说概念：曲线和方程 中学数学三组 上海市金山中学 陆丽芳
1、“曲线和方程”是沪教版第十二章《圆锥曲线》的第一节内容。 2、既是对直线方程等数学知识的深化，又是学习圆锥曲线的理论基础 。
3、“曲线和方程”是解析几何中的重要概念之一，是代数与几何的衔接点。 4、“曲线和方程”这一节教材包括:“曲线和方程”、“求曲线的方程”和“曲线的交点”三个内容。
5、曲线和方程的核心思想： 让学生学会用方程和代数的 方法研究曲线的本质特征。
曲线方程的定义： 一般地，如果曲线 之间有一下两个关系： 与方程 1、曲线 上点的坐标都是方程 的解；（完备性） 2、以方程 的解为坐标的点都是曲线 上的点 （纯粹性） 此时把方程 曲线 的方程， 曲线 叫做方程 的曲线。
1、一点不漏 曲线与方程的定义中的第一点中，曲线C上的任意一点的坐标 都是方程 的解。概括为：“一点不漏”。
1、一点不杂 曲线与方程的定义中的第二点中， 以方程 的解为坐标 的点都在曲线 。概括为：“一点不杂”。
3、揭示数与形的关系 “曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响。
1、初中直线与圆的几何教学： 初中借助平面几何图形复杂的 推理论证解决问题。
2高中的解析几何教学： 高中利用方程，凭借简单的数 的运算法则解决问题。 曲线的方程 一一对应 方程的解 曲线的点 方程的曲线
曲线与方程可以看作是同一事物的两种不同形式。 3、同一事物的两种不同形式： 曲线与方程可以看作是同一事物的两种不同形式。 曲线方程是曲线的代数形式。 方程的曲线是方程的几何形式。 曲线的性质可以在方程中体现出来，方程的性质可以通过曲线反映出来。
公元3世纪前后 最著名的希腊三大学者欧几里德、阿基米德和阿波罗尼斯都研究了圆锥曲线。 法国著名数学家笛卡尔创立了解析几何学，建立了坐标系，用数学方程来研究物体的运动轨迹，并且认识二元二次方程的图像是圆锥曲线。 1596-1650年
法国著名数学家费尔玛受到古希腊阿波罗尼斯著作《圆锥曲线》的启发，于笛卡尔稍后，也独立具有了解析几何的思想。他分别从三个不同的方面给圆锥曲线以定义，就是既把圆锥曲线看作平面截圆锥所得的截线，又看作是平面上动点到定点和到定直线距离比为常数的点的轨迹，还看作是代数的二元二次方程的图像。 1603—1665
欧拉撰写的《分析引论》，是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述。继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面等。 1707—1783
《数学课程标准》关于曲线与方程概念的教学要求 01 《数学课程标准》关于曲线与方程概念的教学要求 1、理解曲线的方程、方程的曲线的概念；能根据给出条件求出曲线方程； 2、经历对曲线方程定义的归纳理解过程，体会严谨的数学思维，培养学生的数形结合思想。 具体体现在：
《数学课程标准》关于曲线与方程概念的教学要求 01 《数学课程标准》关于曲线与方程概念的教学要求 具体体现在： （1）、能辨析给出的方程是否是某个曲线的方程； （2）、掌握求曲线方程的基本步骤； （3）、能对照轨迹的基本步骤反思自己的求解过程；
《数学课程标准》关于曲线与方程概念的教学要求 01 《数学课程标准》关于曲线与方程概念的教学要求 教学重点和难点： 对曲线与方程概念的理解和掌握。
02 教学建议： 1、采取具体——抽象——具体模式。 2、采取类比—归纳方式。 3、利用反例衬托，深化概念内涵。
（1）采用具体—抽象—具体的教学模式 创设问题情境 ① 建立直线方程，让学生通过方程研究直线性质？ ② 建立圆方程，让学生探索直线与圆、圆与圆的位置关系？ ③ 设问：平面直角坐标系中的每一条直线都可用一个关于x,y的两元方程来表示吗？
（1）采用具体—抽象—具体的教学模式 创设问题情境 每一个关于x,y的两元方程都能表示一条直线吗？ 1、解析几何只要通过方程来研究几何问题。 ④ 每一个关于x,y的两元方程都能表示一条直线吗？ 1、解析几何只要通过方程来研究几何问题。 师生共同提炼： 2、建立二元方程与直线间的一一对应关系。 3、建立曲线方程来研究曲线的性质。
（2）采用类比—归纳的教学方式 类比函数解析式与二元方程之间的关系 将函数图像类比成曲线，将函数解析式纳入曲线方程概念之中。
①第一、第三象限的角平分线上的点的坐标满足方程 （3）采用反例衬托，深化曲线方程概念 在概念教学中, 通过反例的衬托, 常常可以加深学生对 概念的深刻理解。 如： ①第一、第三象限的角平分线上的点的坐标满足方程 ②以方程 解为坐标的点都在第一、第三象限的 角平分线上。（ ）
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