第三节 平均指标与标志变异指标 一、集中趋势的代表值 ── 平均指标 常用方法有：算术平均数、调和平均数、中位数和众数等。 （一）算术平均数 第三节 平均指标与标志变异指标 一、集中趋势的代表值 ── 平均指标 常用方法有：算术平均数、调和平均数、中位数和众数等。 （一）算术平均数 它是同质总体内各单位某类变量分布集中趋势的代表值，它是同质总体内某类变量所有变量值的平均数。 例如， 甲数列：68、69、70、71、72， = 70 乙数列：50、60、70、80、90, = 70 绘制成线段如图3-1所示。 50 60 70 80 90 甲 乙 图3-1

因此，统计平均数是对变量数列围绕中心值分布状况的一种统计描述。 图3-1显示：甲数列集中程度大，乙数列离散程度大。 算术平均数是测定集中趋势最常用的代表值，它的实质是把同质总体中各单位变量值的差异（离差）正负相互抵消后反映变量集中趋势中心点的代表值。如甲、乙两数列： 甲数列：68、 69、 70、 71、 72, = 70 离差：-2 -1 0 1 2 乙数列：50、 60、 70、 80、 90, = 70 离差：-20 -10 0 10 20 因此，统计平均数是对变量数列围绕中心值分布状况的一种统计描述。

1.简单算术平均数 用字母表示为： 式中： —— 算术平均数； xi —— 表示第i个变量值； n —— 总频数； Σ —— 加总符号。 代入数值为： 甲： = = 70 乙： = = 70 =

2.加权算术平均数 (1)根据单项变量分布数列计算算术平均数 用字母表示： = 式中：fi——第i组的变量值出现的次数，即频数。 利用分组数据计算算术平均数的过程是： ①表内，根据x 栏与f 栏内数值计算出xf栏内数值。Xf 栏为各组变量总值， Xf 栏的合计数为总体变量总值。 ②表外，将Σ Xf （变量总值）和Σf（总频数）代入公式，计算出算术平均数 。 例：某生产组10名工人生产甲产品，日产量分组资料 如表3-5所示。试计算工人平均日产量。

计算表明，平均日产量26件趋近工人数最多即频数最大的那个变量值30件。若本例各变量值x不变，各组工人数f 的分布变化，可得表3-6。 表3-5 加权算术平均数计算表 = = = 26 (件) 计算表明，平均日产量26件趋近工人数最多即频数最大的那个变量值30件。若本例各变量值x不变，各组工人数f 的分布变化，可得表3-6。 日产量（件）xi 工人数（人）fi Xi · fi 10 1 20 2 40 30 7 210 合 计 260

计算表明，平均日产量14件趋近于工人数最多即频数最大的变量值10件。 日产量（件）xi 工人数（人）fi Xi · fi 10 7 70 表3-6 加权算术平均数计算表 根据表3-6资料计算平均日产量为： = = 14(件) 计算表明，平均日产量14件趋近于工人数最多即频数最大的变量值10件。 日产量（件）xi 工人数（人）fi Xi · fi 10 7 70 20 2 40 30 1 合 计 140

权数不仅可以用绝对数f 表示，也可用相对数即频率f/Σf表示。即： 由上例可以看出，用分组数据计算平均数，平均值的大小受两个因素影响：一个是各组变量值x,另一个是各组次数即频数f的影响。当各组变量值x 不变时，各组次数即频数f 对平均值 的大小起着权衡轻重的作用。因此，次数f 称为权数，这种方法称为加权算术平均法。 权数不仅可以用绝对数f 表示，也可用相对数即频率f/Σf表示。即： = =

例 如表3-7所示。 = = 26(件) 日产量（件）xi 工人数（人）fi fi/Σfi xi·( fi/Σfi) 10 1 0.1 20 例 如表3-7所示。 表3-7 加权算术平均数计算表 = = 26(件) 日产量（件）xi 工人数（人）fi fi/Σfi xi·( fi/Σfi) 10 1 0.1 20 2 0.2 4 30 7 0.7 21 合 计 1.0 26

