第 15 章 狭义相对论力学基础 爱因斯坦 (Einstein)

爱因斯坦 20世纪最伟大的物理学家，1879年3月14日出生于德国乌尔姆，1900年毕业于瑞士苏黎世联邦工业大学。1905年，爱因斯坦在科学史上创造了史无前例的奇迹。这一年的3月到9月半年中，利用业余时间发表了 6 篇论文，在物理学 3 个领域作出了具有划时代意义的贡献 — 创建了光量子理论、狭义相对论和分子运动论。 爱因斯坦在1915年到1917年的3年中，还在 3 个不同领域做出了历史性的杰出贡献 — 建成了广义相对论、辐射量子理论和现代科学的宇宙论。 爱因斯坦获得 1921 年的诺贝尔物理学奖

19世纪后期，经典物理学的三大理论体系使经典物理学已趋于成熟。 牛 顿 力 学 19世纪后期，经典物理学的三大理论体系使经典物理学已趋于成熟。 麦 克 斯 韦 电 磁 场 理 论 热力学与经典统计理论 两朵小乌云 迈克耳逊——莫雷“以太漂移”实验 黑体辐射实验 近代物理学的两大支柱，逐步建立了新的物理理论。 狭义相对论 量子力学 强调 近代物理不是对经典理论的补充，而是全新的理论。 近代物理不是对经典理论的简单否定。

§15.1 经典力学的相对性原理 伽利略变换 一. 绝对时空观 二. 经典力学的相对性原理 绝对时间 绝对的、数学的、与物质的存在和运动无关 §15.1 经典力学的相对性原理 伽利略变换 一. 绝对时空观 绝对时间 绝对的、数学的、与物质的存在和运动无关 绝对空间 二. 经典力学的相对性原理 在所有惯性系中，物体运动所遵循的力学规律是相同的，具有相同的数学表达形式。或者说，对于描述力学现象的规律而言，所有惯性系是等价的。 经典力学相对性原理与绝对时空观密切相关

三. 伽利略变换 在两个惯性系中分析描述同一物理事件 在 t ＝0 时刻，物体在 O 点, S , S' 系重合。t 时刻，物体到达 P 点 y O z S x (x' ) O' z' y' S' P (x, y, z; t ) (x', y', z'; t') 伽利略变换式 正变换 逆变换

由定义 并注意到 速度变换和加速度变换式为 写成分量式 u 是恒量 请大家自己写出速度、加速度的逆变换式

四. 牛顿运动定律具有伽利略变换的不变性 在牛顿力学中 力与参考系无关 质量与运动无关

§15.2 狭义相对论的两个基本假设 一. 伽利略变换的困难 (2) 迈克耳逊 - 莫雷实验 (1) 对 (1) 光线：O  M1  O §15.2 狭义相对论的两个基本假设 一. 伽利略变换的困难 Maxwell 电磁场方程组不服从伽利略变换 迈克耳逊 - 莫雷实验的零结果 (2) 迈克耳逊 - 莫雷实验 (1) 对 (1) 光线：O  M1  O 以太风

对 (2) 光线：O  M2  O 由 l1 = l2 = l 和 v << c 两束光线的时间差 当仪器转动 p / 2 后，引起干涉条纹移动 实验结果: 迈克耳逊 — 莫雷实验的零结果，说明“以太”本身不存在。

二. 狭义相对论的两个基本假设 1905年，A. Einstein 首次提出了狭义相对论的两个假设 1. 光速不变原理 在所有的惯性系中，光在真空中的传播速率具有相同的值 包括两个意思： 光速不随观察者的运动而变化 光速不随光源的运动而变化 2. 相对性原理 一切物理规律在所有惯性系中具有相同的形式 所有惯性系都完全处于平等地位，没有任何理由选某一个参考系，把它置于特殊的地位。

讨论 (1) Einstein 相对性原理 是 Newton力学相对性原理的发展 (2) 光速不变原理与伽利略的速度合成定理针锋相对 (3) 时间和长度等的测量 在牛顿力学中，与参考系无关 在狭义相对论力学中，与参考系有关

§15.3 狭义相对论的时空观 一. 同时性的相对性 以一个假想火车为例 c c 地面参考系 假想火车 事件1：A' 接收到光信号 S S' c c 地面参考系 假想火车 (车上放置一套装置) A' M ' B' A'、B' 处分别放置一光信号接收器 t = t' = 0 时, M ' 发出一光信号 中点 M ' 处放置一光信号发生器 事件1：A' 接收到光信号 事件2：B' 接收到光信号 A' 、B' 同时接收到光信号 1、2 两事件同时发生

