§7-5 三向应力状态 tyx tyx txy txy 三向应力状态特例的一般情形--至少有一个主应力及其主方向已知。 §7-5 三向应力状态 三向应力状态特例的一般情形--至少有一个主应力及其主方向已知。 研究方法：将已知主方向的作用面作为屏幕面，则立方单元体可以投影成平面矩形。平面矩形的上、下、左、右边缘上的应力按照已经学过的平面应力状态求主应力的方法求解。 sy txy tyx sx sz sz sx sy txy tyx

研究方法：按照平面应力状态求出的两个主应力在加另外一个已知主应力，按照代数值可以排列出三个主应力的顺序: σ3 σ1 σ2

最大切应力 在三个主方向的作用面中都产生各自面内最大切应力τmax, 即： σ1 σ3 σ2 σ3 σ2 σ1

σ1 σ3 一点处应力状态中的最大切应力只是1-2、 2-3、1-3 中最大者，即: 结论：无论材料点（单元）处于何种应力状态，求最大切应力时，一律按照三向应力状态求解。即：按照最大主应力与最小主应力之差的一半确定。 最大切应力作用面为：最大主应力σ1与最小主应力σ3的作用面夹角的一半（45o）

Example: Determine the maximum shear stress and the orientation of plane on which the maximum shear stress acts is: 60MPa 120MPa 100MPa The maximum shear stress: A. C. B. D. Answer is: A

2 s - = t = = 30 (MPa) 40 -（ - 20） 2 例1：材料单元的应力状态如图 求：最大切应力 水平方向的切应力对应于纯剪切应力状态。材料单元的三向应力状态如下图。 40 20 2 3 1 s - = max t 2 40 -（ - 20） = = 30 (MPa)

*§7-7 平面应变状态分析 一、叠加法求应变分析公式 剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前后才对应） b a  c d A O B E E1

*§7-7 平面应变状态分析 应变状态的概念 通过构件某点处不同方向上的应变情况。 研究应变状态的目的 研究应变的变化规律，确定 研究方法与步骤 用叠加原理研究

依照叠加原理综合以上分析结果： 微分线段的总变形为 微分线段的线应变为

微分线段转过的角度:

将上式略作改变便可以写为 至此，完成了应变规律的研究，即： (A) (B)

二、应变分析图解法——应变圆（ Strain Circle） 1、应变圆与应力圆的类比关系 ea ga/2 2、已知一点A的应变（ ），画应变圆 建立应变坐标系如图 A B C 在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2) AB与a 轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。

三、方向上的应变与应变圆的对应关系 方向上的应变( ， /2) 应变圆上一点(， /2) ea ga/2 n D(，/2) A B C 2 20 min max  方向线 应变圆的半径 两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。

四、主应变数值及其方位

例： 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。 解：由 i =1,2,3这三个方程求出  x， y， x y；然后在求主应变。

例： 用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。 x y u 45o 0 max

45°应变花示意图 0° 90° 45° 1 2 3

60°应变花示意图 1 2 3 60° 0° 120°

§7-8 广义胡克定律 问题的提出 纯剪应力状态的 应力应变关系 简单应力状态的 应力应变关系 应力应变关系均可以 由简单实验确定

复杂应力状态的应力应变关系 应力分量 应变分量 应力应变关系 ？

各向同性的线弹性材料发生小变形时，线应变只和正应力有关，而与剪应力无关；剪应变只和剪应力有关，而与正应力无关。 理论基础（弹性力学的结论） 各向同性的线弹性材料发生小变形时，线应变只和正应力有关，而与剪应力无关；剪应变只和剪应力有关，而与正应力无关。 研究方法（叠加原理） 先研究X方向的线应变

2、三向主应力状态的广义虎克定律－叠加法 σ1 σ2 σ3 ε1= ε2= ε3= = + +

三向主应力状态的广义虎克定律

复杂应力状态下的广义虎克定律 sy x y z sx txy sz

我们应该把X，Y，Z理解成任意三个垂直的方向 可以把广义虎克定律用在单元体任意三个垂直的方向上 我们应该把X，Y，Z理解成任意三个垂直的方向

特例（主单元体） 三向应力状态 三向应变状态 二向应力状态 三向应变状态 单向应力状态 三向应变状态

x 例: 圆截面杆受拉扭作用如图。杆直径d，材料的弹性模量E,泊松比µ。若已分别测得圆杆表面上一点a沿x轴线以及沿与轴线成45方向的线应变ε45,试：确定外力偶Mx。 解: 扭转在45o对应的斜截面上为等值的一对拉应力和一对压应力 利用广义胡克定律：在45o对应的线应变为

