3.1 数列的概念

（一）引言：关于国际象棋的一段传说 国际象棋的棋盘上共有 8  8 = 64 个格子，关于国际象棋，有这样一个传说，国际象棋发明以后，当时的国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒，在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒，在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒，在第 4 个格子里放上 8 颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是难办到的事，就同意了他的要求. 究竟国王能不能满足发明者上述要求呢？今天暂不讨论. 我们先看各个格子里的麦粒数构成的一列数： 1 ，2 ，22 ，23 ，· · · ，263 .

（二）从实例引入 (1) . 右图中自上而下各 层的钢管数排列成一列数： 4，5，6，7，8，9，10 . (2) . 正整数 1 ，2， 3，4，· · · 的倒数 排列成一列数： （3）上面的引言中各个格子里的麦粒数按放置的 先后排成一列数： 1， 2， 22， 23， 24 ，· · ·， 263 . (4) 某班学生的学号由小到大排成一列数： 1， 2， 3， 4， · · · ， 50 .

(5 ). -1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，· · · 排列成一列数 . -1 ， 1 ， -1 ， 1 ，· · · . 数列分类 （6） 无穷多个 1 排列成一列数： 1 , 1 ， 1 ， 1 ， 1 ，· · · . (7 ) 从1984年到2000年，我国体育健儿共参加了五次奥运 会，获得的金牌数排成一列数： 15， 5， 16， 16， 28 . (8 ) 在 1 km 长的路段上，从起点开始，每隔 10 m 放一个 垃圾桶,，由近及远各筒与起点距离排成一列数： 0 ， 10 ， 20 ， 30 ， · · · ， 1000 . (9 ) 某种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年，剩 留的这种物质是原来的84%，设这种物质最初的质量是1，则 这种物质各年开始时的剩留量排成一列数： 1 ， 0. 84 ， 0. 84 2 ， 0. 84 3 ， 0. 84 4 ，· · · .

（三）数列的概念： 1 . 数列的定义： 定义：按一定次序排成的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第二项，第三项， · · · ，第 n 项， · · · . 2. 数列的一般形式： a 1 ，a 2 ，a 3 ，· · · ，a n ， · · · . 其中 a n 是数列的第 n 项，n 是 a n 这一项的序号. 这个数列也可以简记作 {a n } .

3. 数列的通项公式： 定义：如果数列 {a n } 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如果已知一个数列的通项公式，那么只要依次用1，2，3，· · · 代替公式中的 n，就可以求出这个数列的各项 .

4 . 数列与函数的关系： 对于数列(3)，各项的序号与这一项有下面的对应关系： 序号 1 2 3 4 · · · 64 项 1 2 22 23 · · · 263 · · · 数列可以看作是一个序号的集合到另一个数 的集合的映射，也就是说，数列可以看作是一个 定义域为正整数集 N* ( 或它的有限子集 {1，2， 3，· · · ，n} ) 的函数当自变量从小到大依次取值 时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是 相应函数的解析式.

5. 数列的图形表示： 数列可以用直角坐标系中的点来表示，为方便，有时在 x 轴和 y 轴上的长度单位可以不同. 以下分别是数列（1）和数列（3）的图形表示. 它们都是一些孤立的点.

定义：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列 . （1）按项数分： 有穷数列和无穷数列. （2）按相邻两项的大小分： 6. 数列的分类： 定义：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列 . （1）按项数分： 有穷数列和无穷数列. （2）按相邻两项的大小分： 递增数列， 递减数列，常数列， 摆动数列 . （3）按 a n 的取值范围分： 有界数列（存在 M > 0，使得对任意 n  N*，都有 | a n | < M）和无界数列（不存在这样的正数 M, 使得 对任意 n  N*，都有 | a n | < M） 观察数列

例 1 根据下面数列的通项公式，写出它的前 5 项： 例 2 写出下面数列的一个通项公式，使它的 前 4 项分别是下列各数： （1） 1，3，5，7 ；

注： （1）不是所有的数列都有通项公式. （2）在例 2 中，以所给的四个数为前四项的数列有无穷 多 个，你只要求出一个就可以. 以例 2 第（1）小题为例，我们说，以 1，3，5，7 为前 4 项的数列有无穷多个，事实上，我们可以写出一个以 1，3，5， 7 为前 4 项的数列的通项公式： 仔细算一下，当 m 依次取所有正整数的时候，由 a n 是 不是可以确定无数个数列呢？这些数列的前 4 项，是不是都 是 1，3，5，7 呢（实际上 m 取任何实数都是可以的）？