闪光发生在M 处 c c 光速仍为 c 而这时， A' 、B' 处的接收器随 S ' 运动。 c c A' 比 B' 早接收到光信号 事件 1 发生 S A M S' c 事件 2 发生 A' 比 B' 早接收到光信号 1事件先于2 事件发生 B

结论 沿两个惯性系相对运动方向上发生的两个事件，在其中一个惯性系中表现为同时的，在另一个惯性系中观察，则总是在前一个惯性系运动的后方的那一事件先发生。 讨论 (1) 同时性是相对的。 (2) 同时性的相对性是光速不变原理的直接结果。 (3) 同时性的相对性否定了各个惯性系具有统一时间的可能性，否定了牛顿的绝对时空观。

二. 时间延缓 在S' 系的 O' 处放置一闪光光源和一信号接收器，在竖直方向距离 O' 点 h' 的位置处放置一平面反射镜 M' 事件1 S' O' S O M' O' 处的接收器接收到该光信号 事件2 研究的问题是 在S、S' 系中，两事件发生的时间间隔之间的关系 原时: 在某惯性系中，同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔 即 (原时)

? 设 t = t ' = 0 时刻，O' 处的闪光光源发出一光信号 S O S' O' M' S' O' M' S' O' M' S'

记： 讨论 (1) 当v << c 时， (2) 时间延缓效应 在 S' 系中测得发生在同一地点的两个事件之间的时间间隔 t'，在 S 系中观测者看来，这两个事件为异地事件，其之间的时间间隔 t 总是比 t' 要大。

(5) 运动时钟变慢效应是时间本身的客观特征。 在不同惯性系中测量给定两事件之间的时间间隔，测得的结果以原时最短。 运动时钟走的速率比静止时钟走的速率要慢。 (4) 时间延缓效应是相对的。 (5) 运动时钟变慢效应是时间本身的客观特征。 (6) 时间延缓效应显著与否决定于  因子。

- 介子是一种不稳定的粒子，从它产生到它衰变为  - 介子经历的时间即为它的寿命，已测得静止 - 介子的平均寿命 0 = 2  10-8s. 某加速器产生的 - 介子以速率 u = 0.98 c 相对实验室运动。 例 求 - 介子衰变前在实验室中通过的平均距离。 解 对实验室中的观察者来说，运动的 - 介子的寿命  为 因此， - 介子衰变前在实验室中通过的距离 d ' 为

三. 长度收缩 1. 运动长度的测量 不要求同时测量 原长: 相对于棒静止的惯性系测得棒的长度 必须同时测量 O' S' O S O' S' 原长: 相对于棒静止的惯性系测得棒的长度 O S O' S' 必须同时测量

2. 长度收缩 O S O' S' 事件1 两事件同地发生,  t 为原时 O S O' S' 事件2

2. 长度收缩 两事件同地发生,  t 为原时 由 得 讨论 (1) 当v << c 时， O S O' S' 事件1 O S 事件2 由 得 讨论 (1) 当v << c 时，

沿尺长度方向相对尺运动的观测者测得的尺长 l ，较相对尺静止观测者测得的同一尺的原长 l 0 要短。 (2) 长度缩短效应 沿尺长度方向相对尺运动的观测者测得的尺长 l ，较相对尺静止观测者测得的同一尺的原长 l 0 要短。 在不同惯性系中测量同一尺长，以原长为最长。 (3) 长度收缩效应是相对的。 (4) 长度收缩效应显著与否决定于  因子。 (5) 长度收缩效应是同时性相对性的直接结果。

山洞比车短，火车可被闪电击中否？ u 同时闪电时，车正好在山洞里

车头到洞口，出现第一个闪电 u

车尾到洞口，出现第二个闪电 闪电不同时 u

地球-月球系中测得地-月距离为 3. 844×108 m，一火箭以 0 地球-月球系中测得地-月距离为 3.844×108 m，一火箭以 0.8 c 的速率沿着从地球到月球的方向飞行，先经过地球 (事件1)，之后又经过月球 (事件2)。 例 在地球-月球系和火箭系中观测，火箭从地球飞经月球所需要的时间。 求 解 取地球-月球系为 S 系，火箭系为 S' 系。则在 S 系中，地-月距离为 火箭从地球飞径月球的时间为