若掌握组距数列资料，计算方法是：先计算组中值xi ,然后再按上述方法计算加权算术平均数。如表3-8所示。 (2)根据组距式变量分布数列计算加权算术平均数 若掌握组距数列资料，计算方法是：先计算组中值xi ,然后再按上述方法计算加权算术平均数。如表3-8所示。 表3-8 组距数列加权算术平均数计算表 日产量 （件） 组中值（件）x 工人数（人） xf x·f/ Σf f f/Σf 400以下 350 5 0.083 1750 29.05 400～500 450 13 0.217 5850 97.65 500～600 550 18 0.300 9900 165.00 600～700 650 15 0.250 9750 162.50 700～800 750 7 0.117 5250 87.75 800以上 850 2 0.033 1700 28.05 合 计 — 60 1.000 34200 570.00

缺下限组组中值 = 上限–邻组组距/2 = 400–100/2 = 350(件) ①计算组中值： 缺下限组组中值 = 上限–邻组组距/2 = 400–100/2 = 350(件) 缺上限组组中值 = 下限–邻组组距/2 = 800–100/2 = 850(件) 上下限齐全组组中值 =（上限+下限）/2 = (500+400)/2 = 450(件) … … ②计算平均数： = = 34200/60 = 570(件) = = 570(件)

算术平均数 = 变量值总量 / 单位总量 (二)算术平均数的变形 ─ 调和平均数 综上，简单算术平均数与加权算术平均数之间没有根本区别，因为一个变量值乘上一个频数（权数）与多次加总同一个变量值是意义相同的。它们的基本公式都是相同的： 算术平均数 = 变量值总量 / 单位总量 (二)算术平均数的变形 ─ 调和平均数 在实际工作中有时由于资料的原因不能直接计算算术平均数，可采用调和平均数的形式间接算出算术平均数，其计算结果与算术平均数相同。因此，在这种情况下调和平均数的应用是算术平均数的变形形式。如表3-9所示。 表3-9 同种商品价格及销售额资料 商场名称 价格（元）x 销售额（元）m 甲 0.80 16000 乙 1.00 21000 丙 1.20 21600 合 计 — 58600

Σm 是变量总值，因为m =xf ,所以m/x =f 是各组频数，Σm/x是总次数。由此可见，调和平均数是算术平均数的变形形式。 调和平均数的计算方法如表3-10所示。 表3-10 调和平均数计算表 Σm 是变量总值，因为m =xf ,所以m/x =f 是各组频数，Σm/x是总次数。由此可见，调和平均数是算术平均数的变形形式。 加权调和平均数的计算方法为： 平均价格 = = 58600/59000 = 0.99(元/件) 商场名称 价格（元）x 销售额（元）m 销售量（件）m/x 甲 0.80 16000 20000 乙 1.00 21000 丙 1.20 21600 18000 合 计 — 58600 59000

调和平均数有以下特点： 1.调和平均数易受极端值影响，当变量呈明显偏态时它的代表性会受影响。 2.当变量中有0值时,调和平均数无法计算。 (三)几何平均数：在第六章中介绍。 (四)中位数和众数（略） 本小节小结 算 术 由于在计算时所有变量值均参加了计算， 集 平均数 因此，算术平均数能够代表所有的变量 中 平均值 值。算术平均数对极端值反应很灵敏。 趋 调和均值： 调和平均数是算术平均数的变形。 势 中位数是各变量值中央位置的代表值， 测 位置值 中位数 不受极端值影响。众数是出现次数最多 度 众 数 的变量值，不受极端值影响。

