课标卷的命题情况看：

（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较 1.从教学内容安排的位置来看：

（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较 2.从《课标》与《大纲》安排位置与描述方式来看： 《课程标准》对这部分知识内容的教学要求相对比较独立： （1）通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理与余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法，解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较 而《教学大纲》则是将这部分知识的教学要求与三角函数和三角恒等变换安排在一起阐述的：

（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较

（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较 3.从例题与习题的配备来看： 《大纲》教材只有2个应用例题，这两个例题分别是：例1.自动卸货汽车的车厢液压机构为背景的解斜三角形问题；例2.机械传动的曲轴连杆机构为背景的解斜三角形问题 另外，《大纲》教材还安排了2个练习题和4个习题，它们解答过程基本上侧重于三角变换.

（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较 3.从例题与习题的配备来看： 《课标》教材有10个应用例题; 9个练习题; 10个习题。分别涉及到天文测量、航海测量、地理测量等方面实践活动, 包括 航海中海上两个岛屿间的距离的测量； 海上航行的船只的船速与航向的测量； 平面上不可到达的两点间距离的测量; 底部不可到达的建筑物的高度的测量； 水平飞行的飞机下方山顶的海拔高度的测量； 在天文研究中星际距离的测量； 角度与面积的测量 等生活实际中的实际应用问题。

（一）对《课标》与《大纲》及新旧教材的比较 4.从授课学时安排来看：

2007广东卷:(16)已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c,0）,(1)若c=5，求sin∠A的值。 （2）若∠A是钝角，求c的取值范围。 2007海南宁夏卷:(17)测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,现测得∠BCD=α, ∠BDC=β,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB. 2007山东卷:(20)甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,已船位于甲船的北偏西105°方向的处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里?

（二）与大纲教材比较，课标教材的几个突出转变 1．内容定位的转变： 2．教学思想的转变： 3．教学重点的转变：

（三）新教材的主要特点 1．关注数学情景 2．强调数学思想 3．丰富数学文化 4．重视数学应用 5 经历探究发现

1．关注数学情景

2．强调数学思想 方程思想 转化与化归思想 一般与特殊化思想

3．丰富数学文化

4．重视数学应用 距离、高度、角度、几何计算

5. 经历探究发现 以“特殊到一般”的数学发现模式来组织内容 （1）教材以 “直角Δ— 任意Δ” 为主线展开 （2）充分发挥学生的已有经验在探索正弦定理和余弦定理中的作用

三、教学建议 （一）重视对学生问题意识、探究意识和推理能力的培养 1.知识结论的探究; 2.定理证明方法的探究; 3.从定性关系到定量关系的探究.

1.知识结论的探究 以 “直角Δ— 任意Δ” 为主线展开探究 大边对大角——能否将边角关系量化？ 问题情境 直角三角形 探究与发现 《解三角形的进一步讨论》 直角三角形 探究与发现 锐角三角形 钝角三角形 例题2、已知abA 问 题 应 用 已知abA，能否确定 三角形？ 例题1、已知ABa

2.定理证明方法的探究 方法一: 直角,锐角,钝角 ① 正弦定理 方法二:向量法 若

方法三:外接圆法 方法四:面积法

正弦定理的常见变形形式： 1) 2) 3) 知识拓展： 正弦定理是由伊朗天文学家阿布尔·威发（940~998）首先发现与证明的。公元十三世纪，阿塞拜疆人那西列金·图西系统地整理了前人有关的三角形知识。他根据实际测量中解斜三角形的需要，证明了正弦定理与正切定理。 正切定理：

②余弦定理 方法一： 向量法 方法二： 作高，利用勾股定理 方法三： 建立直角坐标系 方法四： 利用正弦定理 ， ， 余弦定理的变形形式：

3.从定性关系到定量关系的探究： ①从任意三角形中大边对大角、小边对小角的定性关系，到三角形边角关系的的准确量化。 ②判定三角形全等的定性条件 “边角边”、“边边边”，到定量而可计算的公式 。

（二）重视对学生应用意识与应用能力的培养 三、教学建议 （二）重视对学生应用意识与应用能力的培养 1、从三个层次把握问题； 2、利用图形语言的直观功能； 3、重视实际应用问题的解题规范.

