第六章 位移法 一 位移法的基本思路与基本未知量的数目 二 位移法典型方程 三 对称性的利用 四 力矩分配法基本概念

一 位移法的基本思路与基本未知量的数目 1. 基本思路 应用位移法计算超静定结构是基于如下的基本假设： 一 位移法的基本思路与基本未知量的数目 1. 基本思路 应用位移法计算超静定结构是基于如下的基本假设： 结构中各杆端之间的距离在变形后仍保持不变，称为轴向刚度条件。 根据这个条件，通常可略去杆件的轴向变形和剪切变形，仅考虑其弯曲变形，且变形是微小的。

在荷载作用下，刚架发生图示虚线所示变形，由基本假设结点B与A、C两点之间的距离保持不变，故结点B无线位移仅有转角φB，于是可把刚结点B看成发生了转角φB的固定端。

原结构的变形情况与两个B端都固支且发生了转角 φB的单跨超静定梁相当。如果φB 的大小已知，则这两个单跨超静定梁的反力和内力均可用力法按支座移动时进行计算，因而原结构的反力和内力也随之确定，这就是位移法的基本思路。

2. 基本未知量的数目 例如图（a）所示刚架，在荷载作用下发生图中虚线所示变形，结点B不仅发生转角φB ，而且产生水平位移Δ。按位移法基本思路，原结构可视为图（b）和（c）所示两个单跨超静定梁，故该结构的基本未知量是刚结点B的转角φB 和水平位移Δ。 （a） （b） （c）

①附加刚臂（以符号▽表示），其作用仅阻止结点转动，不阻止移动； ②附加链杆（以符号Ο—Ο表示），其作用仅阻止结点移动，不阻止转动。 两种附加约束： ①附加刚臂（以符号▽表示），其作用仅阻止结点转动，不阻止移动； ②附加链杆（以符号Ο—Ο表示），其作用仅阻止结点移动，不阻止转动。

因原结构的结点B既有转动又有移动，要使它成为固定端，须在其上同时附加刚臂和附加链杆，称为原结构的位移法基本结构。将荷载作用于基本结构上，并迫使附加刚臂和附加链杆分别发生与原结构相同的转角φB和线位移Δ 。这样一来，基本结构的受力和变形情况与原结构的情况完全相同。

结构的基本未知量数目=结点独立位移的数目 =附加约束的数目 附加约束的数目=附加刚臂数+附加链杆数 附加刚臂数=结点独立角位移数目=刚结点的数目; 附加链杆数=结点独立线位移数目。? 基本假设的推论：在结构中两个已知不动点所引出的两受弯直杆相交结点也是不动的. 附加链杆数的确定可依此结论来确定。

确定附加链杆数的另一方法 先将原结构的刚结点改为铰结点，固定端支座改为固定铰支座;再对所得铰结链杆体系作几何组成分析，如果它是几何可变的或是瞬变体系，则加入附加链杆使之成为几何不变的体系，所需附加链杆的最少数目即为原结构的独立结点线位移数。

例如图示刚架，改为铰结链杆体系后成为具有一个自由度的几何可变体系,需加入一根附加链杆，如加在F处（也可加在D处），便成了几何不变体系。

3. 等直单跨超静定梁的转角位移方程 　①两端固定的等直截面梁

设支座转动和移动时的杆端弯矩 、 和杆端剪力 设荷载单独作用时的固端弯矩 、 和固端剪力

杆端位移和杆端内力的正负号规定： （1）杆端转角φA、 φB以顺时针方向转动为正，ΔAB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。 （2）杆端弯矩MAB（ , ）, MBA（ , ） 对杆端以顺时针方向为正（对支座或结点则以逆时针 方向为正）。 （3）杆端剪力 FQAB（ , ）, FQBA（ , ） 的正向规定同前。

令 ，即单位杆长的弯曲刚度，称为杆的线刚度，

②一端固定另一端铰支的等直梁，其转角位移方程 由此解得

式中 　为这种梁的固端弯矩． ③一端固定另一端定向支承的等直梁

由此解得 式中

由荷载引起的单跨超静定梁的固端力--- 载常数

由杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力-- 形常数 A B A A B A AB A B A B B A A B A B AB B A B

二 位移法典型方程

在刚结点1处加入一个附加刚臂，在铰结点2处加入一根 附加链杆，得到其基本结构如图所示。

基本结构的变形和受力情况与原结构的对比： 从变形看 刚结点1不能转动、铰结点2不能移动 刚结点1能转动、铰结点2能移动 从受力看 刚臂产生附加反力矩、链杆产生附加反力 刚结点1处无附加反力矩、铰结点1处无附加反力 　　消除差异的办法是强令基本结构的附加刚臂转动一 个与原结构相同的转角Z1；附加链杆发生一个与原结构 相同的线位移Z2。

　　设由单位转角 　、单位线位移 　和荷载FP作用于基本结构上，所引起附加刚臂上的反力矩分别为r11、r12和R1P；所引起附加链杆上的反力分别为r21、r22和R2P． Z1=1 ― Z２=1

基本未知量Z1、Z2应满足的位移法典型方程。 式中，rii(i=1,2,…,n)为主系数或主反力。 rij(i≠j)为副系数或副反力，有rij=rji 。 RiP(i=1,2,…,n)称为自由项。