极差也称全距，是变量值中最大值与最小值之差。用公式表示为：全距（R）= 最大变量值 - 最小变量值。如： 二、离中趋势的代表值——标志变异指标 均值是描述变量分布集中趋势，标准差是描述变量分布离中趋势，两者相辅相成共同反映变量分布特征的一对对立统一的代表值。描述离中趋势的代表值常用的有：极差、标准差和离散系数等。 （一）极差 极差也称全距，是变量值中最大值与最小值之差。用公式表示为：全距（R）= 最大变量值 - 最小变量值。如： 甲数列： 50 、60 、70 、80 、90 ， R = 90-50 = 40 乙数列： 68 、69 、70 、71 、72 ， R = 72-68 = 4 组距数列计算全距： 全距（R）= 最高值组上限值 - 最低值组下限值。如表3-11: 表3-11 40名工人日产量资料 产量（件） 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 合计 人数（人） 2 8 16 10 4 40

R = 100-50 = 50（件） 用离差评价变量的离散状况：极差值越小表明变量值离散范围小，离散程度小，变量值集中，平均数代表性大；极差值越大，表明变量值离散范围大，离散程度大，变量值分散，平均数代表性小。极差值对极端值反应灵敏。 （二）方差和标准差 方差和标准差是最重要、最常用的离中程度的度量方法，多用于以算数平均数为集中趋势度量的场合。 1.方差 它是各变量值相对于平均数的离差的平方的平均数，方差习惯上用字母“σ2 ”表示。它的计算过程是：先用各个变量值xi减去其平均数 ，得出离差xi- 。而离差有正、负之分，为了防止正、负离差相互抵消，可取离差的平方值(xi- )2,最后用离差平方之和除以项数n 或总次数Σf 可得方差。

（1）简单式方差： σ2 = （2）加权式方差： 2.标准差 标准差是方差的平方根，其计算公式为： (1)简单式方差： σ= (2)加权式方差： 3.标准差的计算方法 (1)简单式标准差： 计算过程如表3-12、3-13所示。

σ= = 14.14(件) = 350/5=70（件） 日产量（件）xi 离差（xi- ） 离差平方（xi- ）2 50 -20 400 表3-12 甲组简单式标准差计算表 = 350/5=70（件） σ= = 14.14(件) 日产量（件）xi 离差（xi- ） 离差平方（xi- ）2 50 -20 400 60 -10 100 70 80 10 90 20 合 计 Σ — 1000

计算表明，乙组比甲组标准差小，则乙组比甲组离中程度小，即乙组变量值分布范围比甲组集中，乙组平均数代表性大。 日产量（件）xi 表3-13 乙组简单式标准差计算表 = 350/5=70（件） σ= = 1.414(件) 计算表明，乙组比甲组标准差小，则乙组比甲组离中程度小，即乙组变量值分布范围比甲组集中，乙组平均数代表性大。 日产量（件）xi 离差（xi- ） 离差平方（xi- ）2 68 -2 4 69 -1 1 70 71 72 2 合 计 Σ — 10

产量（件） xi 人数（人） fi 总产量（件） xi fi 离差（件）xi- 离差平方（xi- ）2 离差平方加权（xi- ）2fi 12 (2)加权式标准差（计算过程如表3-14）。 表3-14 单项数列标准差计算表 产量（件） xi 人数（人） fi 总产量（件） xi fi 离差（件）xi- 离差平方（xi- ）2 离差平方加权（xi- ）2fi 12 1 -4 16 13 2 26 -3 9 18 14 3 42 -2 4 15 60 -1 5 80 17 68 54 19 38 20 合计 25 400 ─ 100

= 400/25 = 16（件） σ= = = 2(件) 计算公式如下： 由组距式变量数列计算标准差，见表3-15。 σ= = = 2(件) 由组距式变量数列计算标准差，见表3-15。 表3-15 组距变量数列标准差计算表 = 3100/100 = 31（千克） 日产量（千克） 人数（人）fi 组中 值xi xi fi xi- （xi- ）2 （xi- ）2fi 15～25 20 400 -11 121 2420 25～35 50 30 1500 -1 1 35～45 40 1200 9 81 2430 合 计 100 ─ 3100 4900

