大学物理实验绪论（一） 中国科技大学 天文与应用物理系 轩植华

介绍 独立课程，与课堂教学不同步。 由浅入深的四级课程体系。 时间：第4周到第16周，每周做一次实验。下午2：00-5：00 ；晚7：00-10：00。 必修课：成绩如果不及格，一年后重修。

注意事项 迟到15分钟以上不得做实验 ； 病假要有医院证明，事假要有系主任和教务处处长签字的假条。以后可另行补做。否则按旷课处理。 遇法定节假日和全校活动，跳过一次课，系级活动不得影响教学。

教学安排 第4,5周在多媒体教室大班上绪论课(请带教材）,以后到一教实验室做实验. 第6周做“随机误差统计规律”(p.62)、“单摆设计”(p.125)两个必做实验. 以后按课程表循环.少数实验为两人一组，其余为独立操作.(见大课表） 第16周期末总结考核（形式另定）.

在实验前写好预习报告（无预习报告不得做实验），课后完成报告，连同原始数据一起，在做新实验前交给老师。写明姓名学号,做实验的时间. 实验设备有编号，按分组顺序“对号入座”。否则操作分易错误. 报告上的记分为总分(预习,操作,结果,分析）.

怎样上好实验课 预习报告：名称、目的、原理（扼要-一张纸足以，主要公式、电（光）路图） （预习报告为正式报告的一部分） 原始数据：记录所使用的仪器。忠实记录测量数据，测量完毕后，请教师检查数据并签字。最后,将仪器摆放好. 实验报告：数据处理、测量结果及其不确定度，结果的正确表述，必要的图表、思考题、讨论等,不必再抄原始数据。

提交报告双轨制 1，手写板，在预习报告和原始数据基础上，完成计算、表述、答题、讨论等。下一周上课时交给任课老师。 2，提倡电子版。用WORD 文档。ORIGIN 软件作图和处理数据。“提交”然后“确定”，文字提示：提交成功。

测量的不确定度 等精度测量 A类不确定度 B类不确定度 展伸不确定度 间接测量的不确定度 研究不确定度的意义

物理量的测量 把待测物理量直接或间接地与一个被选做标准的同类物理量做比较。 测量结果应包括这种比较操作所得到的比值、单位，还应说明这一结果在什么范围内的置信概率。

读数的有效数字 一般情况下，估读最小刻度的若干分之一。 数字仪表，按仪器所显示的数字。

修约：四舍六入五凑偶 27页 加减乘除运算的有效数字

等精度测量 等精度测量：同一个人、用同一仪器、用同样的方法、在相同条件下多次测量同一 物理量（5同）。 实际上，事物总在不断变化，只要这种变化较小，不影响测量结果，就算等精度测量。 其它为不等精度测量。

传统的误差理论把误差分为系统误差和随机误差。但实际上，系统误差往往是未知的（一旦确知，则可以校正）。系统误差有时也可转换成随机误差。如某直尺的某一个或几个刻线不准。若固定用某一刻度起始测量，测量值有系统误差；而若从不同刻线起始做多次测量，则测量值又具有随机分布的性质。

测量不确定度定义为测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某一量值范围内的一个评定。测量结果及其不确定度表明被测量物理量在某测量值附近一定范围内的几率。这个范围称为置信区间，几率为置信概率。

不确定度理论摈弃了传统的“系统误差”和“随机误差”的分类方法，而是将不确定度按照测量数据的性质分类：能用概率统计处理的，称为A类不确定度，而不用统计规律处理的,统称为B类不确定度。测量不确定度的理论保留系统误差的概念.

不排除误差的概念。误差指 测量值与真值之间的偏离.但 “真值”是理想值,无法得到.只 有相对真值.多次测量的平均 值是一次测量的相对真值，高 准确度级仪器的测量值是低准 确度仪器的相对真值.

