正交试验设计（2） ——混合设计 林 松 毅

3.正交表 3.1正交表——正交拉丁方的自然推广 ①将上述用正交拉丁方安排的4因素3水平的试验,编上试验号,列成另外一种形式,即表11-5所示的形式,就成为1张正交表L9(34) (表11-6)。可以由此得到系列正交表(orthogonal table)。

②正交表与正交拉丁方的关系: 　　a.正交表是正交拉丁方的自然推广,但并不都是由正交拉丁方转变而来的。在拉丁方的安排中行数与列数相等组成正方形,即试验次数一定等于正整数的平方,(但并不是每个正整数都有正交拉丁方,如6×6的正交拉丁方就不存在),而正交表却不一定,试验次数并非都是正整数的平方。 　　b.正交表还能考察互作效应,而用拉丁方安排试验通常只能考察主效应。

3.2正交表的表示符号 　　①正交表记号所表示的含义归纳如下: 　　　　　　Ln(tq) 式中：L为正交表符号,是Latin的第一个字母； n为试验次数,即正交表行数; t为因素的水平数;即1列中出现不同数字的个数; q为最多能安排的因素数,即正交表的列数。 　　②正交表中1列可以安排1个因素,因此它可安排的因素数可以小于或等于q,但不能大于q。 　　③括号内的tq表示q个因素、每个因素t个水平全面试验的水平组合数(即处理数)。因为安排因素个数不能大于q,所以n/ tq为最小部分实施。

显然,L4(23)是最简单的正交表,有4列3行用它最多能安排3个2水平因素的试验。部分试验为4次,全面试验为8次,最小部分实施为1/2,即用它安排试验可比全面试验少做1/2。 所以,当试验因素数Q及每个因素的水平数t增加时,n/tq则下降,节省试验次数的效果更明显。 ④一般非等水平正交表也称为混合型正交表:P14

3.3常用正交表的分类及特点 凡是标准表,水平数都相等。且水平数只能取素数或素数幂(完全由拉丁方而来)。因此有7水平,9水平的标准表,没有6水平,8水平的标准表。

3.4正交表的基本性质 (1)正交性。正交表的正交性就是均衡分布的数学思想在正交表中的实际体现。正交性的主要内容是: ①任何1列中各水平都出现,且出现次数相等。 ②任意2列间各种不同水平的所有可能组合都出现,且出现的次数相等。 上述正交性的2条内容,是判断一个正交表是否具有正交性的条件。由上述分析可断定L8(27)正交表具有正交性。p536

由正交表的正交性可以看出: ①正交表各列的地位是平等的,表中各列之间可以互相置换,称为列间置换; ②正交表各行之间也可相互置换,称行间置换; ③正交表中同一列的水平数字也可以相互置换,称水平置换。 上述3种置换即正交表的3种初等置换。经过初等置换所能得到的一切正交表,称为原正交表的同构表或等价表,显然,实际应用时,可以根据不同需要进行变换。

(2)均衡分散性。 ①任一列的各水平都出现,使得部分试验中包含所有因素的所有水平。 ②任意2列间的所有组合全部出现,使任意两因素间都是全面试验。因此,在部分试验中,所有因素的所有水平信息及两两因素间的所有组合信息都无一遗漏。这样,虽然安排的是部分试验,却能够了解全面试验的情况,从这个意义上讲可以代表全面试验。 另外,因为正交性,使部分试验点必然均衡地分布在全面试验的试验点中。如图11-2正交试验点的代表性立体方块图所有9个面上,每个面上均有3个试验点;所有24条棱线,每条线上均有1个试验点,所有的9个试验点不偏不倚,具有很强的代表性。因此,部分试验的优化结果与全面试验的优化结果,应有一致的趋势。

(3)综合可比性。 ①任一列各水平出现的次数都相等。 ②任2列间所有可能的组合出现的次数都相等。 因此使任一因素各水平的试验条件相同。这就保证了在每列因素各个水平的效果中,最大限度地排除其他因素的干扰,突出本列因素的作用,从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。 正交表的3个基本性质中,正交性即均衡性是核心,是基础,代表性和综合可比性是正交性的必然结果,从而使正交表得以具体应用。

4.正交试验设计的基本步骤 正交试验设计(简称正交设计)的基本程序是设计试验方案和处理试验结果两大部分。主要步骤可归纳如下: 　第一步,明确试验目的,确定考核指标。 　第二步,确定需要考察的因素,选取适当的水平。 　第三步,选择合适的正交表。 　第四步,进行表头设计。 　第五步,确定试验方案。 　第六步,试验结果分析。

