生活中的圆周运动

F合 "供需"平衡 物体做匀速圆周运动 从"供""需"两方面研究做圆周运动的物体 向心力公式的理解 = 物体做匀速圆周运动所需的力 提供物体做匀速圆周运动的力(受力分析) F合 = "供需"平衡 物体做匀速圆周运动 从"供""需"两方面研究做圆周运动的物体

汽车在水平地面上转弯是什么力提供向心力的呢? O mg FN Ff

汽车在水平路面上转弯所需要的向心力来源:汽车侧向所受的静摩擦力。 O mg FN Ff 当汽车转弯的半径一定时,汽车的速度v越大,所需的向心力也越大,静摩擦力也越大,当静摩擦力为最大静摩擦力时:

由此可见:当汽车以沿圆盘转弯时,存在一个安全通过的最大速度,如果超过了这个速度,汽车将发生侧滑现象。 O mg FN Ff 由此可见:当汽车以沿圆盘转弯时,存在一个安全通过的最大速度,如果超过了这个速度,汽车将发生侧滑现象。 改进措施: (1)增大圆盘半径 (2)增加路面的粗糙程度 (3)增加路面高度差——外高内低 (4)最重要的一点:司机应该减速慢行!

增加路面高度差 FN Ff G 转弯处的路面内低外高!

实例研究1——火车转弯 火车以半径R= 300m在水平轨道上转弯,火车质量为8×105kg,速度为30m/s。铁轨与轮之间的动摩擦因数μ=0.25。 设向心力由轨道指向圆心的静摩擦力提供 mg FN Ff "供需"不平衡,如何解决? O 代入数据可得:Ff=2.4×106N 但轨道提供的静摩擦力最大值: Ffmax=μmg=1.96×106N

=0.14m 解： 由力的关系得: 由向心力公式得: 由几何关系得: h 最佳设计方案 火车以半径R=900 m转弯,火车质量为8×105kg ,速度为30m/s,火车轨距l=1.4 m,要使火车通过弯道时仅受重力与轨道的支持力,轨道应该垫的高度h？ (θ较小时tanθ=sinθ) 解： FN mg F 由力的关系得: 由向心力公式得: 由几何关系得: h =0.14m θ

F2 F1 F弹 研究与讨论 1、试分析轮缘与内外轨都无挤压时火车转弯的速率大小v（假设转弯半径为R，轨距为L，内外轨高度差为h）. 2、若火车速度与设计速度不同会怎样？即： （1）火车实际速度v实> v，则需要那侧轨道提供一个力的作用 （2）火车实际速度v实<v，则需要哪侧轨道提供一个力的作用

若火车速度与设计速度不同 需要轮缘提供额外的弹力满足向心力的需求 过大时： 外侧轨道与轮之间有弹力 F 过小时： 外侧 FN mg F 过大时： 外侧轨道与轮之间有弹力 过小时： 内侧轨道与轮之间有弹力 外侧 FN′ FN′ θ 内侧 过大时:火车向外侧运动挤压外轨 过小时:火车向内侧运动挤压内轨

列车速度过快,造成翻车事故

例： 火车转弯半径为R，轨距为L，两轨间高度差为h，火车转弯的速率为v，下列关于火车转弯时速度及受力情况分析正确的是（ ）

实例研究2——汽车过桥 1、汽车过拱桥 质量为m 的汽车以恒定的速率v通过半径为r的拱桥,如图所示,求汽车在桥顶时对路面的压力是多大?

当汽车通过桥顶时的速度逐渐增大时FN 和 FN′会怎样变化? 解:汽车通过桥顶时,受力如图: FN 由牛顿第二定律: Ff F mg r O 由牛顿第三定律: 失重 当汽车通过桥顶时的速度逐渐增大时FN 和 FN′会怎样变化?

发散思维： 地球可以看做一个巨大的拱形桥,桥面的半径就是地球的半径。会不会出现这样的情况:速度大到一定程度时,地面对车的支持力为零?这时驾驶员与座椅之间的压力是多少…… 第一宇宙速度 此时:

你见过凹形桥吗? 泸定桥

当汽车通过桥最低点时的速度逐渐增大时 FN和FN′怎样变化? 拓展: 质量为m的汽车以恒定的速率v通过半径为r的凹形桥面,如图所示,求汽车在最低点时对桥面的压力是多大? FN 解:汽车通过底部时,受力如图: Ff 由牛顿第二定律: F G 超重 由牛顿第三定律： 当汽车通过桥最低点时的速度逐渐增大时 FN和FN′怎样变化?