1、从三个层次把握问题： ⑴应用向量知识证明正弦、余弦定理； ⑵应用三角函数的性质与三角变换解决三角形问题； ⑶应用正弦、余弦定理解决实际测量问题。

2、利用图形语言的直观功能：

3、重视实际应用问题的解题规范 解斜三角形实际应用题的步骤 第一步：准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关术语、名称； 第二步：根据题意画出图形； 第三步：抽象或构造出三角形，标出已知、未知； 第四步：将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解、检验、作答。

三、教学建议 （三）重视数学思想方法的研究与训练 1．一般与特殊化思想： 直角三角形 一般三角形 2．分类讨论思想 （1）定理的探究与证明 1．一般与特殊化思想： 直角三角形 一般三角形 2．分类讨论思想 （1）定理的探究与证明 （2）三角形的可解性与解的个数的讨论

分析二：从“形”的方面 当A为直角或钝角时,若 则无解; 若 则有一解. ,则无解；若 ,则有一解; 若 ,则有两解;若 ,则有一解。 若

3．转化与化归思想 分析三 利用余弦定理 用余弦定理 得到的一元二次方程的正根的个数就是三角形解的个数： 分析三 利用余弦定理 用余弦定理 得到的一元二次方程的正根的个数就是三角形解的个数： （3）利用余弦定理对三角形形状的讨论 （4）应用问题的分类思考 3．转化与化归思想

（四）引导学生用系统论的观点思考和把握解三角形问题 三、教学建议 （四）引导学生用系统论的观点思考和把握解三角形问题 （1）角与角之间的关系： （2）边与边之间的关系： （3）边与角之间的关系： （4）面积和边与角之间的关系：

（1）角与角之间的关系： （2）边与边之间的关系： （3）边与角之间的关系： （4）面积和边与角之间的关系：

三、教学建议 （五）重视实际应用问题的教学 1.营造应用问题氛围； 2.发挥学生主体作用； 3.注重应用问题类型的归纳和提炼； 4.了解实际应用问题中的有关名称、术语。

实际应用问题中的有关名称、术语 仰角与俯角 方向角 ：教材例6 方位角：从指北的方向线顺时针 旋转到目标方向线所成的水平角。

三、教学建议 （六）深入挖掘教材的教育功能 1．关注教材的呈现方式，恰当的选择教学与学习方式 （1）从教材的编排和呈现方式中教给学生数学思维方法 （2）让学生经历学习过程，将知识的生成过程成为学生的探索与发现的过程，给学生自主学习的机会和空间

2．重视例题、习题中蕴含的数学思想方法的教学 （1）重视挖掘例习题中蕴含的生成性知识 射影定理：P18练习3： 与外接圆的关系：P10 B组习题1： 证明：设三角形的外接圆的半径为R，则 与内切圆的关系及三角形面积公式： P20 B组习题1：证明三角形面积公式 习题2：已知三角形的三边为a,b,c,设 求证（1）三角形面积 （2）R为三角形的内切圆的半径，则： （3）把边BC、CA、AB上的高分别记为 ，则 三角形中线长定理：P20 A组习题13： ΔABC的三边长分别为a,b,c, 边BC、CA、AB上的中线分别记为 ，应用余弦定理证明：

（2）重视分析和归纳例习题中问题的不同层次 ①关于对正弦、余弦定理理解与巩固的题组型练习; ②依据问题的已知条件特征，对正弦定理和余弦定理的识别与选择性使用练习; ③三角形内的简单三角变换问题，如三角形内恒等式的证明、三角形形状的判断等; ④实际测量问题（天文测量、航海测量、地理测量）：

