圆的综合复习 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 1

学习目标 1.了解圆的性质及概念. 2.借助图形的直观性，利用圆的有关性质，探索圆与其它图形的关系，提高综合运用知识解决问题的能力。 3.在学习圆的内容时，要透过现象，深刻理解其中蕴含的数学思想方法，解决圆有关的问题时，要注意分类讨论思想、转化思想、方程思想等的运用，在运用中加深理解 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 2

学习重、难点 重点：圆的有关性质，直线与圆，圆与圆的重要位置关系以及圆的有关计算问题 难点： 圆与方程、函数、三角形、相似形等知识的综合应用有关的综合性问题。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 3

知识回顾 一、知识结构 弧、弦与圆心角 圆的基 圆周角及其与同弧上圆心角 本性质 圆的对称性 点与圆的位置关系 圆 切线 与圆有 的 关的位 切线长 与圆有 关的位 置关系 圆 直线与圆的位置关系 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 圆与圆的位置关系 扇形面积、弧长 圆锥的侧面积和全面积 圆中的计算 4

二、主要定理 （一）、相等的圆心角、等弧、等弦 之间的关系及垂径定理 （二）、圆周角定理 （三）、与圆有关的位置关系的判别定理 （一）、相等的圆心角、等弧、等弦 之间的关系及垂径定理 （二）、圆周角定理 （三）、与圆有关的位置关系的判别定理 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com （四）、切线的性质与判别 （五）、切线长定理 5

三、基本图形（重要结论） 辅助线一 O P A B ┓ 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 O P A B ┓ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 6

. 辅助线二 C ┓ A B O 在遇到与直径有关的问题时，应考虑作出直径或直径所对的圆周角。这也是圆中的另一 种辅助线添法。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 7

. 辅助线三 ┓ 当遇到已知切线和切点时，要注意连接圆心和切点，以便得到直角去帮助解题。 O A 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 8

a+b-c r = ———— R= — 直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 c 等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法 重要结论： 特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法： 直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 A B C a b c r = ———— a+b-c 2 R= — c 2 O 等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法 I A B C 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 基本思路： 构造直角三角形 BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。 O R r D 9

典型例题 1.已知，如图，AB为⊙O的直径，AB=AC,BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E, ∠BAC=45°。给出下面五个结论： ① ∠EBC=22.5 °；②BD=DC； ③AE=2EC；④ 劣弧AE是劣弧DE的2倍 ；⑤DE=DC。其中正确的是 ＿＿＿＿＿＿(填序号) . A B C D E O ①②④⑤ 析：本题主要是应用辅助线二，作出直径所对的圆周角。连接ＡＤ、ＢＥ。则　∠ＢＥＡ与∠ＡＤＢ均为９０°，求出各角，得解。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 10

典型例题 B ︵ ２．在同圆中,若AB=2CD， 则弦AB与2CD的大小关系是（ ） A.AB＞2CD B.AB＜2CD ︵　 B A.AB＞2CD B.AB＜2CD C.AB=2CD D.不能确定 分析:我们可取AB的中点M,则AM=BM=CD,弧相等则弦相等,在△AMB中AM+BM＞AB,即2CD ＞AB. ︵ D C B A O M 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 11

. 典型例题 3.已知, ΔABC内接于⊙O, AD⊥BC于D,AC=4,AB=6, AD=3,求⊙O的直径。 Ｄ B C A .O ┓ . Ｅ 证明:作⊙O的直径AE,连接BE,则∠C= ∠ E, ∠ ADC= ∠ ABE, ∴ △ ABE∽ △ ADC, ∴AD/AB=AC/AE, 即AE=AB×AC/AD=8, ∴ ⊙O的直径为8 分析:解决此类问题时,我们通常作出直径以及它所对的圆周角,证明ΔABE∽ΔADC. ┓ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 12

典型例题 A F C E B D G 4.已知，如图，AB是⊙O的直径，C为AE 的中点，CD⊥AB于D，交AE于F。求证：AF=CF ⌒ A F C E B D 证明一：连接AC、BC 证明二：延长CD交⊙O于G 分析:要正线段相等,通常是证明两角相等或三角形全等。该题是证两角相等。 ∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA， 又CD⊥AB ∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠ACD=∠CBA=∠CAF，AF=CF ︵ AB是⊙O的直径， CD⊥AB，∴AG=AC=CE， ∴∠CAE= ∠ GCA，∴CF=AF ︵ G 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 若该点位N，你能证明AF=FN吗？ 13

小试牛刀 1.已知, 三角形ABC中,点O为一定点. ∠ BOC=100° . 问题一:当点O为△ABC的内心时， ∠A=＿＿＿＿＿＿＿ 20° 问题二:当点O为△ABC的外心时， ∠A=＿＿＿＿＿＿＿ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 50°或130° 14

小试牛刀 2.已知，如图，OA、OB为⊙O的两条半径，且OA⊥OB，C是AB的中点，过C作CD∥OA，交AB于D，求AD的度数。 ⌒ B D 分析：求弧AD的度数，即求它所对的圆心角的度数。因此连接OD，延长DC交OB与E，可∠EDO=∠DOA=30°，所以弧AD为30° E 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 15

