4.1.2　 圆的一般方程

问题 引航 1.圆的一般方程具有怎样的形式?如何由一般方程确定圆心坐标及半径? 2.待定系数法求圆的方程的步骤是什么? 3.如何求动点的轨迹方程,它一般的步骤是什么?

圆的一般方程 (1)形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,化为标准方程为_______________ _____________. (2)条件：___________,圆心为_________,半径为____________. 特别地，①当D2+E2-4F=0,方程表示点：_________. ②当D2+E2-4F＜0,方程_______________. D2+E2-4F＞0 不表示任何图形

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.　(　　) (2)二元二次方程x2+ y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.　 (　　) (3)方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0.　(　　)

【解析】1.(1)正确.利用配方法即可把圆的一般方程化为圆的标准方程. (2)错误.只有当D2+ E2-4F >0时方程才表示圆. (3)正确.因为D2+ E2-4F=4+E2-4>0,则E≠0. 答案:(1)√　(2)×　(3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)圆x2+y2-2x-4y+1=0的圆心坐标是　　　　. (2)若方程x2+y2-axy-4y+1=0表示圆,则a=　　　　. (3)圆心是(-3,4),且经过点M(5,1)的圆的一般方程是　　　　.

2.(1)因为- =1,- =2,故圆心坐标是(1,2). 答案:(1,2) (2)二元二次方程表示圆,则无xy项,且D2+E2-4F>0,即02+(-4)2-4>0,故a=0. 答案:0 (3)由题意知,r2=(-3-5)2+(4-1)2=73,故圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=73,即x2+y2+6x-8y-48=0. 答案:x2+y2+6x-8y-48=0

【要点探究】 知识点1 圆的一般方程 1.圆的一般方程的特点 圆的一般方程x2+ y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点: (1)x2,y2的项的系数均为1. (2)没有xy项. (3)D2+ E2-4F >0.

2.圆的一般方程与圆的标准方程的比较 (1)圆的标准方程明确地表达了圆的几何要素,即圆心坐标和半径. (2)圆的一般方程表现出明显的代数结构形式,圆心和半径需要代数运算才能得出. (3)二者可以互化:将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程,将圆的一般方程配方即得标准方程.

【微思考】 (1)若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,需要满足什么条件? 提示:应满足的条件是①A=C≠0;②B=0; ③D2+E2-4AF>0. (2)用待定系数法求圆的方程的关键是什么?求解方程组时一般用什么方法? 提示:关键是设出圆的方程,在解关于待定系数的方程组时一般用加减消元法.

【即时练】 1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为　(　　) A.(-2,-3) B.(2,-3) C.(2,3) D.(-2,3)

2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的圆心坐标及半径长,并化为标准方程. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).

【解析】1.选B.将圆的方程化为标准方程:(x-2)2+(y+3)2=13, 可知其圆心坐标为(2,-3). 2.(1)将原方程变为 则D=-1，E=3， 因为D2+E2-4F=1>0，所以此方程表示圆，圆心 半径r= 标准方程为

(2)将原方程变为x2+y2-x+3y+ =0，故D=-1，E=3，F= .因 (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0)可化为(x+a)2+y2=0，表示点(-a,0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)可化为 表 示以 为圆心， 为半径的圆.

知识点2 坐标法求动点的轨迹 1.求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点M的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化为最简形式. (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

2.对坐标法的三点说明 (1)根据题目中的条件,建立适当的直角坐标系,使其有利于解题. (2)因为除个别情况外,化简过程都是同解变形过程,所以步骤(5)可以不写,如果有特殊情况,可适当予以说明. (3)“轨迹”与“轨迹方程”有区别.“轨迹”是图形,要指出形状、大小(范围)、位置等特征;“轨迹方程”是方程(等式),不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围.

【微思考】 若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程时常采用什么方法? 提示:对于“双动点”问题,常采用代入法解决.

【即时练】 经过圆x2+y2=4上任意一点P作x轴的垂线,垂足为Q,求线段PQ中点M的轨迹方程为　　　　.

【解析】设M(x，y)，P(x0，y0)，则 又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 所以x02＋y02＝4，即x2＋4y2＝4. 所以所求轨迹方程为x2＋4y2＝4. 答案：x2＋4y2＝4

【题型示范】 类型一 求圆的一般方程 【典例1】 (1)圆x2+y2+2x=0关于y轴对称的圆的一般方程是　　　　　. (2)(2014·衡水高一检测)已知A(2,-2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC的外接圆的方程.

【解题探究】1.题(1)中的圆关于y轴对称的圆的圆心和半径前后有何变化? 2.圆的一般方程则需确定三个系数,题(2)中由三点的坐标如何确定其系数? 【探究提示】1.关于y轴对称的圆心其纵坐标不变,横坐标互为相反数;半径相等. 2.可设出圆的一般方程,利用待定系数法求解即可.

【自主解答】(1)已知圆的圆心为C(-1,0),半径r=1,点C(-1,0)关于y轴的对称点为C′(1,0),则已知圆关于y轴对称的圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.

(2)设所求的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为A(2,-2), B(5,3),C(3,-1)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们 的坐标代入方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，即 解此方程组，可得：D=8,E=-10,F= -44，所以所求圆的方程为：x2+y2+8x-10y-44=0.