如：1.在ΔABC中，已知下列条件，解三角形 (1)A=30°,B=75°,a=40 （2）b=28 ,c=20 ,B=120° （3） , ,A=45° 3. 在ΔABC中，已知下列条件，解三角形 (1)b=60 ,c=34 ,A=45° （2）a=2, , （3）c=8 ,b=3 ,B=60°

如：教材 P10 B组习题2： ，试问这个三角形的形状有什么特点？ 教材 P18例9： 教材 P20 A组习题14：

（3）重视挖掘例习题中蕴含的数学思想方法和能力培养因素 1）就其定理的结构特征而言： 涉及边的二次式、角的余弦函数一般选用余弦定理；涉及边的一次式、角的正弦函数一般选用正弦定理； 2）就其问题的背景而言： 已知两角和一边或已知两边和一边的对角，选择应用正弦定理；已知三条边或已知两边及其夹角，选择应用余弦定理； 3）就其解题的代数变换方向而言： 可利用转化思想，将既含有边又含有角的问题，转化为只含有边或只含有角的问题。

3. 要适当控制练习题目的难度 重点关注解三角形的应用（测量与几何），鼓励学生探究不同的方法来解决问题，而不是硬套公式。 重视揭示三角形本身所蕴涵的边角关系，引导学生体会正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，应淡化三角变换，避免单纯的恒等变形和过分的技巧性训练。

第2章 数列 数列 等差数列 等比数列

一、对课标和教材分析 （一）知识结构 问题情景 数 列 概 念 等比数列 等差数列 通项公式 求和公式

（一）知识结构 1．与必修一：函数研究与应用的延续，数列是函数学习的继续和深化，是连续型到离散型函数的研究 2．与必修三：某些算法问题的理性认识（递推关系、数列的求和、循环结构） 3．与选修2-2：推理与证明（合情推理：归纳推理、演绎推理，归纳、猜想、证明、数学归纳法），数列极限。 4．与选修4-3：数列与差分 5．与选修4-5：数学归纳法证明不等式

（二）地位与作用 1．承上启下，继往开来 2．是中学数学许多重要知识的交汇点 3．是对函数概念的再认识 4．是培养学生合情推理能力的重要载体 归纳推理、类比推理 所以 是周期为6的周期数列，所以 = =-6

5．是各种数学思想与数学方法的集中体现 （1）函数思想： （2）方程思想 （3）算法思想 （4）归纳思想 （1）函数思想： （2）方程思想 （3）算法思想 （4）归纳思想 （5）一般与特殊化思想 （6）类比思想 （7）数形结合思想 （8）转化思想 （9）公式法 （10）构造法 （11）累加（乘）法 （12）分组求和法 （13）裂项相消法（14）整体代换法

（三）目的与要求 课标的描述： （1）数列的概念和简单表示法 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数． （2）等差数列、等比数列 ①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念． ②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式． ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. ④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．

二、新课标教材的特点 大纲描述回顾：理解数列的概念，了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 ①理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能运用公式解决简单问题。 ②理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式，并能运用公式解决简单问题。

（1）模型思想：体现数列的自然特征 （2）强调本质：以函数观点统领数列 （3）重视基础：摒弃繁难复杂的抽象型运算 （4）关注过程：新颖别致的呈现方式 （5）高屋建瓴：蕴藏丰富的数学思想方法 （6）内容丰富，大力拓展思维空间

（2）强调本质：以函数观点统领数列 函数列 数列 等差数列 等比数列 实数 函数 一次函数 指数函数 推广 特殊化 类比

（3）重视基础：摒弃繁难复杂的抽象型运算

（4）关注过程：新颖别致的呈现方式

（5）高屋建瓴：蕴藏丰富的数学思想方法

（6）内容丰富，大力拓展思维空间 如P39和P53练习中第3题都是特殊数列（等差、等比）对去掉前k项、取出所有奇数项、以及每隔一常数（如7、10）项取出一项的子数列的研究。又如由｛ ｝、｛ ｝为等差数列（项数相同），探讨｛ ｝（其中p、q是常数）的等差性质；由｛ ｝、｛ ｝为等比数列（项数相同），研究｛ ｝的等比性质；以及 ｛ }（ ＞0）为等比数列，求证｛ ｝是等比数列。