1、微元应变能(Strain Energy) §7-9 复杂应力状态下的应变比能 1、微元应变能(Strain Energy) dy dz dx

dU= 2

变形比能 n = 2 s1 e1+s2 e2+s3 e3

3、体积改变比能与形状改变比能 + 令

: Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion 形状改变比能 : Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume 体积改变比能

2 3  1 图 a 图 c 3 -m  1 2 m 图 b

图 c 3 -m  1 2 称为形状改变比能或歪形能。

例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。 纯剪单元体的比能为： txy A 纯剪单元体比能的主应力表示为： 1 3

§7-10 强度理论概述 一、引子： 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P 铸铁拉伸 M P 铸铁压缩 低碳钢 铸铁 M §7-10 强度理论概述 一、引子： 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P 铸铁拉伸 M P 铸铁压缩 低碳钢 铸铁 M P

低碳钢试件的扭转失效 低碳钢试件：沿横截面断开。 铸铁试件的扭转失效 铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。

Failure observation (tension of cast iron) (tension of low carbon steel) (torsion of cast iron) (torsion of low carbon steel)

？ σu和τu均可由拉伸实验确定。 如何建立 2、组合变形杆将怎样破坏？ 复杂应力状态的强度条件 简单拉压应力状态的强度条件 简单剪切应力状态的强度条件 ？ σu和τu均可由拉伸实验确定。 如何建立

一个类比的说明—体能测验问题研究 净举重量P 分析：不能简单地按照直线公式估算! 问题：如负重p，此人能够跑的距离L=？ 净跑距离L 重量(kg) 分析：不能简单地按照直线公式估算! 问题：如负重p，此人能够跑的距离L=？ 通过拟和实验数据，得到经验化公式 净跑距离L O 距离(km)

材料力学的一个基本问题就是研究构件发生破坏的条件，直接根据实验结果建立强度条件的方法是强度计算中最单可靠的方法。遗憾的是受实验技术的限制，复杂应力状态的强度条件不能通过无限的实验结果建立。 一、方法 （逻辑推理的方法） 现象 推测 假说 实践 学说 二、强度理论的概念：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。

σ 实验现象小结：拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大切应力。 三、材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂。 观察实验现象 拉伸实验 破坏现象— 滑移 破坏原因皆为 简单 σ 低碳钢（塑） 破坏原因-- 扭转实验 破坏现象—切断 复杂 破坏原因-- 实验现象小结：拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大切应力。

观察实验现象 拉伸实验 破坏现象— 拉断 简单 σ 破坏原因-- 铸铁（脆性） 破坏原因皆为 扭转实验 破坏现象—拉断 破坏原因-- 复杂 实验现象小结：铸铁试件在简单拉伸时沿横截面被拉断；铸铁试件受扭时沿45o方向破裂，破裂面就是最大拉应力作用面.拉伸实验和扭转实验的应力状态不同，但是破坏原因相同，皆为最大拉应力。

造成破坏的 主要影响因素 该影响因素的 极限值 推测原因 根据诸如以上实验现象的大量工程材料破坏事实，人们推测：无论何种应力状态，构件破坏原因是由同一种力学因素造成的。 提出假说 造成破坏的 主要影响因素 该影响因素的 极限值 理论分析求得 拉伸实验测定

结论:复杂应力状态下强度理论的建立需要通过有限的实验来获得有关材料破坏的现象,然后建立材料破坏机理的理论模型并经过实验验证得以完善. 1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论； 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。 结论:复杂应力状态下强度理论的建立需要通过有限的实验来获得有关材料破坏的现象,然后建立材料破坏机理的理论模型并经过实验验证得以完善.

