专题22 空间几何体

空间几何体 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题

1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题. 考 情 解 读

主干知识梳理 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系

2.空间几何体的三视图 (1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形. (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样. (3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.看不到的线画虚线.

3.直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)； ②S锥侧＝ ch′(c为底面周长，h′为斜高)； ③S台侧＝ (c＋c′)h′(c′，c分别为上，下底面的周长，h′为斜高)； ④S球表＝4πR2(R为球的半径).

热点分类突破 热点一 三视图与直观图 热点二 几何体的表面积与体积 热点三 多面体与球

例1 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 热点一 三视图与直观图 例1　某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) 思维启迪 根据三视图确定几何体的直观图；

解析　由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图： 则该几何体的体积V＝ ×2×2×4＝8. 答案　B

D (2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( ) 思维启迪 分析几何体的特征，从俯视图突破. (2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　) D 思维启迪 分析几何体的特征，从俯视图突破. 解析　由俯视图易知答案为D.

空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果. 思 维 升 华

变式训练1 (1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)

解析　根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，

(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　) D 解析　如图所示，点D1的投影 为C1，点D的投影为C，点A的 投影为B，故选D.

例2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 热点二 几何体的表面积与体积 例2　(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　) 思维启迪 由三视图确定几何体形状；

解析　由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合， 答案　D

(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1 上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF， FB，DE，则几何体EFC1－DBC的体 积为(　　) 思维启迪 对几何体进行分割. A.66 B.68 C.70 D.72

解析　如图，连接DF，DC1， 那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱 锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1， 故所求几何体EFC1－DBC的体积为66. 答案　A

(1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”； (2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想. 思 维 升 华

变式训练2 多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是(　　)

解析　过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥， 由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为 S1＝ ×2×2＝2，高为2，所以体积为V1＝4， 两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为 V1＝2× ×2×1×2＝ ， 答案　D

热点三 多面体与球 例3　如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ ，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　)

思维启迪 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等,只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可.

解析　如图，取BD的中点E，BC的 中点O，连接AE，OD，EO，AO. 由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD. 由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD， 所以AE⊥平面BCD.

答案　A

多面体与球接、切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 思 维 升 华

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解. 思 维 升 华

变式训练3 (1)(2014·湖南)一块石材表示的几何 体的三视图如图所示.将该石材切削、 打磨，加工成球，则能得到的最大 球的半径等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4

解析　由三视图可知该几何体是一个直 三棱柱，如图所示. 由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与 三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大， 故其半径r＝ ×(6＋8－10)＝2.因此选B. 答案　B

(2)一个几何体的三视图如图所示，其 中正视图和侧视图是腰长为1的两个全 等的等腰直角三角形，则该几何体的体 积是________；若该几何体的所有顶点 在同一球面上，则球的表面积是________.

解析　由三视图可知，该几何体是四棱锥 P－ABCD(如图)， 其中底面ABCD是边长为1的正方形， PA⊥底面ABCD，且PA＝1， 则球的表面积为S＝4πR2＝3π.

本讲规律总结 1.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和.

2. 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量 2.在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量.在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.

3.一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解).

真题与押题 真题感悟 押题精练

真题感悟 1 2 1.(2014·北京)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1， ).若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则(　　) A.S1＝S2＝S3 B.S2＝S1且S2≠S3 C.S3＝S1且S3≠S2 D.S3＝S2且S3≠S1

真题感悟 解析 如图所示，△ABC为三棱锥在坐标 平面xOy上的正投影， 所以S1＝ ×2×2＝2. 三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，

真题感悟 三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等， 所以S2＝S3且S1≠S3.故选D. 答案 D

真题感悟 1 2

真题感悟 1 2 由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，

押题精练 1 2 1.把边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C－ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为(　　)

押题精练 1 2 解析　在三棱锥C－ABD中，C在平面 ABD上的投影为BD的中点O， ∵正方形边长为 ，∴AO＝OC＝1， 答案　B

押题精练 1 2

押题精练 解析 如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱 锥扩充成长方体， 则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球， 1 2 解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱 锥扩充成长方体， 则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球， ∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.

押题精练 1 2 答案　A