三、教学建议 （一）重视渗透和落实数学思想方法的教学 1．贯彻“数列作为一种特殊函数”的思想 （1）用函数的观点研究一般数列

①集合与对应观点： ②定义域（正整数集合）：有限集合、无限集合 ③对应法则：解析式法：通项公式 图象法：数列的图像 列表法：图表表示

④分段函数：定义数列的新形式 ⑤函数性质：单调性：递增数列、递减数列、常数列、 摆动数列。周期性：周期性数列

（2）用函数的观点研究等差数列

用函数的观点来认识等差数列的前n项和 例1 等差数列 , ,则当n= 时， 最大．

例2：等差数列 , 问n=？

等差数列通项 图像的关系 等差数列通项 等差数列通项 等差数列通项 等差数列通项 图象的关系 图象的关系 图象的关系 图象的关系

（3）用函数观点研究等比数列 例1 分别是等差数列及等比数列，且 ， >0， ， 试比较 与 的大小．

例2 　已知等差数列 和等比数列 各项都是正数，且 ，则一定有 ． A. C.

2．方程思想 已知它们（ ）中的三个量，通过列方 程（组），可以“知三求二”；

3.算法思想： 问题1：由数列的递推公式 求数列的前几项（P51） 开 始 A=1 n =1 A=1/2A n>5? 结 束 否 是 n=n+1 输出A 3.算法思想： 问题1：由数列的递推公式 求数列的前几项（P51）

循环过程中的循环变量 对应数列的项。（见P35） 问题2： 的不足近似值构成数列1，1.4，1.41，1.414，…， 并逼近 的值 开始 循环过程中的循环变量 对应数列的项。（见P35） 问题2： 的不足近似值构成数列1，1.4，1.41，1.414，…， 并逼近 的值 A=1 D=0.1 是 A=A+D1 否 输出A D=D/10 D>0.000001 是 否 结束

问题3：某工厂2005年的年生产总值为200万元，技术革新后预计每年的年生产总值都比上一年增长5% 问题3：某工厂2005年的年生产总值为200万元，技术革新后预计每年的年生产总值都比上一年增长5%.设计一个程序框图，输出预计年生产总值超过300万元的最近年份. 开 始 n=2005 a =200 t = 0.05a n=n+1 a=a+1 否 a>300? 是 输出n 结 束

问题4：利用循环结构求数列的和 计算S=1+2+3+……+100的值，并画出程序框图 开始 i=1 S=0 i=i+1 i<=100? S=S+i 是 否 输出s 结束

（2007海南宁夏理文5）．如果执行右面的程序框图，那么输出的( ) A．2450 B．2500 C．2550 D．2652 开始 ？ 是 否 输出 结束

（2007广东理文6）．图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180(含160，不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 A．i<9 B．i<8 C． i<7 D．i<6

（2007山东理文10）阅读右边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是（ ） A．2500，2500 B．2550，2550 C．2500，2550 D．2550，2500` 开始 输入 S=0，T=0 是 n<2 否 n=n+1 输出s,t t=t+n 结束 n=n-1

（2008山东卷13）执行右边的程序框图6，若p＝0.8，则输出的n＝ 4 .

例3、为了估计函数在第一象限的图象与轴、轴围成的区域的面积X，把轴上的区间分成等分，从各分点作轴的平行线，与函数的图像相交，再从各交点向左作轴的平行线，构成个矩形.下面的程序用来计算这个矩形的面积的和S.

