+ = §6-4 用叠加法求弯曲变形 P1 P2 P2 P1 1、叠加法（superposition method）的基本概念 §6-4 用叠加法求弯曲变形 1、叠加法（superposition method）的基本概念 对于线性系统，各变量是关于系统的线性函数。 则其解可以线性叠加。 如果方程 和 均为线性 则： A B P1 P2 A B P2 A B P1 + =

2、叠加法求弯曲变形 基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superposition method）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。 当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。

例1 求梁的挠度和转角，yc,A。 a P = q a A B q C 解： = a A B q C + a A B C P

B A 组合方法一：增减载荷法 例2 求图示悬臂梁的 yc A B C C C （1） C B （2）

组合方法二：逐段刚化法 方法： 将杆件系统分解为n段，分n次变形。假设每次只有一段变形，其它段均作为刚性处理（可以使用刚性体的力学原理），然后进行叠加，求得变形量。

= + 例3 求图示悬臂梁的 yc 先假设 BC 段刚性，只有 AB 段变形 牵带位移 再考虑 BC 段的变形 ( AB 段刚性 ) A B

先取微分长度，形成微集中力dP=qdx，代换后知： B A P 组合方法三：等价积分法 例4 求图示悬臂梁的 yc A B C 先取微分长度，形成微集中力dP=qdx，代换后知： C x dx 积分

组合方法四：等价悬臂梁法(仅适合简支梁受到对称荷载) 例5 求图示简支梁的yC 解： A P A B C EI 2EI 由于对称：梁在C点的转角为0，可以视为一悬臂梁在C点固定，在A点受集中力作用。 A点所产生的位移恰好与C点的位移数值相同。 P A B C

+ = 注意：一般已经给出悬臂梁法受集中力(力偶)作用所产生的位移和转角，即： P A A A M M=a*P/2 a a a A B A

= + = + P/2 P P/2 P P/2 P/2 组合方法五：利用对称性(仅适合求简支梁中点位移) 从数学知识，任何实矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵之和的形式: [ F ]= [ F ]symm + [ F ]antisymm, 对于轴对称的结构,力也可以同样分解. 例如 P/2 P P/2 A B = A B + 例6：已知悬臂梁受集中力作用所产生的端部位移和转角。求图示梁在中点的挠度，fc a A B P a/2 C A B P/2 P/2 = +

B A P B C D 在对称力P/2和支座反力P/2作用下，中截面的的挠度fc可以用端部的挠度fB表示

§6-5 简单的静不定梁 与杆件静不定问题的解题方法类似，除了平衡方程外，还需要建立变形协调方程（compatibility equation）,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutive equations）。 解静不定梁基本步骤： 1、选定并解除冗余约束，代之以多余约束反力，形成基本静定基。（注意：基本静定基的形式并不唯一。） 2、建立平衡方程 3、针对原冗余约束条件，建立变形协调方程 4、按照弯曲变形的公式建立物理方程 5、联立求解平衡方程、物理方程和变形协调方程。解得多余约束反力

已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、长度为l。 例8 已知：A端固定、B端铰支梁的弯曲刚度为EI、长度为l。 B A l q 求: 梁的约束力

B MA YA XA YB A l q 解：1、平衡方程: XA=0 YA+YB - ql=0

= + q 2、变形协调方程： l yB=yB(q)+yB(FBy)=0 q 3、物理方程： l yB(q)=ql4/（8EI） MA YA XA YB A l q 2、变形协调方程： yB=yB(q)+yB(FBy)=0 = yB(q) B l q 3、物理方程： yB(q)=ql4/（8EI） yB(FBy)= - Ybl 3 /（3EI） + l yB(YB) B YB A

由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出: XA=0 , YA =5ql /8 , B MA YA XA YB A l q 解：4、综合求解 XA=0 YA+YB - ql=0 yB=yB(q)+yB(YB)=0 yB(q)=ql4/（8EI） yB(YB)= - Ybl 3 /（3EI） 由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出: XA=0 , YA =5ql /8 , YB =3ql /8 , MA= ql 2/8

§6-6 提高弯曲刚度的一些措施 强度：正应力： 剪应力： 刚度： 稳定性： 都与内力和截面性质有关。

英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 一、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比 R b h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为 请记住：当梁上下对称时， 强度与抗弯截面模量Wz相关；刚度与惯性矩Iz相关。

1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 例如：以圆形截面为基准，在面积相等的情况下，比较其它截面 z D 对于正方形 z a

圆环形截面 矩形截面 z D 0.8D a1 2a1 z

框形截面 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 工字形截面与框形截面类似。

显然：工字形、槽形截面比矩形截面合理， 矩形截面比圆形截面合理。

2、根据材料特性选择截面 对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面

二、采用变截面梁 最好是等强度梁，即 若为等强度矩形截面，则高为： P x 同时 在工程应用中则广泛采用变截面梁，如：在机械工厂中，行车多采用鱼腹梁形状。

三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小 P L/2 M x + PL/4 M x 3PL/16 P L/4 3L/4 M x qL2/10 P=qL L/5 4L/5 对称

M x q L 40 2 qL 50 - M x L/5 q 32 2 qL - M x q L/2

四、防止薄壁梁的侧向屈曲 1.矩形纯弯梁的临界载荷 L M x y z

2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷 L M x y z h 由上可见，I y过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。

五、选用高强度材料，提高许用应力值 同类材料，如钢材“E”值相差不多，“s”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！

 刚度设计举例 对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足弯曲刚度设计准则(criterion for stiffness design)： 上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。

解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。 已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20 kN，a＝l m，l＝2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ =0.5°。 B 试：根据刚度要求确定该轴的直径d。 解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。

由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为 2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求

2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求， B 2．根据刚度设计准则确定轴的直径根据设计要求， 其中，的单位为rad（弧度），而θ的单位为（°）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

作业 6-18(a), 6-21，6-24

本章结束