1．1．2 四种命题及其关系 1．了解命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会写出一个 命题的逆命题、否命题和逆否命题． 1．1．2 四种命题及其关系 1．了解命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会写出一个 命题的逆命题、否命题和逆否命题． 2．能够判断四种命题的真假． 3．掌握四种命题间互逆、互否和互为逆否的相互关系． 4．了解原命题与逆否命题、逆命题与否命题真假之间的等 价关系，并会将命题等价转化．

论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做 __________．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的 1．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结 论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做 __________．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的 __________． 互逆命题 逆命题 (2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件 的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做_______________． 如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命 互否命题 否命题 题的__________．

的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做________________． 互为逆否命题 (3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论 的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做________________． 互为逆否命题 如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命 逆否命题 题的__________． 2．四种命题的符号语言表示． (1)原命题：若 p，则 q. q p (2)逆命题：若 _______，则______． (3)否命题：若________，则________． (4)逆否命题：若________，则________．

3．四种命题的关系． 原命题与逆命题 原命题与逆命题 (1)互逆：___________________；____________________. (2)互否：___________________；____________________. (3)逆否：___________________；____________________. (4)等价性：______________________；____________________. 原命题与否命题 逆命题与逆否命题 原命题与逆否命题 逆命题与否命题 原命题与逆否命题同真假 逆命题与否命题同真假 逆否命题 4．(1)两个命题互为___________，它们有相同的真假性． (2) 两个命题为互逆命题或互否命题 ，它们的真假性________． 没有关系

【剖析】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关 键是正确找出原命题的条件和结论，并写出条件的否定和结论 【要点】如何写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题？ 【剖析】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关 键是正确找出原命题的条件和结论，并写出条件的否定和结论 的否定，然后按照定义写出命题．当原命题不是“若 p，则 q” 的形式时，应先将命题写成一般形式“若 p，则 q”．

例1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题： (1)若 x＝y，则 x2＝y2； 题型1 命题的转换 例1：写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题： (1)若 x＝y，则 x2＝y2； (2)垂直于同一平面的两直线平行； (3)若 x＋y＝5，则 x＝3 且 y＝2； (4)若 m·n<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实根． 思维突破：分清原命题的条件和结论，然后按照原命题、 逆命题、否命题和逆否命题之间的关系进行转换，转换时要注 意一些常见词语的否定的写法．例如：“都是”的否定为“不 都是”，“<”的否定为“≥”．

自主解答：(1)逆命题：若 x2＝y2，则 x＝y. (2)逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一平 面． 否命题：若两条直线不垂直于同一平面，则这两条直线不 平行． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同 一平面．

(3)逆命题：若 x＝3 且 y＝2，则 x＋y＝5. 否命题：若 x＋y≠5，则 x≠3 或 y≠2. 逆否命题：若 x≠3 或 y≠2，则 x＋y≠5. (4)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实根，则 m·n<0. 否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实根，则 m·n≥0.

C 解析：原命题的逆否命题是：条件和结论各自否定后，位 置互换即可．

例2：命题“若 x＋y＝5，则 x＝2 且 y＝3”及其逆命题、 题型2 四种命题及其真假性 例2：命题“若 x＋y＝5，则 x＝2 且 y＝3”及其逆命题、 否命题和逆否命题中，真命题的个数是( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 思维突破：利用四种命题的等价性进行判断，原命题与逆 否命题同真假； 逆命题与否命题同真假． 解析：由于原命题是假命题，逆命题是真命题，根据互为 逆否的两个命题同真假，故逆否命题是假命题，否命题是真命 题．故选 B. 答案：B

【变式与拓展】 2．已知：m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平 面，其中 m⊂α，n⊂β.命题 p：若α∥β，则 m∥n 的原命题、 逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是( A ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．4 个

题型 3 间接证明 例3：证明：若 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2. 思维突破：由于原命题与逆否命题同真假，在证明时，若 原命题证明较难，可考虑证明其逆否命题． 证明：命题“若 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2”的逆否命题为“若 p＋q>2，则 p2＋q2≠2”．

【变式与拓展】 3．试判断命题“若 x≠3 或 x≠7，则 x2－10x＋21≠0”的 真假． 解：原命题为“若 x≠3 或 x≠7，则 x2－10x＋21≠0”，逆 否命题为：“若 x2－10x＋21＝0，则 x＝3 且 x＝7”，显然这是 一个假命题．故原命题也是一个假命题．