4.归纳与猜想 ①给出图形信息 P33 习题A 5

②给出数列的前几项

③ 给出数列的递推公式

④由特殊结果得到数列的一般性质 P54 习题B 3

5.一般与特殊化思想 6.转化与化归思想 7.类比思想

8.数形结合思想方法

这样，数列的每一项均可写成这个形式，相邻项抵消，再求和. ∴ (二）重视渗透和落实研究数列方法的教学 1.抓数列的通项公式，关注数列的项与项数的关系 例2. 求和 解： 这样，数列的每一项均可写成这个形式，相邻项抵消，再求和. ∴

2.研究项与项之间的关系 (1)递推公式： 归纳法：

累加法：

累乘法：

(2)数列基本性质（项与项之间的关系） 等差数列： 等比数列：

(三）突出数列研究的两个基本问题：求 与 1.对数列的前n项和 的理解： 任给一个n，都有唯一的 与n对应，所以， 是n的函数， 也是数列 2.用 能表示 吗？ 实际上， 即： 引申：当 时，

(四）把握好本章的教学要求，准确的把握与处理教材 1.不搞一步到位 2.避免繁琐的形式化训练 3.了解性质简化运算 4.要把数列视为反映自然规律的基本数学模型

(五）正本清源，让学生把握数列的本质 1.函数是源，数列是流。 2.定义是源，结构是流。 3.关系是源，形式是流。 4.生活是源，数学是流。

(六）注重对学生数学能力的培养 1．保证基本技能的训练：引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系．但训练要控制难度和复杂程度． 2. 培养学生的基本数学能力：数学运算能力、归纳概括能力、类比思维能力、数学应用能力等。

1.关注教材的呈现方式，恰当的选择教学与学习方式 (1)创设问题情境，注重模型思想与应用意识的培养。 (七）深入挖掘教材的教育功能 1.关注教材的呈现方式，恰当的选择教学与学习方式 (1)创设问题情境，注重模型思想与应用意识的培养。 (2)让学生经历学习过程，将知识的生成过程成为学生的探索与发现的过程，给学生自主学习的机会和空间。

(1)创设问题情境，注重模型思想与应用意识的培养 数列：三角形数、正方形数 数列概念 数列的三种表示  回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等） 等差数列：4个生活实例 等差数列概念 等差数列通项公式 等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等） 前100个自然数的高斯求解  等差数列的前n项和公式 等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题） 等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例 等比数列概念 等比数列的通项公式 等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等） 诺贝尔奖金发放金额问题 等比数列前n项和公式 等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）

2.重视例题、习题中蕴含的数学思想方法的教学 (1)重视挖掘例、习题中蕴含的生成性知识 (2)重视挖掘例、习题中蕴含的数学思想方法 (3)重视挖掘例、习题中蕴含的数学模型

教材的例习题中蕴含丰富的数学思想方法，

案例： 对教材三角形数的研究

问题1 依次计算数列: 1 1 + 2 + 1 1 + 2 + 3 + 2 + 1 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 …的前四项值，由此猜测 的结果，并加以证明。 正方形数：如右 从正方形数的构造中发现上述结论。 古希腊（公元4世纪）在《算术引论》中：

问题2：已知整数对排列如下： (1，1） （1，2） （2，1） （1，3） （2，2） （3，1） （1，4） （2，3） （3，2） （4，1） （1，5） （2，4） （3，3） （4，2） （5，1） ……………………………………………… 则第60个数对是：

问题3：把整奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …………………… 设表示 位于这三角形数表中从上往下第i行、从左往右第j个数， 若 =2005，求m,n 已知函数f(x)的反函数为 ,若计三角形数表中从上往下数第n行的和为 ，求数列 的前n项和 。

问题4：给定正整数n(n≥2) 按图方式构成三角形数表，第一行依次为1，2，3，……n,在下面一行的每两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行)只有一个数，例如n=6时数表如图所示，则当n=2007时最后一行的数是 112 48 64 20 28 36 8 12 16 20 3 5 7 9 11 1 2 3 4 5 6

………………………………………………………… 问题5：与杨辉三角有关系的问题： 1．观察杨辉三角中各条斜线上面的各数之和，猜想出相邻两条斜线上面的各数之和的结果，即第n、n+1两条斜线上面各数之和相加等于—————— 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …………………………………………………………

2．在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始按箭头所示的数组成一个锯齿形数列，1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列为{an}，则a99等于 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …………………………………………………………