设在系 S' 中，地-月距离为 l '，根据长度收缩公式有 另解:

宇宙飞船以 0.8c 速度远离地球(退行速度 u = 0.8c )，在此过程中飞船向地球发出两光信号，其时间间隔为 tE . 例 求 地球上接收到它发出的两个光信号间隔 tR . 令宇宙飞船为 S' 系，地面为 S 系。则 S 系中测得发出两光信号的时间间隔为 解 接收两光信号的时间间隔为 O S x O' S' O' S'

§15.5 狭义相对论的速度变换定理 由洛仑兹坐标变换 定义 得

整理得 请大家自己写出速度的逆变换式

令地球参照系为 S 系，飞船为 S ' 系，不明飞行物为S'' 系，则在S'' 系中测得不明飞行物的长度为原长 l 0 ，由长度收缩公式有 一宇宙飞船以速度 u 远离地球沿 x 轴方向飞行，发现飞船前方有一棒形不明飞行物，平行于 x 轴。飞船上测得此物长为l ' ，速度大小为 v ' ，方向沿 x 轴正向。 例 地面上的观测者测得此物长度。 求 O S x S' O' S'' O'' 解 令地球参照系为 S 系，飞船为 S ' 系，不明飞行物为S'' 系，则在S'' 系中测得不明飞行物的长度为原长 l 0 ，由长度收缩公式有 由速度逆变换式有

飞船 A , B 相对于地面分别以 0.6 c 和 0.8 c 的速度相向而行。 例 飞船 A , B 相对于地面分别以 0.6 c 和 0.8 c 的速度相向而行。 (1) 飞船 A 上测得地球的速度； (2) 飞船 A 上测得飞船 B 的速度； (3) 地面上测得飞船 A 和飞船 B 的相对速度。 求 解 (1) 根据运动的相对性，飞船 A 上测得地球的速度为: - 0.6c (2) 设地面为 S 系，飞船 A 为 S' 系，S' 系相对与 S 系的速度为 u = 0.6 c. 依题意飞船 B 在 S 系中的速度 v = -0.8 c， 由洛仑兹速度变换，S' 系(飞 船 A)测得飞船 B 的速度为 O S S' O' A B

(3) 地面上测得飞船 A 和飞船 B 的相对速度为 在相对论中，物质的运动速度不会超过真空中的光速 c，是指某观察者看到的所有物体相对于它的速度不会超过 c. 在地面上观测飞船 A 和飞船 B 的相对速度是地面看到的其它两物体的相对速度，它不是某一物体对地面的速度，因此不受极限速度的限制。

§15.6 光的多普勒效应 一. 相对论多普勒频移公式 经典多普勒效应： 对于光波，有  与空间有关 与时间有关 §15.6 光的多普勒效应 经典多普勒效应： 对于光波，有  与空间有关 与时间有关 经典多普勒效应对光是不正确的 在相对论中，不同的惯性系中波长和频率将不同，但两者的乘积恒为 c 一. 相对论多普勒频移公式 0 为光源的固有频率  为观察者实测到的光频率

y x 光源 观察者 O *推导 (x, y, z , t ) (0, 0, 0, t* )

二.机械波和光的多普勒效应的区别 1. 光的纵向多普勒效应 (1) 若光源离开观察者，上式中 取正号，这时l <0 ，实测频率 l 小于光源固有频率0 “红移” (2) 若光源趋近观察者，上式中 取负号，这时l >0 ，实测频率 l 大于光源固有频率0 “蓝移” 2. 光的横向多普勒效应 二.机械波和光的多普勒效应的区别 (1) 机械波无横向多普勒效应；而光波具有横向多普勒效应。

(2) 光的多普勒频移与波源对于观察者运动，还是观察者对于波源运动无关，而机械波的多普勒频移在这两种情况下是不同的。 (3) 波的传播媒质运动不影响光的多普勒频移，但却影响机械波的多普勒频移。

一遥远的河外星系以很高的速率离开地球退行而去，其谱线发生红移。与固有频率 0 相对应的波长为 0 = 434 nm 的谱线，地面上观测记录的该谱线的波长 = 600 nm. 例 求 此河外星系的退行速率。 以v 表示本题所求的退行速率，以 表示与波长 对应的频率，则有0 = c/0 和  = c/ ，代入纵向多普勒效应式，有 解 代入题给数据，解得

