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第6讲┃一次方程(组)及其应用

第6讲┃ 考点聚焦 考点聚焦 考点1 等式的概念与等式的性质 相等 www.czsx.com.cn

使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫它的根 第6讲┃ 考点聚焦 考点2 方程及相关概念 方程的概念 含有未知数的等式叫做方程 方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，也叫它的根 解方程 求方程解的过程叫做解方程 www.czsx.com.cn

只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元一次方程 第6讲┃ 考点聚焦 考点3 一元一次方程的定义及解法 定义 只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元一次方程 一般形式 ________________ 一 一 ax＋b＝0(a≠0)

第6讲┃ 考点聚焦 解一元方程的一般步骤 (1)去分母 在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘 (2)去括号 注意括号前的系数与符号 (3)移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号 (4)合并同类项 把方程化成ax＝b(a≠0)的形式 (5)系数化为1 方程两边同除以x的系数，得x＝ 的形式

第6讲┃ 考点聚焦 考点4 二元一次方程组的有关概念

在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数 第6讲┃ 考点聚焦 考点5 二元一次方程组的解法 代入法 定义 在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法 防错提醒 在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数 加减法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法

设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数 第6讲┃ 考点聚焦 考点6 一次方程(组)的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤 1.审 审清题意，分清题中的已知量、未知量 2.设 设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数 3.列 根据题意寻找等量关系列方程 4.解 解方程(组) 5.验 检验方程(组)的解是否符合题意 6.答 写出答案(包括单位)

第6讲┃ 考点聚焦 考点7 常见的几种方程类型及等量关系 www.czsx.com.cn

归类示例 第6讲┃ 归类示例 ► 类型之一 等式的概念及性质 命题角度： 1. 等式及方程的概念； 2. 等式的性质． ►　类型之一　等式的概念及性质 命题角度： 1. 等式及方程的概念； 2. 等式的性质． 例1 如图①，在第一个天平上，砝码A 的质量等于砝码B加上砝码C 的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A 加上砝码B的质量等于3个砝码C 的质量．请你判断：1个砝码A 与________个砝码C 的质量相等． 2 图6－1 图6－1

第6讲┃ 归类示例

第6讲┃ 归类示例 (1)当天平的左右两边质量相等时，天平处于平衡状态，即为等量关系；(2)利用等式性质，等式两边同除以同一个数时，一定要注意此数不为0.

第6讲┃ 归类示例 ►　类型之二　一元一次方程的解法 命题角度： 1．一元一次方程及其解的概念； 2．解一元一次方程的一般步骤． 例2 [2011·滨州]

第6讲┃ 归类示例 分式的基本性质 等式性质2 去括号法则或乘法分配律 移项 等式性质1 合并同类项 系数化为1 等式性质2

第6讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二元一次方程(组)的有关概念 命题角度： 1．二元一次方程(组)的概念； 2．二元一次方程(组)的解的概念 例3 C

第6讲┃ 归类示例

第6讲┃ 归类示例 ► 类型之四 二元一次方程组的解法 命题角度： 1．代入消元法； 2．加减消元法． 例4 [2012·南京]

第6讲┃ 归类示例

第6讲┃ 归类示例 (1)在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法． (2)当两个方程中的某个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．

第6讲┃ 归类示例 ► 类型之五 利用一次方程(组)解决生活实际问题 命题角度： 1．利用一元一次方程解决生活实际问题； 2．利用二元一次方程组解决生活实际问题． 例5 [2012·无锡] 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.

第6讲┃ 归类示例 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用． (1)请问，投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？ (2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元．

第6讲┃ 归类示例

第6讲┃ 归类示例

第6讲┃ 归类示例 用方程或方程组解决实际问题，关键是先分析出实际问题中的等量关系，一个方程需要一个等量关系，方程组则需要两个等量关系．

第7讲┃一元二次方程及其应用

考点聚焦 第7讲┃ 考点聚焦 考点1一元二次方程的概念及一般形 一元二次方程 定义 含有________个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程 一般形式 ________________ 防错提醒 在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 一 2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

第7讲┃ 考点聚焦 考点2 一元二次方程的四种解法 直接开平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程 因式分解法 基本思想 把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0 方法规律 常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式分解

第7讲┃ 考点聚焦

第7讲┃ 考点聚焦 配方法 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程 配方法解方程的步骤 ①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方解方程