测量列：多次等精度测量，n次 无法判定哪一次更可靠； 可以预期它们的平均值最可靠； 当测量次数 n 趋于无穷时，只要能排除系统误差（如仪器或环境因素），其平均值就是被测物理量的“真值”。

D=12.345 mm A类不确定度 设想球磨机生产出一批钢球。用螺旋测微器测得一个球的一个直径值为 我们无法判断这个球“圆的程度”， 更无法判断这批球“圆的程度”以及它们大小的“均匀度”。

为此要采集多个样本 对于第一种情况，沿不同方向多次测量直径，求平均值,并研究各个测量值与平均值的离散性. 得到“圆的程度”. 对于第一种情况，沿不同方向多次测量直径，求平均值,并研究各个测量值与平均值的离散性. 得到“圆的程度”. 对于第二种情况，随机取若干钢球,分别测量它们的直径，求平均值,并研究各个测量值与平均值的离散性. “均匀度”.

测量列的期望值---平均值

如何评价该测量列中测量值的离散程度：测量列的标准差 贝赛尔公式

正态分布 当有大量的、彼此无关的等权重的次要因素随机地影响测量结果，而测量次数趋于无穷时，测量值与平均值之差成为连续型随机变量，其概率密度分布为正态分布：

正态分布特点 对称性：测量值比平均值大或小者几率相等 单峰性：测量值接近平均值的几率最大,与平均值相差越大者几率越小 有界性 归一化：曲线下面积为1

测量列标准差的统计学意义 标准差反映了测量值的离散程度 当测量次数足够大时（比如大于10次），测量列中任一测量值与平均值之差落在正负标准差范围内的概率为0.683. 落在2倍正负标准差内的概率为0.955. 落在3倍正负标准差内的概率为0.997.

测量列的平均值与测量次数有关，它的涨落随着次数增加而减小。平均值的标准差即测量列的A类标准不确定度为

待测物理量在 的概率为0.683; 在 的概率为0.955; 在 的概率为0.997. 不写明概率，应默认为0.95. 平均值标准差的统计意义 待测物理量在 的概率为0.683; 在 的概率为0.955; 在 的概率为0.997. 不写明概率，应默认为0.95.

数据的舍弃 在多次等精度测量中,如果有个别数据偏差很大,应慎重对待.往往新规律就孕育于 “异常”之中. 与测量列的平均值之差大于该测量列标准差的3倍,按高斯分布,其概率小于0.3%.对于有限次测量,可以判断为差错,予以剔除. 3 法则.

D=12.345mm

不确定度取两位有效数字,测量结果的末位与不确定度的末位对齐.

对钢球”圆的程度”的评价:其直径的相对偏差小于 0.02％ 的可能性超过(大于等于)95％. 或对这一批钢球”均匀度”的评价:其直径在 范围内的可能性超过95 ％.

其它分布 三角分布 均匀分布 学生分布 ( t 分布 ) 泊松分布

学生分布 高斯分布是无穷多次数测量的一种极限情况.有限次数时,成为学生分布. 曲线较平缓.

t因子 由于曲线平缓,要得到相同的置信概率,显然要在更大的不确定度范围.即要将高斯分布中得到的标准差乘以一个因子 t . 其大小与测量次数以及置信概率有关,见30页的表 当n=6~10次,要求P=0.68时, t ~ 1.1 ; 当要求 P=0.95时, t ~ 2.4 .

B类测量不确定度 （1）测量者估算产生的部分Δ估 （2）仪器的最大允差Δ仪 （3）B类分量的标准差

测量者估算产生的部分Δ估 对于刻度式仪表,测量估算的不确定度Δ估常常小于仪器最小刻度的一半；对于数字式仪表，如果数字稳定,没有估算不确定度;如果数字跳动变化, 记录其稳定表示的值. 估读到最小刻度的下一位。

仪器的最大允差Δ仪 Δ仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者自身可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。Δ仪可从仪器说明书中得到，它表征同一规格型号的合格产品，在正常使用条件下，可能产生的最大误差。一般而言，Δ仪为仪器最小刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很大）。（见第一册第26页）

不确定度与置信概率相联系,只取两为有效数字. 常用仪器的最大允差见26页表.从最小刻度的十分之一(钢板尺),到最小刻度的13倍(分析天平).须查看有关资料.一般而言,最大允差大于估算误差,为最小刻度的一半;数字仪表,为稳定显示值末位的半个单位. 有时估算误差会大于仪器误差. 不确定度与置信概率相联系,只取两为有效数字.