. 小试牛刀 3、已知,ΔABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AC +AB=12, AD=3, 设⊙O的半径为y,AB为x，求y与x的关系式。 Ｄ . 分析：类似于例题，只要正△ABE与△ ADC相似即可。 答案： (3＜x ＜9) 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com E 相信你一定能解对！ 16

典型例题 5.两个圆的半径的比为2:3 ,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是 ＿＿＿＿＿ 分析:可根据两圆内切时d=R-r,求出半径,当两圆相交时R-r<d<R+r, 据此可求得结果. 解：设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x 依题意得：3x-2x=8，解得：x=8 ∴ R=24 cm，r=16cm ∵ 两圆相交，∴R-r<d<R+r ∴ 8cm <d< 40cm 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 17

典型例题 6.如图，从⊙O外一点引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若PA=8㎝，C为AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PDF的周长为 ＿＿＿＿＿ ︵ 16 ㎝ O B A D P E C 解：∵PA、PB、DE 为的切线，切点为A、B、C，则PA=PB；DA=DC；EC=EB。 ∴ △PDE的周长=PA+PB=16 ㎝ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 18

典型例题 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°若以C为圆心、r为半径画⊙C.若AC=3，BC=4,试问： ⑴当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相切？ ⑵当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相交？ ⑶当r满足什么条件时，则⊙C与直线AB相离？ A C B ┓ 略解：d=CH=2.4 H ┓ (1).d=2.4=r 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com (2).r＞2.4 (3).0＜r＜2.4 19

典型例题 8. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E.求证：DE为⊙O的切线。 O D E B A C . 证明： ∵OD=OB，AB=AC则∠B= ∠ C= ∠ BDO，∴OD∥AC， 又∵ DE⊥AC， ∴OD ⊥DE，所以DE为⊙O的切线 1 3 2 4 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 20

小试牛刀 4.已知：如图， AB、AC与⊙O相切于点B、C，∠A=50°，P为⊙O上异于B、C的一个动点，则∠BPC 的度数为 （ ） D A.40 ° B.65 ° C.115 ° D.65 °或115 ° 分析：在解决此问题时,应注意点P为一动点,它可能在劣弧BC上,也可能在优弧上,但万变不离其中,应用辅助线三,连接OB、OC得直角,即可求解。 P O B A C . P 115° 65° 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 21

小试牛刀 5.如图所示, ⊙A、 ⊙ B 、⊙ C、 ⊙ D、 ⊙ E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，求图中五个扇形（阴影部分）的面积之和。 点拨:化 整为零、化分散为集中的整体策略是解题的重要方法。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com π 分析：因为五个圆时等圆，所以根据扇形面积计算公式得： S= = ×（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）=1.5 ∠A ∠B ＋ · ∠E ∠D ∠C 22

9： 如图，已知⊙O的弦 AB所对的圆心角等于140o，则弦AB所对的圆周角的度数为__________. 典型例题 9： 如图，已知⊙O的弦 AB所对的圆心角等于140o，则弦AB所对的圆周角的度数为__________. 70o或110o 错解: 70 ° C 错因:忽视了弦所对的圆周角有两类。. 正解：当圆周角在优弧上时，圆周角为140 °的一半70°；当圆周角在劣弧上时，则与70°互补，为110°。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com C’ 23

典型例题 10、如图,以O为圆心的两同心圆的半径分别是11cm和9cm,若⊙P与这两个圆都相切, 则这个圆的半径为＿＿＿＿＿＿ 错因：忽视了和两圆都是内切关系的情况。 正解：先考虑夹在圆环内的小圆半径为1cm，再看和中间小圆内切的圆半径为4.5cm。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 24

小试牛刀 6、在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度. 分析: 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图(1)和(2) 图(1)中 OC=120∴CD=80(mm) 图(2)中 OC=120 ∴CD=OC+OD=320(mm) 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 25

典型例题 11.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=AB=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。 （只要画出图形，并 直接写出扇形半径） 分类讨论的思想 A 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com C B 26

典型例题 分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都在三角形边上，相切的情况有两种 （1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切） （2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边和一斜边相切） 并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形） （1）与一直角边相切可如图(1)所示 （2）与一斜边相切如图(2)所示 （3）与两直角边相切如图(3)所示 （4）与一直角边和一斜边相切如图(4)所示 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 27

解：可以设计如下图四种方案： r1=4 r2=2 r3=2 r4=4 -4 (1) (3) (2) (4) 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 28

典型例题 圆的实际应用 12、一圆弧形桥拱，水面AB宽32米，当水面上升4米后水面CD宽24米，此时上游洪水以每小时0.25米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？ 此题实际是应用了转化的思想，把实际问题转化为圆的问题求解 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 29

解：过圆心O作OE⊥AB于E，延长后交 CD于F，交弧CD于H，设OE=x，连结OB，OD，由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 ∴ X2+162=(x+4)2+122 ∴X=12 ∴OB=20 ∴FH=4 4÷0.25=16（小时） 答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 30

谢谢大家！ 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 31