3．（2007湖南）将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换为0，得到如图的三角形数表，从上往下数，第一次全行的数都为1的是第1行，第二次全行的数都为1的是第3行，…………第n次全行的数都为1的是第 ————行, 第61行中1的个数————。 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ………………………………………

问题6：（03全国理）设 是集合 中所有的数从小到大排列成的数列，即 ，将数列 的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表： 5 6 9 10 12 ………………… (1)写出这个三角形数表的第四行、第五行的各数。 (2)求 （3）设 是集合 中所有的数从小到大排列的数列，已知 =1160，求k。

问题7（2006广东数学高考题） 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球，以 f(n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f (3) =______， f (n) =______。

后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10

问题8：正方形数表： 1．如图； 个正数排成n行n列方阵，符号 表示位于第i行第j列正数，已知每一行的数成等差数列，每一列行的数成等比数列，且各列数的公比都等于q，若 求q和

2．某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码依一定的规律排列，且从左到右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上的数列1，2，5，10，17，…………的通项公式为 ，编码100共出现 次。 1 1 1 1 1 1… 1 2 3 4 5 6… 1 3 5 7 9 11… 1 4 7 10 13 15… 1 5 9 13 17 21… 1 6 11 16 21 26… … … … … … …

第3章 不等式 不等关系 一元函二次不等式 二元一次不等式组和简单线性规划问题 基本不等式 　 （a≥0，b≥0）

一.对课标和教材的分析 （一）知识结构 不等关系 不等式（组） 几何意义 一元二次不等式 解 法 应 用 证 明 二元一次不等式组 基本不等式

（二）新教材特点、地位与作用 1．从课标的确定和教材的编排看新教材的几个显著特征 （1）《课标》描述： 不等关系 通过具体情景，感受在现实世界和生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 一元二次不等式 ①经历从实际背景中抽象出一元二次不等式模型的过程。 ②通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情景中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 基本不等式 ①探索并了解基本不等式的证明过程。 ②会用基本不等式解决简单最值问题。

（2）《大纲》描述： ①理解不等式的性质及证明。 ②掌握两个（不扩展到三个）正数的算数平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 ③理解不等式： 掌握分析法、综合法、比较法证明简单不等式。 掌握某些简单不等式的解法。

（3）教材的编排 高一 （上）第一章《集合 与简易逻辑》 1 .4 绝对值不等式的解 约2课时 √ 1 .5 一元二次不等式的解法 约4课时 高一 （上）第一章《集合 与简易逻辑》 1 .4 绝对值不等式的解      约2课时 √ 1 .5 一元二次不等式的解法  约4课时 高二数学（上）第六章《不等式》 √ 6.1 不等式的性质     √ 6.2 算术平均数与几何平均数   6.3 不等式的证明             6.4 不等式的解法举例  6.5 含有绝对值的不等式    高二（上）第七章《直线和圆的方程》 √7．4线性规划 约3课时 3.2一元二次不等式及其解法 3.1不等关系与不等式 3.3二元一次方程组 与简单线性规划

教材的几个显著特征 （1）强调数学的应用性。 （2）强调通性通法，弱化技巧性的运算和证明。 （3）关注学习过程中的感受、体验。 （4）注重借助几何直观来解决问题。

(二）新教材的地位与作用 (1)超强渗透无处不有 (2)五大主线贯穿其中 一是函数主线 二是几何主线 三是运算主线 四是算法主线 五是应用主线 (3)上关下联关系密切 (4)精心定位用心良苦

初高中的衔接： 1.一元二次方程根的判别式(教材没有出现判别式符号,但要求会用判别式判断根的情况) 2. 因式分解只要求提取公因式法、公式法（平方差、完全平方），直接用公式法不超过两次； 3. 根式的运算要求低；绝对值符号内不能含有字母； 4.配方法要求低，只在解一元二次方程中有简单的要求，而在二次函数中也不要求用配方法，求顶点、最值，只要求用公式求，且又不要求记忆公式和推导 5.加强了函数、方程与不等式的关系，增添了“用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组、一元二次方程” 等内容， 6.在初中只讲一次函数的图象是一条直线，没有涉及到直线都对应一个一次方程，但教科书中的习题都渗透了直线与二元一次方程的对应关系