模拟（指针）电表的最大允差 量程乘级别的百分数。 例: 量程为100伏的一级电压表，测量一个电池的电动势为1.5V。仪表的不确定度为1.0V。 若量程为10伏，则降低到0.1V。

数字电表 仪器最大允差为读数乘级别的百分数，再加上最末位的若干单位。 例: 如某精度为1.0级的三位半电表，用100.0伏量程测量电池电动势，读数为1.5V.按其说明书,读数乘级别的1%,再加上末位的(譬如)5个单位。则测量结果的不确定度为(0.015+0.5)V=0.52V。 改用10.00V量程，则为（ 0.015+0.05）=0.065V。

第30届国际物理奥林匹克实验题中要测量一个摆杆的质心到一端的距离。将摆杆放到一个“⊥”型物上并使之平衡，测量支撑点到摆一端的距离。由于“⊥”型物棱宽为2mm ，摆杆在棱上移动±1mm均能保持平衡，使得一次测量的估算误差应为±1mm ，大于钢直尺的最大允差Δ仪=0.15mm 。 2 mm

用秒表测量时间,估算误差为0.2秒左右.在几十秒钟的时间段,远大于仪器的最大允差. 在暗室中做几何光学实验，进行长度测量时，长度的估算误差也可达±（1-2）mm 。 选二者中较大的为测量值的B类不确定度.

B类分量的标准差 用同一规格型号的不同仪器测量同一物理量，测量值可能不同。 这些测量值与标准值之差也是按一定概率分布的。

在相同条件下大批生产的产品，其质量指标一般服从正态分布。正态分布是连续型随机变量中最常用、最重要的分布。一般而言，如某个质量指标X是很多随机因素之和，而每种因素所起的作用均匀微小，则X为服从随机分布的变量。

例如，工厂大量生产某一量具，当设备、技术、原材料、工艺等可控制的生产条件都相对稳定，不存在系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布。

如果仪器的测量误差在最大允差范围内出现的概率都相等（如长度块规在一定温度范围内由于热胀冷缩导致的长度值变化），就为均匀分布。界于两种分布之间则可用三角分布来描述。

一次测量值的B类标准差为 其中C称为置信系数。在最大允差范围内，对于正态分布，C=√9 =3；对于三角分布，C= √6，对于均匀分布，C=√3。 难以确定时,常常按均匀分布处理。

多次测量中每一次测量都有B类不确定度，而其多次测量结果的离散性由A类不确定度来表示，它们都对测量结果的不确定度有贡献，所以要合成

将置信概率都是0.68的A类和B类标 准差合成得到置信概率P=0.68的合成标 准不确定度： 合成标准不确定度 将置信概率都是0.68的A类和B类标 准差合成得到置信概率P=0.68的合成标 准不确定度： P=0.68 若考虑到测量次数，还应t因子修正。

将合成标准不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的因子K，得到扩大了置信概率(通常为0 将合成标准不确定度乘以一个与一定置信概率相联系的因子K，得到扩大了置信概率(通常为0.95)的不确定度叫做展伸不确定度（或扩展不确定度）。取 K=2,用U表示。

对于置信概率为0.95时,A类不确定度要乘 t 因子(30页),B类不确定度要乘置信因子1.96(32页)

对置信概率为0.95，考虑到上述情况,展伸不确定度为 右下脚标表示置信概率.