【方法技巧】待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. (2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组. (3)解此方程组,求出D,E,F的值. (4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.

【变式训练】(2013·临汾高一检测)求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和等于2的圆的方程.

【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 令y=0,得x2+Dx+F=0,所以圆在x轴上的截距之和为-D;令x=0,得y2+Ey+F=0,所以圆在y轴上的截距之和为-E;由题设,得-D-E=2,所以E+D=-2,① 又A(4,2),B(-1,3)两点在圆上, 所以16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0,③ 由①②③可得D=-2,E=0,F=-12, 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.

【误区警示】本题易出现误认为在x轴,y轴上的截距必须是正值,从而将x轴上的截距和认为是|D|,y轴上的截距和认为是|E|的错误.

【补偿训练】若经过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)三点的圆为⊙M，且点D(m,3)在⊙M上，求m的值.

【解析】设过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由题意有 解得D=-4,E=- ,F=-5， 即所求圆的方程为x2+y2-4x- y-5=0. 因为点D(m,3)在⊙M上，所以m2+32-4m- ×3-5=0， 解得m=-3或m=7.

类型二 求与圆有关的动点的轨迹(方程) 【典例2】 (1)设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹方程是　　　　　　　　. (2)(2014·盐城高一检测)已知圆的方程为x2+y2-6x-6y+14=0,求过点A(-3,-5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程.

【解题探究】1.题(1)中PA的中点M与点P能建立怎样的联系? 2.在题(2)中弦PQ的中点M与圆心的连线与该弦有怎样的关系,由此可根据直线斜率的关系能否建立等式? 【探究提示】1.若设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2,2y+1). 2.弦PQ的中点M与圆心的连线与该弦垂直,可利用两直线的斜率之积等于-1建立等式.

【自主解答】(1)设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2, 2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1) -11=0, 即为:x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0

(2)设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y- 3)2=4.圆心C(3,3). 因为CM⊥AM,所以kCM·kAM=-1, 即 即x2+(y+1)2=25. 所以所求轨迹方程为x2+(y+1)2=25(在已知圆内的部分).

【延伸探究】题(1)中若圆的方程不变,已知点A(1,1),点P在圆 上,则PA的中点M的轨迹方程又如何求解? 【解析】设M(x,y),由已知A(1,1),则点P(2x-1,2y-1),将P代入 圆的方程得:(2x-1)2+(2y-1)2-4(2x-1)+2(2y-1)-11=0,即为: 4x2+4y2-12x-7=0.

【方法技巧】求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明. (2)定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,把x1,y1用x,y表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程.

【变式训练】已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨迹为曲线C,则此曲线的方程为　　　　　　　. 【解题指南】可用直接法,由两点间的距离公式结合已知条件建立等式,求得轨迹方程.

【解析】设点P的坐标为(x,y), 则 化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求. 答案:(x-5)2+y2=16

【补偿训练】在已知圆x2+y2-4x+6y-12=0中,长为8的弦中点的轨迹方程为　　　　　　. 【解析】设中点M(x,y),已知圆的圆心为C(2,-3),半径r=5,弦长为8,所以|MC|=3,即点M的轨迹为以C(2,-3)为圆心,|MC|=3为半径的圆,其方程为:(x-2)2+(y+3)2=9. 答案:(x-2)2+(y+3)2=9

【规范解答】构造条件求圆的一般方程 【典例】(12分)已知△ABC中,顶点A(2,2),边AB上的中线CD所在的直线方程是x+y=0,边AC上的高BE所在直线方程是x+3y+4=0. (1)求点B,C的坐标. (2)求△ABC外接圆的方程.

【审题】抓信息,找思路

【解题】明步骤,得高分

【点题】警误区,促提升 失分点1:若在①处忽视三角形的边、中线、高之间的关系,则无法得出相应的直线方程,会导致本例不得分. 失分点2:若在②处点的坐标求错,一方面在第(1)问中失分,另一方面导致第(2)问圆的方程求错,本例最多得4分. 失分点3:若在③处D,E,F求错,则最后结果错误,本例最多得9分.

【悟题】提措施,导方向 1.三角形相关性质的应用 三角形中诸如高线、中线、角平分线、重心的性质在解题中有着重要的应用,通过这些性质可求直线方程、点的坐标等,这些都是解题的前提条件,如本例中高线、中线的应用,可以求点的坐标、边所在的直线方程等.

2.加强方程组解法的训练 此类题目往往要用到解二元一次方程组,三元一次方程组,属于本部分的基础运算,要注意加强运算,以保证结果正确,如本例中要分别解上述两类方程组. 3.熟练圆的方程的设法 在求解圆的方程时,要根据不同的条件,灵活的设出圆的方程,如本例中根据条件可设出圆的一般方程,有时可设圆的标准方程,利用待定系数法求解即可.

【类题试解】已知△ABC的顶点 A(1，7)， B(-4，2)，重心 【解析】设C点的坐标为(x0，y0)，由三角形重心坐标计算公 式得： 得 即C(5,5).

设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A(1，7)， 解得 所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2-2x-4y-20=0.