高中数学选修 2-1 1-1 教材分析与教学建议 余杭区教育局教研室 陈朝阳 E-mail: ccy@yhjy.net

CHANG YONG LUO JI YONG YU 选修 2－1 第 1 章 常用逻辑用语 CHANG YONG LUO JI YONG YU 选修 1－1 第 1 章 （8课时）

一、本章结构 常用逻辑用语 命题 及其 关系 充分条件与 必要条件 简单的逻辑联结词(且、或、非） 全称量词与 存在量词 对含有一个量词的 命题进行否定

二、课时分配（8课时） 1．1 命题及其关系 约2课时 1．2 充分条件与必要条件 约2课时 1．3 简单的逻辑联结词 约1课时 1．1 命题及其关系 约2课时 1．2 充分条件与必要条件 约2课时 1．3 简单的逻辑联结词 约1课时 1．4 全称量词与存在量词 约2课时 小结 约1课时

三、本章内容的定位 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思维清晰明了，说理有据． 学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．原《教学大纲》里讲的是简易逻辑，主要基于数学意义上的简易数理逻辑；新《课程标准》所讲的是一种常用的逻辑语言，包括在数学上和日常生活中的应用．

为了更好的理解整体定位，需要明确以下三个方面的问题： （1）“常用逻辑用语”和“简易逻辑”存在定位上的区别 “常用逻辑用语”的课程目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，更好的理解数学内容中的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，避免在使用过程中产生错误.高中数学课程中，学“常用逻辑用语”不是为逻辑学和数理逻辑奠定基础，这与“简易逻辑”的目标不同，这一点需要老师们特别注意.

为了更好的理解整体定位，需要明确以下三个方面的问题： （2）“常用逻辑用语”应通过实例理解，避免形式化的倾向 常用逻辑用语的教学不应当从抽象的定义出发，而应该通过数学和生活中的丰富实例理解常用逻辑用语的意义，体会常用逻辑用语的作用.事实上，在高中阶段，没有必要形式的理解常用逻辑用语在“逻辑学”和“数理逻辑”中的确切含义.重点是理解常用逻辑用语在认识和表达数学中的作用.

为了更好的理解整体定位，需要明确以下三个方面的问题： （3）“常用逻辑用语”的学习重在使用 对于“常用逻辑用语”的学习，不仅需要用已学过的数学知识为载体，而且需要把常用逻辑用语用于后继的数学学习中.因此，“常用逻辑用语”的学习重在使用，在使用中不断地加深对于常用逻辑用语的认识.

四、课程标准与教学大纲要求比较 内 容 《课程标准》目标表述 《教学大纲》 目标表述 命题及其 关系 ①了解命题的逆命题，否命题与逆否命题； 内 容 《课程标准》目标表述 《教学大纲》 目标表述 命题及其 关系 ①了解命题的逆命题，否命题与逆否命题； ②理解必要条件、充分条件与充要条件的 意义，会分析四种命题的相互关系. 掌握充要条件 的意义，理解 四种命题及其 相互关系. 简单的逻 辑联结词 通过数学实例，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 理解逻辑联结词 “或”、“且”、 “非”的含义. 全称量词与 存在量词 ①通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的意义； ②能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

与《教学大纲》相比较，《课程标准》强调逻辑用语的教学是通过数学实例来进行，通过恰当、准确的实例来让学生领悟命题之间的逻辑关系，避免纯粹逻辑关系的推理，抽象的解释、空对空的说教，避免学生养成机械记忆，刻板模仿的习惯. 《课程标准》弱化了对“充要条件”的要求． 　　全称量词与存在量词是《课程标准》新增加的内容，旨在使学生认识这两类在现实生活中广泛使用的量词，会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假，会正确写出他们的否定形式，为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法.