考虑到通常测量6次左右,查阅t因子表(30页)， to. 95=2. 5, t/√6≈1, 32页表2 考虑到通常测量6次左右,查阅t因子表(30页)， to.95=2.5, t/√6≈1, 32页表2.1-3,对仪器质 量指标为正态分布,C=3, K≈k0.95=1.96, (K/C)2 ≈0.5。所以，置信概率P=0.95的展伸 不确定度的便于操作的公式为

在实际工作中，常常忽略不同分布的差别（有时也不知道是什么分布），而把ΔB 当成均匀分布，取置信因子C=√3。这样,K/C≈1,得到一种较为保守的公式 其置信概率记为P≥0.95。（第一册第37-39页的例2和例3）

测量结果的最后表达式 D=12.345mm, uA=0.003mm,

间接测量的不确定度 由若干直接测量结果按某种函数关系计算得到某物理量的数值.由于每个直接测量都有不确定度,它们必然会传递到最终结果. 如圆柱体的体积是间接测量量,由直径和高度的测量值计算得到.

不确定度的传递公式 间接测量量 其中 为相互独立的直接测量量

式中 为各个直接测量值具有相同置信概率的不确定度,这样合成间接测量值具有相同置信概率的不确定度(p.35表).

例题 测量圆柱体体积

不确定度传递公式35页 最大不确定度传递公式37页（粗略估算时，其置信概率为1） 在设计实验时，根据均分原理，用最大不确定度传递公式，计划选择仪器、方法和测量次数等

求间接测量结果不确定度操作 对函数求全微分或先取对数再求微分（乘除关系） 合并同类项 将微分符号改成不确定度符号 求平方和

例2 36页 例3 37页 例4 39页

39页例4的说明 电桥灵敏度：在电桥平衡条件下，若将待测电阻改变，使电桥平衡指示器（常常是检流计）偏转1格。这个改变量就是电桥灵敏度。单位为欧姆/格。它与桥臂的阻值有关. 人们对指针位置的判断有十分之一格的不确定性。

不确定度均分原理 间接测量最后结论的不确定度是其各个直接测量不确定度的合成. 在设计一个实验时,根据对测量结果不确定度的要求,按照均分原理,把它分解为各个直接测量不确定度的合成,通常是比较科学合理的。

例:测量一个圆柱体的体积 直径大约0.8厘米,长度3.2厘米,要求测量精度在0.5%以内.用算术合成来估算 例:测量一个圆柱体的体积 直径大约0.8厘米,长度3.2厘米,要求测量精度在0.5%以内.用算术合成来估算

量程25毫米螺旋测微器的最大允差0.004毫米,量程125毫米的游标卡尺的最大允差0.02毫米 须用螺旋测微器测量直径,但其量程不足以测量长度. 用游标卡尺测量长度.

用单摆法求重力加速度,公式的近似性,摆角,线长的变化,线的质量,空气阻力,振动衰减等影响 不确定度小于百分之一，如何设计 用单摆法求重力加速度,公式的近似性,摆角,线长的变化,线的质量,空气阻力,振动衰减等影响 不确定度小于百分之一，如何设计

根据均分原理选择测量摆线、球径以及摆动周期次数 实验后，用最大不确定度公式验算

研究不确定度的意义 科学地反映测量结果的数值和可靠程度. 根据对测量不确定度的要求,确定实验方案,选择仪器和环境. 努力找出和减小系统误差,提高实验精度. 历史上不乏通过对不确定度的研究,获得重大发现的例子.

谢谢

大学物理实验绪论(二) 中国科技大学 天文与应用物理系 轩植华

实验数据的处理 实验的安全及理论和技术方面的规范

实验数据处理 1列表法、作图法、逐差法和回归法。 许多函数计算器具有回归功能。应掌握这种方法。 误差杆的概念和应用 计算机处理 几种常用方法

列表法 记录相关数据最常见的方法.如，各种电阻温度计,热电偶温度计,都有温度以及电阻或温差电动势的标准表.第83页中水的密度与温度的关系表,等等。 记录原始数据也应养成好习惯,横平竖直. 次数 1 2 3 4 5 平均值 标准差 D/m H/m

逐差法 当自变量等间隔变化,两物理量之间又呈线性关系时,可用逐差法处理数据. 例:求弹簧的倔强系数. 次数 1 2 3 4 5 6 p/g l/mm

K=Δl/ΔP 若求每增加一个砝码引起弹簧长度变化的平均值,有

对照图,可见其不合理性,虚线只通过首尾两个点,失去多次测量意义

把数据前后分成两组,取其对应项相减,再求平均值.等权重地应用了每个数据.