4.1明确试验目的,确定考核指标 试验目的,就是通过正交试验要想解决什么问题。考核指标,就是用来衡量或考核试验效果的质量指标。试验指标一经确定,就应当把衡量和评定指标的原则、标准,测定试验指标的方法及所用的仪器等确定下来。这本身就是一项细致而复杂的研究工作。 4.2挑因素,选水平 影响指标者称为因素.因素在试验中变化的各种状态,称为水平。因素的变化引起指标的变化,正交试验法适用于试验中能人为加以控制和调节的因素——可控因素。

4.3选择合适的正交表 总原则:能容纳所有考察因素,又使试验号最小。 一般有这样几条规则: (1)先看水平数。根据水平数选用相应的水平的正交表。 (2)其次看试验要求。如只考察主效应,则可选择较小的表,只要所有因素均能顺序上列即可。如果还需考察交互效应,那么就要选用较大的表,而且各因素的排列不能任意上列,要按照各种能考察交互作用的表头设计来安排因素。

4.3选择合适的正交表 (3)再看允许做试验的正交表的次数和有无重点因素要考察。如只允许做9次试验,而考察因素只有3一4个,则用3水平的L9(34)表来安排试验。若有重点因素要详细考察则可选用水平数不等的正交表如L8(4x24)等,将重点因素多取几个水平加以详细考察。 ①要求精度高,可选较大的n值的L表。 ②切不可遗漏重要因素,所以可倾向于多考察些因素。 ③可以先用水平数少的正交表作试验,找出重要因素后,对少数重要因素再作有交互作用的细致考察。

4.4进行表头设计 　所谓表头设计,就是将试验因素安排到所选正交表的各列中去的过程。 (1)只考察主效应,不考察交互效应据正交表的基本特性,正交表中每一列的位置是一样的,可以任意变换。因此,不考察交互效应的表头设计非常简单,将所有因素任意上列即可。 　(2)考察交互作用的表头设计在表头设计时,各因素及各交互作用不能任意安排,必须严格按交互作用列表进行配列。这是有交互作用正交设计的重要特点,也是试验方案设计的关键一步。

最后还须指出,没有安排因素或交互作用的列称为空列,它可反映试验误差并以此作为衡量试验因素产生的效应是否可靠的标志。因此,在试验条件允许的情况下,一般都应该设置空列,以此来衡量试验的可靠程度。

4.5排出试验方案 在表头设计的基础上,将所选正交表中各列的不同数字换成对应因素的相应水平,便形成了试验方案。 试验方案中的试验号并不意味着实际进行试验的顺序,一般是同时进行。若条件只允许一个一个进行试验,为排除外界干扰,应使试验序号随机化,即采用抽签或查随机数字表的方法确定试验顺序。因为正交表的每一行是等价的,可任意进行行间置换。 另外,安排试验方案时还应将部分因素的水平随机化。如果各因素的水平均按由小到大(或由大到小)排列编号,那么,所有的1水平都要碰在一起。这从附录中L表可以看得很清楚:几乎所有表中的第一行全是1水平。有时这种各因素的最小值水平(或最大值水平)都碰在一起的情况并无实际意义。所以最好是将部分因素的水平随机化,即用抽签办法决定水平的编号,而不是按大小顺序来排列水平。这样可进一步促进正交试验的均衡分散。因为正交表特性中:正交表中同一列的水平数字可以进行置换。

例题1 【例11-2】鸭肉保鲜天然复合剂的筛选。虽然有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果,但是大部分有机酸及盐类属于合成的化学药剂,在卫生安全上得不到保证,并且不符合满足消费者纯天然、无污染的要求。试验以茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分,分别添加不同的增效剂、被膜剂和不同的浸泡时间,进行了4因素、4水平的正交试验。

设计步骤 ①明确目的,确定指标:本例明显是一个食品加工工艺的研究试验,目的是通过试验,寻求一个最佳的鸭肉天然复合保鲜剂。 ②挑因素,选水平:根据专业知识及本试验前面的结论,并根据正交试验的特点,选定了4因素、每个因素4水平的正交试验,列因素水平如表11-ll所示:

③选择正交表:此为4水平因素,因此选用4水平表;本试验不考虑交互作用,一共有4个因素,要占4列,因此选Ll6(45)最合适,并且有1个空列,可以作为试验误差以衡量试验的可靠性。 ④作表头设计:不考虑交互作用,所以因素可以占任意列。 ⑤排出试验方案:将各考察因素每列中的数字换成相应的水平的实际数值。排成表11-12。 从而得出试验的16个处理,即:123 3,241 2,343 4,421 1,131 4,213 1,311 3,433 2,114 2,232 3.334 1,412 4,1421,224 4,322 2,444 3。

5.有交互作用的正交试验设计 5.1 交互作用 多因素试验时常常碰到交互作用的问题。交互作用是指因素间的联 合搭配对试验指标的影响作用 , 它是试验设计中的一个重要概念. 事实上 , 因素之间总是存在着或大或小的交互作用 , 它反映了因素之间互相促进或互相抑制的作用 , 这是客观存在的普遍现象。

在常用正交表中,有些只能考察因素的主效应,不能用来考察因素间交互效应,但有些正交表则能够分析因素间的交互效应。 由于多因素试验的因素间总是存在着交互作用,对考察指标的影响往往不是各因子单独效应的简单相加,而是由各因素的单独作用和因素间联合作用(互作)共同影响的结果,它反映了因素之间互相促进或互相抑制,这是客观存在的普遍现象。 因此,在某些设计中就应考虑因素间交互作用的问题。

在试验设计中 , 交互作用记作 A × B 、 A × B × C 、… 。 A × B × C 称为二级交互作 用 , 表明因素 A 、 B 、 C 间有交互作用。同样地 , 若ρ +1 个因素间有交互作用 , 就称为p级交互作用 , 记作p+1 个(A × B × C ×…)。 二级和二级以上的交互作用统称为高级交互作用 。

在试验设计中 , 交互作用一律当作因素看待 , 这是处理交互作用问题 的一条总的原则 。 作为因素,各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上;它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚,而且计算非常简便。 但交互作用又与因素不同,表现在: 　　①用于考察交互作用的列不影响试验方案及实施。 　　②一个交互作用并不一定只占正交表的一列,而是占有(b一1)p列。 因此,在作表头设计时,交互作用所占正交表的列数与因素水平数b有关、与交互作用级数p有关,而且b越大、p越大,交互作用所占用的列数就越多。

例如: 对于一个25因素试验,作表头设计时,如果要考察因素间的所有各级交互作用,那么,连同因素本身。总计应占有的列数为: 　　　　　C51十C52+ C53十C54+ C55=31 那么必选L32(231)不可,而25试验的全面试验次数为32。所以多因素试验中要考虑所有各项交互作用的话,所用正交表的试验号将等于全面试验的次数,这显然是不可取的。 在满足试验要求的条件下,如何突出正交设计可以大量减少试验次数的优点,有选择地合理考察交互作用是应当妥善处理的问题。但它并不是一个纯粹的数字,而是一个需要综合考察试验目的、专业知识、以往研究经验以及现有试验条件等多方面情况的复杂问题。

一般的有交互作用处理原则是: 　　①高级交互作用通常不予考虑。实际上高级交互作用的影响一般都很小,可以忽略。因此, 一般后3项全部可以略去,此时实际占有正交表的列数仅为 　　　C51十C52=15 　　　 　　②试验设计时,因素间一级交互作用也不必全部考察(尤其是根据专业知识知道两因素间没有交互作用或者交互作用不大时),通常仅考虑那些作用效果较明显的,或试验要求必须考察的。上述的25试验中,如果仅考察1一2个1级交互作用,那么选用L8(27)即可,实际的部分实施等于1/4,减少了大量的试验次数。 　　③允许的情况下尽量选用二水平表,以减少交互作用所占列数。若因素必须多选水平时,也可以设法将一张多水平表化为2张或多张2水平正交表来完成试验。

5.2 正交表交互作用列

5.3 有交互作用正交试验方案设计 有交互作用正交试验方案设计的主要步骤： （1）选取合适的正交表。 选表时一定要把交互作用看成因素 , 同试验因素一并加以考虑。如为四因素时，A × B 和 A × C 需各占 1 列 , 连同 4 个试验因素 , 总计需占正交表 6 列。显然 , 选 L8(27) 正交表最合适。