由刚结点1的力矩平衡方程 ，分别求得 由刚架上部的力的投影平衡方程 ，分别求得

联立求解，得 结构的最后弯矩图，按式 绘出。 作出M图后，由平衡方程求出杆端剪力和轴力，最后绘FQ图和FN图。

例1: 用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数. MP图 取结点考虑平衡

图 4i 8i 2i 8i 4i 2i 图 4i 8i 4i 4i 4i 8i

位移法典型方程： 最终内力： 请自行作出最终M图

例2: 用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. E=常数. R1P ql2/8 R2P 3ql/8

取结点和横梁为隔离体，即可求得全部系数 请自行列方程、求解并叠加作弯矩图 6i 4i 2i 3i/l 6i/l 4i 6i r11 r21 = r12 6i/l 6i/l r12 = r21 r22 3i/l2 12i/l2 请自行列方程、求解并叠加作弯矩图

例3: 试作图示结构的弯矩图.

请自行列方程、求解并叠加作弯矩图

例4: 试作图示结构的弯矩图.

请自行列方程、求解并叠加作弯矩图

ki=Σ 12EIj/h3, kii、kii+1 =多少？ 已知楼层第j个柱子的抗侧移刚度为12EIj/h3,那么图示层侧移刚度ki等于多少？ ki=Σ 12EIj/h3, kii、kii+1 =多少？ n层刚架结构刚度矩阵[K]什么样？

例5:用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. EI=常数. 4m

例6:图示刚架,支座A下沉 ,EI=常数,作其弯矩图. M1图 M⊿图 M图

例7:图示等截面连续梁,B支座下沉 ,C支座下沉 0.6 .EI=常数,作弯矩图. 请自行求解！

例8: 刚架温度变化如图,试作其弯矩图. EI =常数,截面为矩形,高为h,线胀系数α. 利用对称性后,B点有没有位移? A点线位移已知否? 4 m B 利用对称性后,B点有没有位移? A点线位移已知否? 取半结构未知位移数等于几? 请自行求解！

三 对称性的利用 同力法一样,用位移法计算对称结构时，也可以利用对称性用“半刚架法” 来简化计算。 三 对称性的利用 同力法一样,用位移法计算对称结构时，也可以利用对称性用“半刚架法” 来简化计算。 例1: 用位移法计算图示刚架,并作弯矩图. EI=常数.

联合法 3 m 6 kN/m 3I 正对称荷载组 用位移法求解 3 m 6 kN/m 3I 反对称荷载组 用力法求解

力法与位移法比较 A B C FP 忽略轴向变形 X1 A B C FP X2 以力为未知量 以位移条件为方程 FP 以位移为未知量 力法基本体系 A B C FP X2 以力为未知量 以位移条件为方程 FP 以位移为未知量 以力的条件为方程 B C FP A B C A B （1）直接平衡法 逐杆求杆端力 位移法基本体系 （2）典型方程法 直接求方程系数

力法、位移法对比 力法 位移法 基本未知量：多余力 基本未知量：结点独立位 基本结构：一般为静定结 移 构，能求M 的超静定结构也 可。 作单位和外因内力图 由内力图自乘、互乘求系 数，主系数恒正。 建立力法方程（协调） 解方程求多余力 迭加作内力图 用变形条件进行校核 位移法 基本未知量：结点独立位 移 基本结构：无位移超静定 次数更高的结构 作单位和外因内力图 由内力图的结点、隔离体 平衡求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡） 解方程求独立结点位移 迭加作内力图 用平衡条件进行校核

课堂练习: 图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q, 集中力FP ,力偶M .如何求解? Δ FP

四. 力矩分配法基本概念 B C A 200kN 20kN/m 3m 6m EI B C A

B C A

B C A 0.429 0.571 分配系数 B C A 固端弯矩 –150 150 – 90 分配力矩 –34.3 –25.7 –17.2 /传递力矩 杆端弯矩 –167.2 115.7 –115.7

使杆端产生单位转角时在转动端需要施加的力矩。 转动刚度S： 使杆端产生单位转角时在转动端需要施加的力矩。 传递系数C： 当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。 1 A B 1 A B

A B 1 A B 1

分配系数 A MAB M MAC MAD A A D B C M

多结点力矩分配法 A B C D B C A B C D A B C D

A B C D A B C D A B C D

100kN A B C D 6m 4m EI 2EI 20kN/m 例 0.4 0.6 0.667 0.333 分配系数 -60 60 -100 100 固端弯矩 -33.3 -66.7 -33.4 分配力矩 /传递力矩 29.4 44.0 22.0 14.7 -14.7 -7.3 4.4 2.9 2.2 1.5 -1.5 -0.7 0.3 0.4 0.2 -43.6 92.6 -92.6 41.3 -41.3 杆端弯矩

0.4 0.6 0.667 0.333 分配系数 -60 60 -100 100 固端弯矩 -33.3 -66.7 -33.4 分配力矩 /传递力矩 29.4 44.0 22.0 14.7 -14.7 -7.3 4.4 2.9 2.2 1.5 -1.5 -0.7 0.3 0.4 0.2 -43.6 92.6 -92.6 41.3 -41.3 杆端弯矩 43.6 92.6 200 41.3 A B C D 90 M图 （kN·m）