σ= = 7(千克) (三)离散系数 若研究的总体不同，或计量单位不同，或平均数相差悬殊，它们离中趋势的绝对数是不可以比较的。为此，要计算离中趋势的相对数，即离散系数。 离散系数有几种，常用的是标准差系数，它是标准差除以平均数表明每单位平均数的离散程度，用百分数表示，是变量分散性的相对程度度量。标准差系数常用字母“Vσ”表示，计算公式为： Vσ = ×100% 1.比较总体相同，计量单位不同两组变量数列的离散程度 例如，某市6岁男童体重与身高资料如下： 平均数 标准差 体重： 19.39千克 2.16千克 身高： 115.87厘米 4.86厘米

表3-16 成人组身高标准差计算表（单位：厘米） 标准差系数为： 体重： Vσ = 2.16/19.39×100% = 11.14% 身高： Vσ = 4.86/115.87×100% = 4.19% 计算表明体重变异大于身高变异。 2.比较计量单位相同平均数差异大的两组变量的离散程度 例如，表3-16和表3-17两组资料。 表3-16 成人组身高标准差计算表（单位：厘米） 身高xi xi- (xi - )2 164 -4 16 166 -2 4 168 170 2 172 合 计 ─ 40

= 73(厘米) σ= 1.414(厘米) 标准差系数为： 成人组 Vσ = 1.68% 幼儿组 Vσ = 1.94% = 168(厘米) σ= 2.828(厘米) 表3-17 幼儿组身高标准差计算表 = 73(厘米) σ= 1.414(厘米) 标准差系数为： 成人组 Vσ = 1.68% 幼儿组 Vσ = 1.94% 计算表明成人组身高离散程度小于幼儿组。 身高xi xi- (xi - )2 71 -2 4 72 -1 1 73 74 75 2 合 计 ─ 10

计算表明，甲国企业员工月平均收入离散程度小。 本小节小结： （一）离散程度的实质 3.比较总体不同、计量单位也不同的两组变量的离散程度 例如，甲国某企业员工月平均收入3000美元，标准差180美元；乙国某企业员工月平均收入7500欧元，标准差600欧元，问哪国员工月平均收入离散程度小？ 甲国 Vσ = 6% 乙国 Vσ = 8% 计算表明，甲国企业员工月平均收入离散程度小。 本小节小结： （一）离散程度的实质 标准差可以概括地、直接地、平均地描述变量发布的离散程度，是各变量值xi距离它们的平均数 远近的一种尺度。概率论指出，在正态分布中68%的变量值分布在距离平均数一个σ值的范围内，95%的变量值分布在距离平均数两个σ值的范围内，其余的5%远离平均数。

平均数通常可用来寻找变量分布的中心值；标准差则度量了各变量值对于平均数的分布程度。两者关系用正态分布图展示： （二）平均数与标准差 平均数通常可用来寻找变量分布的中心值；标准差则度量了各变量值对于平均数的分布程度。两者关系用正态分布图展示： 68% 95% 99%

本章小结： （一）总体变量分布特征的统计描述 将采集到的资料整理成变量数列后，呈现给我们的只是一个总体变量分布形态，进一步研究总体变量分布的规律性，就会发现总体变量分布具有集中趋势和离中趋势两个方面的特征。因此 就需要对总体变量分布特征进行集中趋势和离中趋势的描述—— 平均指标和变异指标。 平均值——算术、调和、几何平均 集中趋势测度 位置值——中位数、重数 总体变量 分布特征 绝对数——全距 离中趋势测度 平均数——标准差 相对数——标准差系数

加权调和平均： = 用 对变量值倒数 加权平均； （二）权数的意义 加权算术平均： = 用 对变量值x加权平均； 加权调和平均： = 用 对变量值倒数 加权平均； 加权标准差：σ= 用 对离差 加权平均。