5.3 有交互作用正交试验方案设计 （2）表头设计。 表头设计时各因素及交互作用不能任意安排 , 必须严格按交互列表进行配列。这是有交互作用的正交设计的一个重要特点 , 也是其试验方 案设计的关键一步。每张标准正交表都附有一张交互列表 , 用来安排交互作用 , 见附录 一。 从附录一的 (2) 中可以查到 L8(27) 正交表的交互列表。表中所有数字都是正交表的列号 , 括号内的数字表示各因素所占的列 , 任意两个括号列纵横所交的数字表示这两个括号列所表示的因素的交互作用列。 由 L8(27)的交互列表可知 , 若将某一因素安排在第 2 列 , 另一因素安排在 第 4 列 , 则这两个因素的交互作用列为第 6 列 , 即应把这两个因素的交互作用当作一个因素安排在第 6 列。 这样就可以把试验因素及所要考察 的交互作用安排到正交表相应的列中进行表头设计。

5.3 有交互作用正交试验方案设计 一般表头设计的具体做法是 : 先将因素 A 、 B 分别安 排在第 1、2列； 再按 L8(27) 正交表的交互列表将 A × B 排在第 3 列; 然后将因素 C 安排在第 4 列； 则 A × C 应安排在第 5 列； 最后将不涉及交互作用的因素D排在第 7 列。 没有安排因素或交互作用的列称为空列 , 本例中第 6 列即为空列 , 它用于估计试验误差 ( 实际上是模型误差 , 见第 三章 ) 。这样就完成了表头设计。

5.3 有交互作用正交试验方案设计 （3）编制试验方案 表头设计完成后 , 将正交表安排有因素的各列中的不同数字换成对应因素的相应水平 , 即构成试验方案。 安排考察交互作用的各列对试验 方案及试验的具体实施不产生任何影响。 为了便于试验的顺利实施 , 通常单独列出试验方案 。

6.混合正交表试验设计 在多因素试验中 , 常常会遇到试验因素水平数不相等的情况。 试验因素中 , 有的因素的水平个数自然形成 , 只有确定的个数 , 不能任意选取 ; 有的因素由于受某种条件的限制 , 不能多取水平 ; 有的因素是试验重点考 察的因素 , 需多取水平 , 有的是非重点考察的因素 , 则一般少取水平。这 样就使试验因素间水平数不相等 。 遇到这类问题 ,如果因素间无交互作用, 通常可直接选用混合型正交 表进行正交设计。

【例 1-4 】为了减少玉米收获机械的收获损失 , 对其摘穗装置进行 试验研究。选定的因素水平如表 1-15 所示 , 交互作用均不考察。试验指标为玉米损失率 , 当然越小越好。 本例是 4 × 23 因素试验 ,A 是重点考察的四水平因素 , 显然选用混合 表 L8(4 × 24) 较合适。但若 A 为三水平因素 , 似乎应选 L12(3× 24) 混合 表 , 这样 , 虽然重点考察因素的水平少了 1 个 , 但试验次数增加 4 次。显 然 A 因素为 4 水平时更为有利。

7.改造正交表试验设计 7.1并列法 将 b 水平正交表的任意两列合并 , 同时划去相应的交互作用列 , 排 成一个 b2 水平的新列 , 这种方法称为并列法。 如表 1-19 所示 , 在 L8(27) 正交表中将 1、2 两列合并 , 给每种组合一个新的水平数字： (1,1) → 1,(1,2) → 2,(2,1) → 3,(2,2) → 4, 构成一个四水平的新列 ; 同时按照交 互列表把 1、2 列的交互作用列第 3 列划去 , 就并列成 L8(4 × 24) 正交表。 显然 , 新的正交表具有正交性。

7.2 部分追加法 在试验中, 将某一因素再添加若干个水平 , 追加几个试验点 , 以便更全面地考察该因素的作用 , 这种方法称为部分追加法 , 简称追加法。 有时, 在用正交设计做了一批试验之后, 发现某一因素对指标的影响特别重 要或者有某种明显的趋势, 需要对这个因素作进一步的考察 , 可采用追加法 ; 有时 , 一些多因素试验仅一个因素水平较多而其余因素水平都较少 ,如 3 × 26 、5 × 22 、4 × 33等因素试验,为了减少试验次数,也可采用追加法。 追加法实际上是利用正交性将若干小号数的正交表合并成一个大号数的正交表的设计方法 ,它既能满足试验进行过程中的实际需要, 又能解 决不等水平的因素试验 ,大大减少了试验次数。

作业1和2

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