圆的综合复习 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 1.

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学习目标 1.了解圆的性质及概念. 2.借助图形的直观性,利用圆的有关性质,探索圆与其它图形的关系,提高综合运用知识解决问题的能力。 3.在学习圆的内容时,要透过现象,深刻理解其中蕴含的数学思想方法,解决圆有关的问题时,要注意分类讨论思想、转化思想、方程思想等的运用,在运用中加深理解 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 2

学习重、难点 重点:圆的有关性质,直线与圆,圆与圆的重要位置关系以及圆的有关计算问题 难点: 圆与方程、函数、三角形、相似形等知识的综合应用有关的综合性问题。 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 3

知识回顾 一、知识结构 弧、弦与圆心角 圆的基 圆周角及其与同弧上圆心角 本性质 圆的对称性 点与圆的位置关系 圆 切线 与圆有 的 关的位 切线长 与圆有 关的位 置关系 圆 直线与圆的位置关系 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 圆与圆的位置关系 扇形面积、弧长 圆锥的侧面积和全面积 圆中的计算 4

二、主要定理 (一)、相等的圆心角、等弧、等弦 之间的关系及垂径定理 (二)、圆周角定理 (三)、与圆有关的位置关系的判别定理 (一)、相等的圆心角、等弧、等弦 之间的关系及垂径定理 (二)、圆周角定理 (三)、与圆有关的位置关系的判别定理 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com (四)、切线的性质与判别 (五)、切线长定理 5

三、基本图形(重要结论) 辅助线一 O P A B ┓ 关于弦的问题,常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。 O P A B ┓ 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 6

. 辅助线二 C ┓ A B O 在遇到与直径有关的问题时,应考虑作出直径或直径所对的圆周角。这也是圆中的另一 种辅助线添法。 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 7

. 辅助线三 ┓ 当遇到已知切线和切点时,要注意连接圆心和切点,以便得到直角去帮助解题。 O A 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 8

a+b-c r = ———— R= — 直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 c 等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法 重要结论: 特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法: 直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 A B C a b c r = ———— a+b-c 2 R= — c 2 O 等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法 I A B C 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 基本思路: 构造直角三角形 BOD,BO为外接圆半径,DO为内切圆半径。 O R r D 9

典型例题 1.已知,如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E, ∠BAC=45°。给出下面五个结论: ① ∠EBC=22.5 °;②BD=DC; ③AE=2EC;④ 劣弧AE是劣弧DE的2倍 ;⑤DE=DC。其中正确的是 ______(填序号) . A B C D E O ①②④⑤ 析:本题主要是应用辅助线二,作出直径所对的圆周角。连接AD、BE。则 ∠BEA与∠ADB均为90°,求出各角,得解。 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 10

典型例题 B ︵ 2.在同圆中,若AB=2CD, 则弦AB与2CD的大小关系是( ) A.AB>2CD B.AB<2CD ︵  B A.AB>2CD B.AB<2CD C.AB=2CD D.不能确定 分析:我们可取AB的中点M,则AM=BM=CD,弧相等则弦相等,在△AMB中AM+BM>AB,即2CD >AB. ︵ D C B A O M 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 11

. 典型例题 3.已知, ΔABC内接于⊙O, AD⊥BC于D,AC=4,AB=6, AD=3,求⊙O的直径。 D B C A .O ┓ . E 证明:作⊙O的直径AE,连接BE,则∠C= ∠ E, ∠ ADC= ∠ ABE, ∴ △ ABE∽ △ ADC, ∴AD/AB=AC/AE, 即AE=AB×AC/AD=8, ∴ ⊙O的直径为8 分析:解决此类问题时,我们通常作出直径以及它所对的圆周角,证明ΔABE∽ΔADC. ┓ 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 12

典型例题 A F C E B D G 4.已知,如图,AB是⊙O的直径,C为AE 的中点,CD⊥AB于D,交AE于F。求证:AF=CF ⌒ A F C E B D 证明一:连接AC、BC 证明二:延长CD交⊙O于G 分析:要正线段相等,通常是证明两角相等或三角形全等。该题是证两角相等。 ∵AC=CE∴∠CAE=∠CBA, 又CD⊥AB ∴∠ACB=∠CDB=90°,∴∠ACD=∠CBA=∠CAF,AF=CF ︵ AB是⊙O的直径, CD⊥AB,∴AG=AC=CE, ∴∠CAE= ∠ GCA,∴CF=AF ︵ G 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 若该点位N,你能证明AF=FN吗? 13

小试牛刀 1.已知, 三角形ABC中,点O为一定点. ∠ BOC=100° . 问题一:当点O为△ABC的内心时, ∠A=_______ 20° 问题二:当点O为△ABC的外心时, ∠A=_______ 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 50°或130° 14

小试牛刀 2.已知,如图,OA、OB为⊙O的两条半径,且OA⊥OB,C是AB的中点,过C作CD∥OA,交AB于D,求AD的度数。 ⌒ B D 分析:求弧AD的度数,即求它所对的圆心角的度数。因此连接OD,延长DC交OB与E,可∠EDO=∠DOA=30°,所以弧AD为30° E 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 15

. 小试牛刀 3、已知,ΔABC内接于⊙O,AD⊥BC于D,AC +AB=12, AD=3, 设⊙O的半径为y,AB为x,求y与x的关系式。 D . 分析:类似于例题,只要正△ABE与△ ADC相似即可。 答案: (3<x <9) 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com E 相信你一定能解对! 16