比较三种桥面受力的情况 FN G FN G FN FN = G G

可能飞离路面的地段应是？ 练习1 一辆卡车在丘陵地匀速行驶,地形如图所示,由于轮胎太旧,途中爆胎,爆胎可能性最大的地段应是( ) 一辆卡车在丘陵地匀速行驶,地形如图所示,由于轮胎太旧,途中爆胎,爆胎可能性最大的地段应是( ) A. a处  B. b处   C. c处    D. d处 D a b c d 可能飞离路面的地段应是？

BC 练习2 如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是 ( ) 如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是 ( ) BC A.在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力 B.在竖直方向汽车只受两个力：重力和桥面的支持力 C.汽车对桥面的压力小于汽车的重力 D．汽车对桥面的压力大于汽车的重力

思考: 1.做圆周运动的物体一旦失去向心力的作用，它会怎样运动呢？ 2.如果物体受的合力不足以提供向心力，它会怎样运动呢？（即“供”<“需”） 汽车转弯为什么要减速?

合外力与向心力的关系——离心运动 做匀速圆周运动的物体,由于惯性总有沿切线方向飞去的倾向,在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下,做逐渐远离圆心的离心运动;当合外力大于物体做圆周运动所需的向心力时,物体做离圆心越来越近的向心运动;只有当合外力等于所需的向心力时,物体才可能做匀速圆周运动。 "供""需"是否平衡决定物体做何种运动 o F拉>mω2r F拉=0 F拉=mω2r F拉<mω2r

离心运动的应用和防止 (1)离心运动的应用 ①甩干雨伞上的水滴 ②链球运动 在雨天,我们可以通过旋转雨伞 的方法甩干雨伞上的水滴,旋转时,当转动快到一定的程度时,水滴和雨伞之间的附着力满足不了水滴做圆周运动所需的向心力,水滴就会做远离圆心的运动而被甩出去。 ②链球运动 在田径比赛中,链球项目就是得用离心现象来实现投掷的。链球的投掷是通过预摆和旋转来完成的,运动员手持链球链条的一端,在链球高速旋转时,突然松手,拉力消失,链就沿切线方向飞出去。

●离心运动的应用 离心甩干 离心抛掷 离心脱水 离心分离

(2)离心运动的防止 υ υ Ffmax<m r 汽车 Ff ② 高速转动的砂轮、飞轮等 ① 在水平公路上行驶的汽车转弯时 在水平公路上行驶的汽车,转弯时所需的向心力是由车轮与路面的静摩擦力提供的。如果转弯时速度过大,所需向心力F大于最大静摩擦力Ffmax,汽车将做离心运动而造成交通事故。因此,在公路弯道处,车辆行驶不允许超过规定的速度。 υ 2 υ Ffmax<m r 汽车 Ff ② 高速转动的砂轮、飞轮等 高速转动的砂轮、飞轮等,都不得超过允许的最大转速,如果转速过高,砂轮、飞轮内部分子间的作用力不足以提供所需的向心力时,离心运动会便它们破裂,甚至酿成事故。为了防止事故的发生,通常还要在砂轮和飞轮的外侧加装一个防护罩。

小结 供 需 “供”“需”是否平衡决定物体做何种运动 提供物体做圆周运动的力 物体做匀速圆周运动所需的力 Fn= 圆周运动 Fn< 离心运动 Fn> 向心运动

B C、作匀速圆周运动的物体，它自己会产生一个向心力，维持其作圆周运动 A、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失时，将沿圆周半径方向离开圆心 B、作匀速圆周运动的物体，在所受合外力突然消失时，将沿圆周切线方向离开圆心 D、作离心运动的物体，是因为受到离心力作用的缘故 练习1：下列说法正确的是 ( )

专题: 在竖直平面上做圆周运动的物体 实例1:细绳与球 如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动。 mg O (1)小球做的是什么运动？ (2)小球在运动过程中，受到哪些力？小球的运动过程有什么特点？ ⑶若小球通过最高点时，小球恰好不受绳的作用力，则小球在最高点的速度是多少？ (4)小球能在竖直平面内作圆周运动，必须满足的条件是什么？

如图所示，一质量为m的小球，在半径为R 光滑轨道上，使其在竖直面内作圆周运动。 实例2:轨道与球 如图所示，一质量为m的小球，在半径为R 光滑轨道上，使其在竖直面内作圆周运动。 mg O 轨道 (1)小球做的是什么运动？ (2)小球在运动过程中，受到哪些力？小球的运动过程有什么特点？ (3)若小球通过最高点时，小球恰好不受轨道的作用力，则小球在最高点的速度是多少？ (4)小球能在竖直平面内作圆周运动，必须满足的条件是什么？

小结1：没有支撑的物体在竖直平面内的圆周运动 —— (例：细绳拴小球，圆滑轨道上滑动的小球) mg O 轨道 mg O 绳 1、通过最高点的临界条件： 绳子或轨道对小球没有力的作用（即T=0） 故有重力提供向心力： 可以得到：