§7-11 四种常用强度理论 一、第一强度理论 （最大拉应力理论）(Maximum Normal-Stress Criterion)（1858年） Galileo 1638年提出:砖石(以后的铸铁)的强度取决于材料内的最大拉应力。 认为破坏条件： 理论 实验 强度条件：

实验表明：该理论与铸铁，陶瓷，岩石和混凝土等脆性材料的断裂破坏相符合。但是，该理论未考虑其他两个主应力的影响。对压缩应力较大的状态不适用。 《评价》 二向时：当 该理论与实验基本一致 三向时：当 同上 当主应力中有压应力时，只要 同上 当主应力中有压应力时，只要 误差较 大三向压应力不适用

二、第二强度理论（最大线应变理论） (Maximum Normal Strain Criterion)（1858年） 1682年，Mariote提出最大拉应力远小于压应力时，最大伸长线应变ε1是引起材料断裂的原因。 具体说： 无论材料处于什么应力状态只要构件内有一点处的最大线应变达到了单向拉伸的应变极限 ， 就发生断裂破坏。

认为破坏条件： 理论 实验 思考：根据你的实验经验，εu = σb / E 是否正确？ 或 强度条件：

该理论能很好地解释石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时沿横向（裂纹呈竖向）发生断裂破坏的现象（图1）。铸铁在 σ1>0> σ3，且 | σ3 | > σ1 的情况下，试验结果也与该理论的计算结果相近（图2）。

实验表明：该理论与铸铁，陶瓷，岩石和混凝土等脆性材料的单向压缩相符合。而且与铸铁的拉压二向应力且压力较大时相符合。 《评价》 主应力有压应力时，当 ，理论接近实验 但不完全符合 其他情况下，不如第一强度理论 《结论》 除了 ，还有 的参与，似乎有理，但是 实验通不过——好看未必正确。

(Tresca Criterion or Maximum Shear Stress Criterion)（1868年） 三、第三强度理论（最大剪应力理论） (Tresca Criterion or Maximum Shear Stress Criterion)（1868年） 1773年，Coulomb提出假设 1868年 Tresca完善 认为破坏条件： 理论 实验

强度条件： 实验表明：该理论较满意地解释了塑性材料的屈服现象，但是偏于安全且未考虑第二主应力的影响。 《评价》 由于未考虑σ2的影响，此理论的结果偏于安全（即：偏高估计应力水平），差异有时达15%。但是，由于此理论形式简单，便于计算，常用于工程设计。

(von Mises Criterion or Distortional energy Criterion)（1904年） 四、第四强度理论 （形状改变比能理论） (von Mises Criterion or Distortional energy Criterion)（1904年） 认为破坏条件： 理论 实验

实验表明：该理论与实验结果相当接近，比第三强度理论更加完善。 强度条件： 实验表明：该理论与实验结果相当接近，比第三强度理论更加完善。 《评价》 理论与实验基本符合比第三理论更接近实际。但是，此理论形式繁复，因此，较多用于科学研究。

《备注》 由于 有人从均方根剪力推导 对于二向应力状态

五、相当应力（强度准则的统一形式） 其中 — 相当应力 equivalent stress

六、强度计算的步骤： 1、外力分析：确定所需的外力值 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画 出单元体，求主应力 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力 然后进行强度校核

例外: 1.塑性材料处于三向（或接近三向）等值拉伸状态，使用第一强度理论。 

例外:  2. 脆性材料处于三向（或接近三向）等值压缩状态，材料呈现准塑性行为，无合适强度理论。 P A

依材料种类和所处应力状态而定 七、强度理论的选用原则 1、简单变形（拉伸、压缩、弯曲、剪切，挤压、扭转），用与其对应的简单强度准则： 例如：拉伸、压缩、弯曲的强度准则： 例如：剪切和扭转的强度准则：

2、复杂应力状态用与其对应的强度准则 对于强度理论的选用，须视材料，应力状态而异，一般说，脆性材料（如铸铁、石料、混凝土等在通常情况下以断裂的形式破坏，所以宜采用第一和第二强度理论。塑性材料（如低碳钢、铜、铝等在通常情况下以流动的形式破坏，所以宜采用第三和第四强度理论。 必须指出，即使是同一材料，在不同的应力状态下也可以有不同的破坏形式。如铸铁在单向受拉时以断裂的形式破坏。而在三向受压的应力状态下，脆性材料也会发生塑性流动破坏。又如低碳钢这类塑性材料，在三向拉伸应力状态下会发生脆性断裂破坏。

例1：钢制受内压薄壁筒，内径 为D，壁厚为 ，试用强度理论 确定内压p。 解：1、确定应力状态： P

2、选择强度理论进行强度计算： 选择第三强度理论或第四强度理论

例2 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, 为铸铁构件，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。 s t 故，安全。

所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。 例3 薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4, y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。 x y A 解：由广义虎克定律得: A s x y 所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。

作业 7.10，7.12，7.14 ，7.19

本章结束