第7讲┃ 考点聚焦 考点3 一元二次方程的根的判别式 两个不相等 两个相等 没有

第7讲┃ 考点聚焦 考点4 一元二次方程的根与系数的关系

(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数 第7讲┃ 考点聚焦 考点5 一元二次方程的应用 应用类型 等量关系 增长率问题 (1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b 利率问题 (1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数 销售利润问题 (1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价

归类示例 第7讲┃ 归类示例 ► 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； ►　类型之一　一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念． 例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 A [解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0， 所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A

第7讲┃ 归类示例 ►　类型之二　一元二次方程的解法 命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法． 例2 解方程：2（x-3)=3x(x-3)

第7讲┃ 归类示例

第7讲┃ 归类示例 利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．

第7讲┃ 归类示例 ► 类型之三 一元二次方程根的判别式 命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围． 例3 [2012·绵阳] 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

第7讲┃ 归类示例

第7讲┃ 归类示例 (1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式． (2)注意二次项系数不为零这个隐含条件

第7讲┃ 归类示例 ► 类型之四 一元二次方程的应用 命题角度： 1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b； 2．用一元二次方程解决商品销售问题． 例4 [2012·乐山 ]菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

(2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 解：(1)设平均每次下调的百分率为x. 第7讲┃ 归类示例 　[解析] (1)设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2元列出一元二次方程求解即可； (2)根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 解：(1)设平均每次下调的百分率为x. 由题意，得5(1－x)2＝3.2.解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8. 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%. 答：平均每次下调的百分率是20%. (2)小华选择方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)， 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)． ∵ 14400 <15000，　∴小华选择方案一购买更优惠．

回归教材 第7讲┃ 回归教材 根的判别式作用大 教材母题 人教版九上P43T14 无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．

第7讲┃ 回归教材

第7讲┃ 回归教材 [点析] 解一元二次方程有配方法、公式法或因式分解法，一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．

第7讲┃ 回归教材 中考变式 [2012·广安] 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　　) A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2且a≠1 D．a＜－2 C [解析] Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0， ∴a＜2且a≠1.故选C.

第8讲┃分式方程及其应用

分母里含有________的方程叫做分式方程 第8讲┃ 考点聚焦 考点聚焦 考点1 分式方程 分式方程 概念 分母里含有________的方程叫做分式方程 增根 在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为________，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为________ 未知数 零 零

把分式方程转化为整式方程，即分式方程→整式方程 方程两边同乘各分式的________，约去分母，化为整式方程，再求根验根 第8讲┃ 考点聚焦 考点2 分式方程的解法 分式方程的解法 基本思想 把分式方程转化为整式方程，即分式方程→整式方程 直接去分母法 方程两边同乘各分式的________，约去分母，化为整式方程，再求根验根 公分母

第8讲┃ 考点聚焦 考点3 分式方程的应用 列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．

归类示例 第8讲┃ 归类示例 ► 类型之一 分式方程的概 命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根． 1 ►　类型之一　分式方程的概 命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根． 1 例1 [2012·攀枝花]

第8讲┃ 归类示例

第8讲┃ 归类示例 ►　类型之二　分式方程的解法 命题角度： 1．去分母法； 2．换元法 ． 例2 解方程：

第8讲┃ 归类示例 解分式方程常见的误区： (1)忘记验根；(2)去分母时漏乘整式的项；(3)去分母时，没有注意符号的变化．

第8讲┃ 归类示例 ► 类型之三 分式方程的应用 命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验． 例3 [2012·泰安 ]一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． (1)甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ (2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

第8讲┃ 归类示例

回归教材 第8讲┃ 回归教材 工程问题有规律 教材母题 人教版八下P32T5 张明4小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作1小时清点完另一半图书．如果李强单独清点这批图书需要几小时？

第8讲┃ 回归教材 中考变式 [2012·扬州 ]为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种 ，结果提前4天完成任务．原计划每天种多少棵树？

第8讲┃ 回归教材

第9讲┃一元一次不等式(组)及其应用

能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集 第9讲┃ 考点聚焦 考点聚焦 考点1 不等式 不等式的概念 不等式 一般地，用不等号连接的式子叫做不等式 不等式的解 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 不等式的解集 能使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集

不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向__________ 第9讲┃ 考点聚焦 不等式的基本性质 性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向__________ 性质2 不等式两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向________ 性质3 不等式两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向__________ 不变 不变 改变