（三）目标要求 课标描述：（1）不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 （2）一元二次不等式 ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。 ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。 （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 （4）基本不等式： ①探索并了解基本不等式的证明过程。 ②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题

增强： 不等式（组）——反映不等关系的数学模型； 二元一次不等式组意义及应用（线性规划）； 加强与函数、方程的联系，加强了数形结合； 强调基本不等式在解决最值问题中的作用 删减： 不等式的证明； 用基本不等式进行推理证明； 高次不等式、无理不等式。

二、教学建议 （一）把握好本章的教学要求，准确的把握与处理教材 1.控制难度、突出重点 ①把握核心： ②螺旋式上升： ③内容的把握：

选修4—5《不等式选讲》目录 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1、不等式的基本性质 2、基本不等式 3、三个正数的算术——几何平均不等式 二 绝对值不等式 第二讲 证明不等式的基本方法 比较法 综合法与分析法 反证法与放缩法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式 排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式 数学归纳法 用数学归纳法证明不等式

2.淡化技巧、强化应用

3.思想方法、全面应用 类比思想; 函数思想; 数形结合思想; 案例：基本不等式：代数背景、几何背景以及它的证明过程。 ①设AB是圆的直径，点C是AB上一点，过点C作DC⊥AB（D在圆上）。设AC=a，BC=b，则： A B D C

②

③ 2(x+y)为周长，xy为面积 ④曲线和直线有交点 曲线族xy=c 相切时c最大 相切时y=x=m 最大c=m2 固定直线：x+y=2m

⑤（2007北京高考） 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于—．

⑥推广到n个量：x1,x2,x3….xn 几何平均值: 算术平均值: 不作要求，但《推理与证明》有要求 ⑦在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…an，共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，…an推出的a＝____.

⑧ 最小二乘法 线性回归方程的目标函数

算法思想： 从算法的观点看，解一元二次不等式和简单的线性规划问题等都可以按照固定的程序来完成。 解一元二次不等式可归纳为以下算法： 第一步：确定函数图像的开口方向（根据a的符号判断） 第二步：确定函数图像与x轴的关系（根据判别式△的符号判断） 第三步：确定x的取值范围 解线性规划可归结为以下算法： 第一步：确定目标函数 第二步：确定目标函数的可行域 第三步：确定目标函数在可行域内的最值

开始 将原不等式化为一般形式 否 是 求方程的两根 是 否 原不等式的解集为 原不等式的解集为 方程 没有实数根，原不等式 解集为R 结束

4.学科能力、全面培养 运算能力 应用能力 抽象建模能力 自主学习能力

5. 信息技术、有效使用 本章信息技术的“使用点”，可以从下面几个方面考虑。  （1）利用计算机作出y=x2－5x的图象，在图象上任取一点P(x，y)并拖动之，让学生观察纵坐标y随横坐标x变化的情况，得出点P的位置、x的取值和y的符号之间的关系；  （2）写出一元二次不等式ax2+bx+c＞0(＜0)的程序框图、程序并在计算机上运行；  （3）借助几何画板等，研究二元一次不等式（组）解集的几何意义；  （4）借助几何画板等，在可行域中找出一个点，使直线过此点时截距最大值；  （5）用Excel等软件求解一些简单的线性规划问题等。

(二）深入挖掘教材的教育功能 1．关注教材的知识呈现方式，渗透数学思想和数学方法，注重模型思想与应用意识的培养 2.创设问题情境，贴近学生生活，激发学生学习的兴趣，让学生参与知识形成和发现的过程 3.重视例题、习题中数学思想方法的教学

1）旧教材保留题 2)不为掌握证明的技巧，而是训练严谨的思维。 3)从逻辑关系上给予充分的分析 4)不等式证明要求降低，不是完全不要求 5)文科点到为止，理科要求增加（选修4—5）

谢谢！