这相当于过第1,4个数据点,第2,5个数据点和第3,6个数据点 ,分别求出3个斜率.最后取平均. 如果自变量非等权重,则这3个斜率对的平均值的贡献不同,就不能用逐差法.

作图法 直角坐标纸,对数、半对数和极坐标纸. 规格:20cm×25cm,最小刻度1mm,毫米下一位对应测量数据估读的那位. 名称,坐标轴代表的物理量及其单位. 用曲线或折线表明两种有关物理量之间的关系. 数据点:×,+等.

校准曲线:折线.横坐标为被校表读数,纵坐标为标准表读数减被校表读数. ΔV V

两种物理量之间的关系曲线 在多数情况下,在有限范围内，两物理量之间的关系应是渐变的.应当用光滑连续的曲线来拟合”数据点”,描述其关系. 拟合原则:使各个数据点到曲线的距离的平方和为最小,数学上称最小二乘法. 用云形规(曲线尺). 在一张纸上作多条曲线时,用不同标记,

图解法求实验参数 线性关系:用一条直线拟合所有数据点,求其斜率和截距.避免只用两组数据,解方程的方法。

非线性关系:曲线改直 探测线圈上的感应电压与屏蔽铝箔的厚度之间的关系,求衰减系数 非线性关系:曲线改直 探测线圈上的感应电压与屏蔽铝箔的厚度之间的关系,求衰减系数

在直角坐标纸上作lnV-d 图. 或在半对数纸上,作V-d图.要在对数轴上标记V. 这时求斜率要注意，用纵坐标的长度差除以横坐标的长度差.

幂函数

双曲线

二次函数

误差杆 如果在作图时用线段标示出测量值的不确定度±Δ仪，则将会更全面地反映出实验的精度。线段的长度为2Δ仪，这种小线段称为误差杆。

考虑到通常选比较容易测准的物理量作为自变量，常用横坐标表示之，且其Δ仪较小，所以在作图中往往只需沿纵坐标方向画出误差杆。

数据点的舍弃 如果绝大多数数据点可以拟合成一条直线（或曲线），只有一个点偏离甚远，就要考虑这一对测量值的可靠性了。严格地讲，应该重新测量。 但有时无法或没必要重做实验，可不可以舍弃这个点呢？

一般来说，在有限范围内，两个物理量之间的关系多为连续的；反映其关系的曲线不大可能有大的突然起伏。我们可以参照测量不确定度理论中剔除坏值的3σ原则来处理。如果该点到按其他点拟合的曲线的距离大于1.5倍误差杆的长度，且曲率变化不大时,可以考虑舍弃该点。

不画出误差杆就难以判断。要注意，曲线拟合是对多个数据点的统计学意义下的操作，若一共只有3、4个点，就不能草率地舍弃任何一个点了。

还要注意，各个数据点的误差杆 长度不一定相等。或者，对数据 做某种处理（如取对数）后，再 进行作图，误差杆的长度也会变 化。

譬如，某1. 0级的模拟电压表的量程为100伏，对于测量值为20. 0伏、30. 0伏、40. 0伏和 50 譬如，某1.0级的模拟电压表的量程为100伏，对于测量值为20.0伏、30.0伏、40.0伏和 50.0伏，它们的最大允差均为量程乘百分之一,±1.0伏。若纵坐标为电压，则误差杆的长度都是2×0.1伏.

若以电压值的对数为纵坐标，则误差杆的长度为2×ΔV/V=0.2/V，分子都相同,但分母是每次的测量值读数, 误差杆长度就不同了。

在作图中,画出误差杆,标明每一个数据点的合理范围,显现出科学负责的态度. 在科研中常常见到. 在第29届国际奥林匹克竞赛的评分标准中有此项.

