3.4空间杆系有限元法 空间杆系有限元法也称空间桁架位移法。 空间杆系有限元法是计算精度最高的一种方法，适用于各种类型、各种平面形状、不同边界条件的网架，静力荷载、地震作用、温度应力等工况均可计算。 能考虑网架与下部支承结构的共同工作 。 计算程序见下表。

网架杆件 节点位移 单元刚度矩阵 总刚度矩阵 总刚度方程 节点位移值 杆件内力 基本未知量 基本单元 单元刚度矩阵 节点平衡及变形协调条件 总刚度矩阵 总刚度方程 引入边界条件 节点位移值 单元内力与节点位移间关系 杆件内力

3.4.1网架计算基本假定 网架的节点为空间铰接节点，杆件只承受轴力； 结构材料为完全弹性，在荷载作用下网架变形很小，符合小变形理论。 奥运会场馆 鸟巢

局部直角坐标下 3.4.2单元刚度矩阵 图3.24 ij杆的杆端轴力和位移 一等截面空间桁架杆件ij如图所示，设局部直角坐标系为 ， 轴与ij杆平行。 局部直角坐标下 图3.24 ij杆的杆端轴力和位移

杆端力向量为： 杆端位移向量为： 杆端力和位移的关系可写为

坐标转换 整体坐标 结构分析中为方便杆端力和位移的叠加，应采用统一坐标系，即结构整体坐标xyz。这样需对局部坐标系下的单元刚度矩阵进行坐标转换。 图3.25 杆件在整体坐标中

奥运会场所 设杆件ij （即 轴）与整体坐标x，y，z轴夹角的余弦分别为l，m，n。由图25所示的几何关系可以得出 式中lij——ij杆的长度 奥运会场所

令 分别表示杆件ij在整体坐标系中的节点力，节点位移和单元刚度矩阵。 两坐标系之间的转换关系为

式中[T]——坐标转换矩阵 坐标轴的旋转变换和几何关系可导出： 并注意到[T]-1=[T]T，得到整体坐标下ij杆节点力和位移的关系为：

得到杆件ij在整体坐标系中的单刚矩阵 ：

3.4.3结构总刚度矩阵及总刚度方程 建立了杆件单元刚度矩阵之后，即可按照变形协调及节点内外力平衡条件建立结构的总刚度矩阵及相应的总刚度方程。 对公式变换为：

{Fi} ，{Fj}——分别为杆件ij在整体坐标系下i，j点的杆端力列阵； {δi}，{δj}——分别为杆件ij在整体坐标系下i，j点的位移列阵； [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在i端，j端发生单位位移时，在i端，j端产生的内力； [Kij]，[Kjj]——分别为杆件ij在j端，i端发生单位位移时，在i端，j端产生的内力。

以图26所示的空间桁架节点 3 为例，说明总刚矩阵及总刚方程的建立。该桁架共有9个单元，5个节点，单元及节点编号如图示。相交于节点3的杆件有⑥⑦⑧⑨。 图3.26 单元及节点编号

变形协调条件为连于同一节点上的杆端位移相等 ，即： 内外力平衡条件为汇交于同一节点的杆端内力之和等于该节点上的外荷载，即： 连于节点3的杆端力与各节点位移关系为：

整理得： 上式就是节点3得内外力平衡方程，对网架中得所有节点，逐点列出平衡方程，联立起来便为结构踪刚度方程，表达式为： 对于本例，总刚度矩阵中的第7行至第9行的元素表示如下：

总刚矩阵具有下列特点： 矩阵具有对称性，计算时不必将所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。 矩阵具有稀疏性。 网架结构每一节点所连杆件数量有限，总刚矩阵中除主对角及其附近元素为非零元素外，其余均为零元素。 非零元素集中在主对角线两旁的带状区域内，计算机存贮时，按一维变带宽存放，可有效节省计算机容量，带宽大小与网架节点编号有关，进行网架节点编号时，应尽可能使各相关节点号差值缩小。

位移为零 处理方法 3.4.4总刚矩阵中边界条件的处理方法 未引入边界条件前，总刚矩阵[K]是奇异的，不能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移后，总刚矩阵为正定矩阵。 位移为零 弹性约束 指定位移 处理方法