2、能通过最高点的条件： 3、不能通过最高点的条件： 实际上小球还不到最高点时就脱离了轨道。 当 时 绳（轨道）对小球产生一个 拉力（弹力） mg O 绳 mg O 轨道 2、能通过最高点的条件： 当 时 绳（轨道）对小球产生一个 拉力（弹力） 向下的 3、不能通过最高点的条件： 实际上小球还不到最高点时就脱离了轨道。

BCD 如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动．圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆轨．则其通过最高点时（ ） A．小球对圆环的压力大小等于mg B．小球的向心力等于重力 C．小球的线速度大小等于 D．小球的向心加速度大小等于g BCD

在竖直平面上做圆周运动的物体 实例3:轻杆与球 如图所示，一质量为m的小球，用长为L的轻杆固定住，使其在竖直面内作圆周运动。 mg O N (1)小球做什么运动？ （2）若小球通过最高点时，小球恰好不受杆的作用力，则小球在最高点的速度是多少？ (3)小球能在竖直平面内作圆周运动，必须满足的条件是什么？

如图所示，一质量为m的小球，放在一个内壁光滑的封闭管内，使其在竖直面内作圆周运动. 实例4:管道与球 如图所示，一质量为m的小球，放在一个内壁光滑的封闭管内，使其在竖直面内作圆周运动. mg O N (1)小球做什么运动？ R (2)若小球恰好能通过最高点，则小球在最高点的速度是多少？小球的受力情况如何？ (3)小球能在竖直平面内作圆周运动，必须满足的条件是什么？

——例：小球与杆相连，球在光滑封闭管中运动 小结2：支撑的物体在竖直平面内的圆周运动 ——例：小球与杆相连，球在光滑封闭管中运动 mg O N mg O N 杆 管道 1、通过最高点的临界条件： 由于支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度V临界=0，此时弹力等于重力

2、小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况： mg O N mg O N 杆 管道 2、小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况： A、当 时，杆对小球的支持力为零 B、当 时，杆对小球的力为 ，其大小随速度的增大而 ，方向 。 拉力 增大 指向圆心 C、当 时，杆对小球的支持力方向背离圆心（竖直向上），大小随速度的增大而减小，取值范围是：

[练习]:如图所示，轻杆的一端固定一质量为m的小球，并以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是： BC A、小球过最高点时的最小速度为 ； B、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零； C、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向 相反，此时重 力 一定大于杆对球的作用力； D、小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球所受重力方向相反。

竖直平面内的圆周运动——变速圆周运动 轻绳模型 轻杆模型 常见 类型 受力情况 重力、绳子拉力 重力、杆的拉力或支持力 最高点的 临界条件 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球

A O 例： 长为L的轻杆OA(不计质量),A端插个质量为m的物体,在竖直平面内绕O点做圆周运动,求 （1）当球达到最高点时杆的拉力等于重力，则此时小球的的速度v0 （2）如果小球经过最低点的速度为 ，则此时杆对小球作用力的大小及方向。 O A

例1： 如图所示，细绳一端系着质量为m的小球A静止在水平圆盘上，另一端通过光滑小孔吊着质量为M的物体B，A的球心与圆孔距离为L，已知球A与水平圆盘间的动摩擦因数为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使圆盘绕其中心轴O（圆孔）匀速转动，问角速度ω在什么范围B会处于静止状态。

变式1： 如图所示，细绳一端系着质量为m的小球A静止在水平圆盘上，另一端通过光滑小孔吊着一物体B，A的球心与圆孔距离为L，已知球A与水平圆盘间的动摩擦因数为μ，且假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现使圆盘绕其中心轴O（圆孔）一角速度ω匀速转动，要使小球A相对于圆盘静止，求物体B的质量M的取值范围。

变式2： 如图所示，一根水平轻质硬杆以恒定角速度绕竖直轴匀速转动，质量为m的小球能够沿杆无摩擦地运动，球与转轴之间用劲度系数为k的轻弹簧连接，已知弹簧原长为l0，求匀速转动时弹簧的长度L

例2： 如图所示，水平轨地面与半圆轨道相切与B点，已知该半圆轨道的半径为R，一小球从水平地面沿半圆轨道冲上最高点A后会重新落回水平地面上，假设再次着地点为C，则： （1）若小球在A点时对半圆轨道的压力为mg，求BC间的距离 （2）若BC=2R，求小球在最高点A时对半圆轨道的压力N。

变式： 如图所示，细绳一端系着质量为m的小球，另一端固定在长为H的杆顶端，现让小球绕杆以一定的角速度做匀速圆周运动，已知此时绳与杆的夹角为θ ，绳长为L。某时刻突然剪短细绳，此后小球会落向地面，求小球落地点与杆的水平距离。