只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0) 第9讲┃ 考点聚焦 考点2 一元一次不等式 一元一次不等式及其解法 定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0) 解一元一次不等式的一般步骤 (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1

含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 第9讲┃ 考点聚焦 考点3 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念 含有相同未知数的若干个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组 不等式组的解集的求法 解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分就得到不等式组的解集

第9讲┃ 考点聚焦

通过不等式(组)对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查对数学的应用能力 第9讲┃ 考点聚焦 考点4 利用不等式(组)解决日常生活中的实际问题 目的 通过不等式(组)对代数式进行比较，以确定最佳方案，获取最大收益，考查对数学的应用能力 方法 这类问题，首先要认真分析题意，即读懂题目，然后建立数学模型，即用列不等式(组)的方法求解，解决这类问题的关键是正确地设未知数，找出不等关系，从不等式(组)的解集中寻求正确的符合题意的答案

第9讲┃ 考点聚焦 重要提醒 (1)根据题目所给信息，运用不等式知识建立数学模型，再对可能出现的各种情况进行分类讨论而获解；(2)列不等式(组)解应用题的步骤大体与列方程(组)解应用题相同，应紧紧抓住“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“大于”、“小于”等关键词．注意分析题目中的不等量关系，能准确分析题意，列出不等量关系式，然后根据不等式(组)的解法求解

归类示例 第9讲┃ 归类示例 ► 类型之一 不等式的概念及性质 命题角度： 1．不等式、不等式的解和解集等概念； 2．不等式的性质． ►　类型之一　不等式的概念及性质 命题角度： 1．不等式、不等式的解和解集等概念； 2．不等式的性质． 例1 [2012·凉山 ]设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图9－1所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是(　　) A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c A [解析] 依题意得 b＝2c，a＞b.所以 a＞b＞c.故选A.

第9讲┃ 归类示例 (1)运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘或者除以一个负数，不等式的方向要改变； (2)生活中的跷跷板、天平等问题，常借助不等式(组)来求解，注意数与形的有机结合．

第9讲┃ 归类示例 ► 类型之二 一元一次不等式 命题角度： 1．一元一次不等式的概念； 2．一元一次不等式的解法 ． ►　类型之二　一元一次不等式 命题角度： 1．一元一次不等式的概念； 2．一元一次不等式的解法 ． 例2 [2012·连云港] 图9－2

第9讲┃ 归类示例 ► 类型之三 一元一次不等式组 命题角度： 1．一元一次不等式组的概念和解集； 2．一元一次不等式组的解法． 例3 解不等式组：

第9讲┃ 归类示例 ► 类型之四 与不等式(组)的解集有关的问题 命题角度： 1．求不等式组的整数解； 2．根据解的情况求相关字母的值． 例4 B

第9讲┃ 归类示例

第9讲┃ 归类示例 已知不等式组的解集求字母(或有关字母代数式)的值，一般先求出已知不等式(组)的解集，再结合给定的解集，得出等量关系或者不等关系．

第9讲┃ 归类示例 ► 类型之五　一元一次不等式(组)的应用 命题角度： 1. 解决商品销售问题； 2. 解决门票的销售、原料的加工等方面的问题； 3. 利用不等关系确定取值范围，讨论方案的可行性． 例5 某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员． (1)若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？ (2)请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？

第9讲┃ 归类示例 解：(1)120×0.95＝114(元)， 所以实际应支付114元． (2)设购买商品的价格为x元，由题意得： 0．8x＋168＜0.95x， 解得x>1120. 所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．

第9讲┃ 归类示例 (1)解决实际问题时，要注意题中表示不等关系的关键词，如 “不少于”、“不超过” 、“不高于”等； (2) 所求的结果应符合生活实际 。

回归教材 第9讲┃ 回归教材 “分配”中的不等关系 教材母题 人教版七下P142T9 把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？

第9讲┃ 回归教材 [点析] 利用不等式组解此类应用题，关键是弄清题意，凡是分配问题，一般总量不发生变化，只是如何分配的问题

第9讲┃ 回归教材 中考变式 [2012·自贡 ]暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周(7天)不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成，哥哥平均每天比弟弟多编2个． 求：(1)哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？(答案取整数) (2)若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？

第9讲┃ 回归教材

谢谢合作 再见