圆锥曲线复习

基础练习 √ B D

到定点(焦点)距离与到定直线(相应准线)距离的比等于常数(离心率e)的点的集合; 其统一性: 都是二元二次方程; (1)从方程形式看 可统一定义为: (2)从点的轨迹看 平面内 到定点(焦点)距离与到定直线(相应准线)距离的比等于常数(离心率e)的点的集合; (3)从几何角度看 都是平面截圆锥面所得的截线; (4)从客观实际看 都是天体运行的轨道. 链接

对值等于常数（小于｜F１F2｜）的点的轨迹． 定 义 标准方程 性 质 关于原点,x轴,y轴对称 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等 于常数（大于｜F１F2｜）的点的轨迹. 椭圆的定义: 关于原点,x轴,y轴对称 平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝 对值等于常数（小于｜F１F2｜）的点的轨迹． 双曲线的定义: 渐进线 平面内与一个定点F和一条定直线 的距离 相等的点的轨迹． 　　　　　　 关于x轴对称 抛物线的定义: 顶点为坐标原点 离心率: 在平面上,若动点M与定点F的距离和它到 定直线 的距离的 比等于常数e的轨迹. 圆锥曲线的统一定义: (椭圆,双曲线，抛物线)

例1.过抛物线C的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点,研究以AB为直径的圆与抛物线的准线L的位置关系,并证明你的结论. 如图,设AB中点为M,A、B、M在准线L上的射影为A’、B’、N, 分析 y A B F · L M B’ N x O A’ |AA’|=|AF|,|BB’|=|BF| 思考: 当C为椭圆或双曲线时,结论怎样? 故以AB为直径的圆与L相切.

以A,B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到 点N的距离相等， 为锐角三角形， 建立适当坐标系,求曲线C的方程。 例题２.如图所示，直线 与 相交于M点 ， 以A,B为端点的曲线段C上的任一点到 的距离与到 点N的距离相等， 为锐角三角形， 建立适当坐标系,求曲线C的方程。 分析：1.如何选择适当的坐标系。 2.能否判断曲线段是何种类型曲线。 3.如何用方程表示曲线的一部分。 l1 l2 B A M N 1 2 3

例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点M（2，4），它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6. X O Y 2 4 M F 抛物线开口向右，根据点M（2，4）可求焦参数p，进而可求焦点。 （1）分析：如图 设抛物线：y2 = 2px ，p>0 ,将点M代入解得 p = 4 故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0)

X O Y 2 4 M F 抛物线方程：y2 = 8x ，焦点F（2，0） 设椭圆、双曲线方程分别为 - 例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点M（2，4），它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6. F 抛物线方程：y2 = 8x ，焦点F（2，0） 设椭圆、双曲线方程分别为 - 则a2 - b2 = 4 ，m2 + n2 = 4 ；又 - 解得：

X O Y 2 4 M F 抛物线：y2 = 8x - 椭圆、双曲线方程分别为 - 例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点M（2，4），它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6. F 抛物线：y2 = 8x - 椭圆、双曲线方程分别为 -

（xp，yp）  P X O Y 2 4 M F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - （2）分析：如图 （a，0） P X O Y 2 4 M 例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点M（2，4），它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6. F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - （2）分析：如图 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|， P为抛物线上的一点， 三角形的高为|yp|， = 由题设得 6= S |a-m|·|yp|

 P X O Y 2 4 M （xp，yp） F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - = 由题设得 6= S （a，0） P X O Y 2 4 M （xp，yp） 例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点M（2，4），它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6. F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - = 由题设得 6= S |a-m|·|yp| 易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3 将它代入抛物线方程得 xp= 3 即yp= ， 注解！ 故所求P点坐标为 （ ，3 ）和（ ，-3 ）

 P X O Y 2 4 M （xp，yp） F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - = 由题设得 6= S （a，0） P X O Y 2 4 M （xp，yp） 例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点M（2，4），它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6. F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - = 由题设得 6= S |a-m|·|yp| 易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3 将它代入抛物线方程得 xp= 3 即yp= ， 故所求P点坐标为 （ ，3 ）和（ ，-3 ） 注解！

点评：待定系数法是求曲线方程的最常用方法。  （m，0） （a，0） P X O Y 2 4 M （xp，yp） 例3 椭圆、双曲线和抛物线都经过点M（2，4），它们的对称轴都是坐标轴，抛物线的顶点在原点，三种曲线在X轴上有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使它与椭圆、双曲线的右顶点连成的三角形的面积为6. F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - 点评：待定系数法是求曲线方程的最常用方法。

小 结 圆锥曲线中的最值问题 O x y E A B D C 转移法

问题与探究 小 结： 设直线 ： ，圆锥曲线 ： 由 (1)当 时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点 设直线 ： ，圆锥曲线 ： 由 (1)当 时，若一次方程有解，则只有一解，即直线与圆锥曲线只有一个交点 此时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与渐近线平行 若圆锥曲线为抛物线， 则直线与对称轴平行或重合 (2)当 时， 方程有两不等实根 相交(于两点) 方程有两相等实根 相切(于一点) 方程没有实根 相离(无公共点)