作图法求解实验方程 若数据点可以拟合为一条直线，线性方程的一 般形式为

在所拟合的直线上，尽量远地选取两个点,求斜率 数据为 和 ,每次测量的最大允差 为 和 ， . 在所拟合的直线上，尽量远地选取两个点,求斜率

求所拟合直线的斜率m的相对不确定度

由仪器最大允差引起的方程斜率的相对不确定度,由于P,Q两点尽量远离,可看作首尾两个数据点

式中 分别为相应测量值最大允差的平方平均值 截距的不确定度为

用回归法求解实验方程 由概率论给出回归法线性拟合的斜率的标准差为 式中n 为X（或Y）的测量数据个数，r为相关系数。

截距的标准差为式 r 为相关系数,它反映数据拟合的 程度.可通过函数计算器很容易求 出.

强烈推荐使用计算器求解实验方程 当前市场上100元左右的函数计算器均有回归功能. MODE键,选择 显示屏上出现 LR 标记 Linear Regrssion

图解法和回归法所求解的方程参数的不确定度之比较 作图法的最大优点是直观。在诸多数据点的拟合中，如果发现有一个点明显偏离所拟合的曲线，就需要在这个点所处物理条件附近，再进行仔细的实验，查明是否是实验误差，还是有新的现象或规律。 所拟合曲线的曲率变化较大处,测量点要密集.因此,根据曲线有助于设计改进实验.

作图法需较长时间，曲线拟合过程中也会引入误差；求解实验方程参数及其不确定度比较麻烦。 用回归法只需按动计算器的几个键，就可以确定实验方程的参数及其不确定度。 但如果实验数据有误，或所拟合的方程形式不合适，则相关系数小，须重新检查数据或方程形式。由于不直观，难以断定问题之所在。

如果测量值中有一个“坏值”，由于 作图法能直观察觉，方便作出相应处 理（剔除坏值或重做实验）. 而回归法是则根据所有数据计算，个 别错误也会使得相关系数严重减小， 无法判断是整体线性不好，还是个别 数据出了差错。

两全的办法是先画出图来，直 观判断线性好坏。如果确定 线性关系，再用计算器按键 操作,很方便地求出线性方程 的斜率和截距以及它们的标 准差，不必按公式详细计算。

对于不是线性关系的物理规律，拟合曲线比较麻烦；由曲线求解实验方程的参数也比较困难。有时可以对物理量进行适当变换，按变换后的的物理量作图，把曲线改成直线，就方便处理了。现在，很多商品计算器对于线性、对数、指数以及幂函数关系都具有回归计算功能，只需按相应的键就可以拟合这些函数关系。实验数据处理方法也应“与时俱进”，充分享用新技术带给人类的方便。有必要让我们的学生掌握这些方法。

图解法和回归法求解实验方程所得参数不确定度的比较 图解法求斜率和截距,其线性拟合的程度由眼睛直观判断. P45页的不确定度公式中，只涉及测量的B类不确定度;至于这两个物理量是否线性关系,或线性程度如何,反倒反映不出来.

回归法只考虑这两个物理量是否某种函数关系(如线性),而不涉及每次测量的不确定度 回归法只考虑这两个物理量是否某种函数关系(如线性),而不涉及每次测量的不确定度.如果,测量数据与所拟合的函数关系符合得好，即相关系数接近于1,回归法所求得的结果的不确定度会比图解法要小.全面考虑,应取二者平方和.

测量不可能无限地准确:它受到仪器精度的限制,环境的影响,也有理论局限性或近似性的因素. 测量结果给出物理量在一定范围内的几率.所以不确定度只需两位有效数字. 对复杂情况,如求解实验方程参数的不确定度的置信概率,不做要求。

下周做两个小实验,要预习,写出预习报告 1,单摆法测量重力加速度(利用均分原理,确定仪器,测量次数) 随机测量误差的统计分布

若干安全问题 在确保断开电源情况下，连接线路，自检（或请老师检查）后，用跃接法，尝试接通电源，断定无异常情况，再正式接通电源。 市电220伏有危险，不得裸手接触导线、插头、插座的金属部分。 自耦调压器输出端尽管电压低，仍可能危险。

电热器、电烙铁、自耦调压器的使用 电表的正确摆放 接线 见规范的PPT