典型例题 5.两个圆的半径的比为2:3 ,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值 范围是 _____ 分析:可根据两圆内切时d=R-r,求出半径,当两圆相交时R-r<d<R+r, 据此可求得结果. 解:设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x 依题意得:3x-2x=8,解得:x=8 ∴ R=24 cm,r=16cm ∵ 两圆相交,∴R-r<d<R+r ∴ 8cm <d< 40cm 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 17

典型例题 6.如图,从⊙O外一点引圆的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,若PA=8㎝,C为AB上的一个动点(不与A、B两点重合),过点C作⊙O的切线,分别交PA、PB于点D、E,则△PDF的周长为 _____ ︵ 16 ㎝ O B A D P E C 解:∵PA、PB、DE 为的切线,切点为A、B、C,则PA=PB;DA=DC;EC=EB。 ∴ △PDE的周长=PA+PB=16 ㎝ 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 18

典型例题 7. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°若以C为圆心、r为半径画⊙C.若AC=3,BC=4,试问: ⑴当r满足什么条件时,则⊙C与直线AB相切? ⑵当r满足什么条件时,则⊙C与直线AB相交? ⑶当r满足什么条件时,则⊙C与直线AB相离? A C B ┓ 略解:d=CH=2.4 H ┓ (1).d=2.4=r 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com (2).r>2.4 (3).0<r<2.4 19

典型例题 8. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.求证:DE为⊙O的切线。 O D E B A C . 证明: ∵OD=OB,AB=AC则∠B= ∠ C= ∠ BDO,∴OD∥AC, 又∵ DE⊥AC, ∴OD ⊥DE,所以DE为⊙O的切线 1 3 2 4 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 20

小试牛刀 4.已知:如图, AB、AC与⊙O相切于点B、C,∠A=50°,P为⊙O上异于B、C的一个动点,则∠BPC 的度数为 ( ) D A.40 ° B.65 ° C.115 ° D.65 °或115 ° 分析:在解决此问题时,应注意点P为一动点,它可能在劣弧BC上,也可能在优弧上,但万变不离其中,应用辅助线三,连接OB、OC得直角,即可求解。 P O B A C . P 115° 65° 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 21

小试牛刀 5.如图所示, ⊙A、 ⊙ B 、⊙ C、 ⊙ D、 ⊙ E相互外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,求图中五个扇形(阴影部分)的面积之和。 点拨:化 整为零、化分散为集中的整体策略是解题的重要方法。 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com π 分析:因为五个圆时等圆,所以根据扇形面积计算公式得: S= = ×(∠A+∠B+∠C+∠D+∠E)=1.5 ∠A ∠B + · ∠E ∠D ∠C 22

9: 如图,已知⊙O的弦 AB所对的圆心角等于140o,则弦AB所对的圆周角的度数为__________. 典型例题 9: 如图,已知⊙O的弦 AB所对的圆心角等于140o,则弦AB所对的圆周角的度数为__________. 70o或110o 错解: 70 ° C 错因:忽视了弦所对的圆周角有两类。. 正解:当圆周角在优弧上时,圆周角为140 °的一半70°;当圆周角在劣弧上时,则与70°互补,为110°。 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com C’ 23

典型例题 10、如图,以O为圆心的两同心圆的半径分别是11cm和9cm,若⊙P与这两个圆都相切, 则这个圆的半径为______ 错因:忽视了和两圆都是内切关系的情况。 正解:先考虑夹在圆环内的小圆半径为1cm,再看和中间小圆内切的圆半径为4.5cm。 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 24

小试牛刀 6、在直径为400mm的圆柱形油槽内,装入一部分油,油面宽320mm,求油的深度. 分析: 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题,没有给出图形,直径长是已知的,油面宽可理解为截面圆的弦长,也是已知的,但由于圆的对称性,弦的位置有两种不同的情况,如图(1)和(2) 图(1)中 OC=120∴CD=80(mm) 图(2)中 OC=120 ∴CD=OC+OD=320(mm) 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 25

典型例题 11.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图)现找出其中一种,测得∠C=90°,AC=AB=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具,使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上,且扇形的弧与△ ABC的其他边相切,请设计出所有可能符合题意的方案示意图,并求出扇形的半径。 (只要画出图形,并 直接写出扇形半径) 分类讨论的思想 A 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com C B 26

典型例题 分析:扇形要求弧线与三角形的边相切,半径都在三角形边上,相切的情况有两种 (1)与其中一边相切(直角边相切、斜边相切) (2)与其中两边相切(两直角边相切、一直角边和一斜边相切) 并且尽量能使用边角料(即找最大的扇形) (1)与一直角边相切可如图(1)所示 (2)与一斜边相切如图(2)所示 (3)与两直角边相切如图(3)所示 (4)与一直角边和一斜边相切如图(4)所示 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 27

解:可以设计如下图四种方案: r1=4 r2=2 r3=2 r4=4 -4 (1) (3) (2) (4) 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 28

典型例题 圆的实际应用 12、一圆弧形桥拱,水面AB宽32米,当水面上升4米后水面CD宽24米,此时上游洪水以每小时0.25米的速度上升,再通过几小时,洪水将会漫过桥面? 此题实际是应用了转化的思想,把实际问题转化为圆的问题求解 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 29

解:过圆心O作OE⊥AB于E,延长后交 CD于F,交弧CD于H,设OE=x,连结OB,OD,由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 ∴ X2+162=(x+4)2+122 ∴X=12 ∴OB=20 ∴FH=4 4÷0.25=16(小时) 答:再过16小时,洪水将会漫过桥面。 本资料来自于资源最齐全的21世纪教育网www.21cnjy.com 30

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