3.4.5网架的边界条件及对称性利用 (1)对称性利用 当网架结构(包括支座)和外荷载有n个对称面时，可利用对称条件只分析网架的1／2n。 计算时，对称面内各杆件的截面积应取原截面面积的一半，n个对称面交线上的中心竖杆，其截面面积应取原截面面积的1／2n。

对称面内节点荷载亦应按相同原则取值。在对称荷载作用下，对称面内网架节点的反对称位移为零，计算时应在相应方向予以约束。 与对称面相交的杆件，分析时可将该交点作为一个节点，并在三个方向予以约束。 交叉腹杆或人字形腹杆的交叉点，位于对称面时，亦应作为一个节点，并在两个水平方向予以约束。 在反对称荷载作用下，对称面内网架节点的对称位移应取为零。

(2)边界条件 有限元计算中，边界条件将对网架结构内力及变形产生较大影响。 网架支承处的边界条件既和支座节点构造有关，也和支承结构的刚度有关，支座可以是无侧移、单向可侧移和双向可侧移的铰接支座，支承结构(柱、梁等)可以是刚性或弹性的。 当支承结构刚度很大可忽略其变形时，边界条件完全取决于支座构造。

无侧移铰接支座，支承节点在竖向，边界线切线和法向都无位移。 单向可侧移支座，竖向和边界切线方向位移为零，而边界法向为自由。 双向可侧移的铰接支座，只有竖向位移为零，两个水平方向都为自由。 在网架的四角处，至少一个角上的支座必须是无侧移的，相邻的两角可以是单向可侧移的，相对的角可以是双向可侧移的。 这种做法既防止网架的刚体移动，又提供了不少于6根的约束链杆数。在工程实践中，如果温度应力不大，也可考虑四角都用无侧移铰支座。

当网架支承在独立柱上时，由于它的弯曲刚度不是很大，在采用无侧移铰支座时除竖向仍然看作无位移外，两个水平方向应看成弹性支承，支承的弹簧刚度由悬臂柱的挠度公式得出： Ec——支承柱的材料弹性模量； Icy、Icx——分别为支承柱绕截面y、x轴的截面惯性矩； H——支承悬臂柱长度。

(3)斜边界处理 斜边界是指与整体坐标斜交的方向有约束的边界。 建筑平面为圆形或多边形的网架会存在斜边界(图3.27a)。 矩形平面网架利用对称性时，对称面也存在斜边界(图3.27b，c)。 图3.27 网架的斜边界约束

斜边界有两种处理方法，一种是根据边界点的位移约束情况设置具有一定截面积的附加杆，如节点沿边界法线方向位移为零，则该方向设一刚度很大的附加杆，截面积A=106~108(图3.27b)；如该节点沿边界法线方向为弹性约束，则调节附加杆的截面积，使之满足弹性约束条件。这种处理方法有时会使刚度矩阵病态。 另一种方法是对斜边界上的节点位移做坐标变换(图3.27c)，将在整体坐标下的节点位移向量变换到任意的斜方向，然后按一般边界条件处理。

引入边界条件后，求解公式，得出各节点的位移值，由公式和公式可得出ij杆端内力为 3.4.6 杆件内力 引入边界条件后，求解公式，得出各节点的位移值，由公式和公式可得出ij杆端内力为 将公式展开并代入公式整理可得杆件内力表达式为 式中 N——杆件轴力，以拉为正。

3.4.7 空间杆系有限元法计算步骤 (1)根据网架结构、荷载对称性选取计算简图，并对其节点和杆件进行编号，为减小总刚矩阵带宽，节点编号应遵循相邻节点号差最小的原则。 (2)计算杆件单元长度及杆件与整体坐标轴夹角余弦； (3)初选各杆的截面积； (4)建立局部和整体坐标系下的单元刚度矩阵；

(5)集合总刚矩阵，为减小矩阵容量，宜采用变带宽一维存贮方式； (6)建立荷载列阵； (7)引入边界条件对总刚度方程进行处理； (8)求解总刚度方程，得出各节点位移值； (9)根据节点位移计算杆件内力； (10)按杆件内力调整杆件截面，并重新计算，迭代次数宜不超过4～5次。