以 0.6 c 速度飞行的宇宙飞船上的乘客，通过电磁波收看来自地球的物理讲座。对地球上报告厅里的学生来说，该讲座持续了50分钟。 例 飞船处于下列情况下，飞船上的乘客要用多长时间看完整个讲座。(1)飞船离开地球远去时；(2)飞船向着地球返回时。 求 解 (1) t'2 t'1 x'2 x'1 （分钟） (2) (分钟)

§15.7 狭义相对论质点动力学简介 一.相对论质量、动量 质点动力学基本方程 物理概念：质量，动量，能量，…… 重新审视其定义 §15.7 狭义相对论质点动力学简介 物理概念：质量，动量，能量，…… 重新审视其定义 (1) 应符合爱因斯坦的狭义相对性原理 原 则 即经过洛伦兹变换时保持定律形式不变 (2) 应满足对应原理 即趋于低速时，物理量须趋于经典理论中相应的量 一.相对论质量、动量 质点动力学基本方程 1. 质速关系 经典理论： 与物体运动无关

在相对论中，若仍定义质点动量为质量与速度的乘积，要使动量守恒定律在洛伦兹变换下保持不变，则要求质量 m 与质点运动速度有关 以两粒子的碰撞为例 S S' 根据洛伦兹变换 若质点质量与速度无关 与相对性原理矛盾 在相对论中，若仍定义质点动量为质量与速度的乘积，要使动量守恒定律在洛伦兹变换下保持不变，则要求质量 m 与质点运动速度有关 考虑到空间各向同性，质点质量 m 应与速度方向无关

以两粒子的弹性正碰为例来导出质速关系 设两粒子完全相同，其静止质量为 O S x O' S' x' S 系的观察者 根据洛伦兹变换

(1) 当v << c 时，  0, m = m0 讨论 (1) 当v << c 时，  0, m = m0 (2) 质速曲线 当v =0.1 c m 增加 0.5% 当v =0.866 c 当v  c 当v = c (3) 光速是物体运动的极限速度 2. 相对论动量 可以证明，该公式保证动量守恒定律在洛伦兹变换下，对任何惯性系都保持不变性

? 二.能量 质能关系 3. 相对论质点动力学基本方程 经典力学 相对论力学  经典力学  相对论力学 低速退化 二.能量　质能关系  经典力学  相对论力学 ? 在相对论中，认为动能定理仍适用。若取质点速率为零时动能为零。则质点动能就是其从静止到以v 的速率运动的过程中,合外力所做的功

(1) 注意相对论动能与经典力学动能的区别和联系 两边微分 相对论的动能表达式 讨论 (1) 注意相对论动能与经典力学动能的区别和联系

(2) 当v  c，Ek   ，意味着将一个静止质量不为零的粒子，使其速度达到光速，是不可能的。 牛顿力学中的动能公式 出现退化 (2) 当v  c，Ek   ，意味着将一个静止质量不为零的粒子，使其速度达到光速，是不可能的。 (3) 静止能量 总能量 任何宏观静止物体具有能量 静止能量： 总 能 量： 相对论质量是能量的量度

质能关系 物体的相对论总能量与物体的总质量成正比 ——质量与能量不可分割 物体质量与能量变化的关系 例如　1kg 水由 0 度加热到 100 度，所增加的能量为 (4) 对于一个存在有内部结构和内部运动的系统来说 系统随质心平动的动能 系统的内能

四.相对论能量和动量的关系 两边平方 两边乘以 c 4 取极限情况考虑，如光子

例 两个静质量都为 m0 的粒子，其中一个静止，另一个以v 0 = 0.8 c 运动，它们对心碰撞以后粘在一起。 碰撞后合成粒子的静止质量。 求 取两粒子作为一个系统，碰撞前后动量、能量圴守恒，设碰撞后合成粒子的静止质量为 M0 ，运动质量为 M ，运动速度为 V ，则 解 得 由

例 某粒子的静止质量为 m0 ，当其动能等于其静能时， 求 其质量和动量各等于多少？ 解 动能： 由质速关系 由此得，动量

例 设火箭的静止质量为 100 t ，当它以第二宇宙速度飞行时， 求 其质量增加了多少？ 火箭的第二宇宙速度 v = 11. 2 10 3 m/s ，因此 v <<c ，所以火箭的动能为 解 火箭的质量的增加量为 火箭质量可近视为不变