五、教学要求 1．命题及其关系 ⑴ 本模块中的命题，一般是明确给出了条件和结论的命题，要使学生了解什么是条件，什么是结论，会将一个命题分解成“若p，则q”的形式. 对于简单的，没有明显写成“若p，则q”形式的命题，也应分清条件与结论是什么，准确地分解成“若p，则q”的形式. ⑵ 对命题的逆命题、否命题与逆否命题，只要求作一般性的了解，这些内容对高中学生来说，尤其是刚刚学习时是非常困难和难以理解的. 在教学中应通过简单明了的实际例子，使学生体会四个命题的构成形式 ⑶ 四种命题的相互关系，以及互为逆否命题的两命题之间的等价性是本模块的重点.

五、教学要求 2．充分条件、必要条件、充要条件 　　充分条件、必要条件、充要条件是本模块中的重点内容，要求学生熟练掌握三者之间的关系，并能解决相关问题，这里不强调对充要条件的证明，但要能结合实际例子判断两命题之间的关系.

五、教学要求 ３．逻辑联结词“或”、“且”、“非” 　让学生了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义．了解三者的含义，主要目的是让学生学会用这些逻辑联结词准确地表达相关数学内容，因此内容设计上要求通过具体的数学实例来展开，避免抽象讨论. ⑴ 不要求引入和使用真值表，避免学生机械记忆. ⑵ 应该让学生明白“p或q”，“p且q”，“非p”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题，逆命题，否命题，逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分. ⑶ 让学生掌握识别判断复合命题的形式的能力，并能结合具体例子判断命题真假.

五、教学要求 4．全称量词与存在量词 ⑴ 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，能识别全称命题与特称命题. 全称量词：所有的，一切，全部，都，任意一个，每一个等等. 特称量词：存在一个，至少有一个，有个，某个，有的，有些等等. ⑵ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 例：我们班学生都是团员. 正确否定：① 我们班学生不都是团员； 　　　　　② 我们班有学生不是团员. 错误否定：我们班学生都不是团员.

五、教学要求 5.注重数学符号语言的运用 符号语言作为数学的基本语言,具有表述简洁、准确的特点.如四种命题的符号表示能帮助我们更加清楚地认识四种命题及其相互关系.充分条件、必要条件、充要条件的符号表示有利于我们认识条件和结论的推出关系.“或”、“且”、“非”以及全称量词与存在量词的符号表示，也使我们看到了符号语言运用的方便、准确及便利的特点.

五、教学要求 6.注意自然语言、文字语言、符号语言三者的结合运用 教学中鼓励学生用这三种语言描述理解新概念.自然语言也就是让学生用自已的话陈述对一个概念的理解,以此检验学生对这个概念的理解与否以及理解程度,而不是形式地去背教科书中的界定,实际不理解这个概念的真正含义;文字语言可以帮助学生进一步精确地、严谨地表述这个概念，以达到对这个概念的准确理解；符号语言则可以达到对这个概念的简约化理解，以符号的形式简洁、准确地表述概念.

六、重点和难点 《常用逻辑用语》的教学重点 1．命题的概念和四种命题（这里的原命题是指明 确地给出条件和结论的命题）的关系. 2．充分条件、必要条件、充要条件的意义 3．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，使　　　 　 学生能正确地表述相关数学内容. 4．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对 含有一个量词的命题进行否定.

六、重点和难点 《常用逻辑用语》的教学难点 1．必要条件概念的理解． 2．用逻辑联结词“或”、“且”、“非”简洁、准确地表述 或命题、且命题、否命题 等命题，以及对新命题真假的判断. 3．全称命题和特称命题真假的判定，以及对含有一个量词的命题的否定.

七、课标要求的具体化和深广度分析 （1）如何认识“命题”的含义 对命题的认识我们不从一般的定义出发，而是通过实例了解“命题”，这些实例都能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，并且能判断真假． 例如：①若一个四边形是矩形，则这个四边形是平行四边形． 　　　②三角形内角和等于180度. ③x>3. ①明确的给出了条件和结论，并能判断真假。②虽然没有明确的给出条件和结论，但是能清晰地分辨出组成这个命题的条件和结论，即如果三个角是一个三角形的内角，则这三个角的和等于180度.③不能判断真假，所以它不是一个命题．

七、课标要求的具体化和深广度分析 （2）如何认识“了解命题的逆命题、否命题与逆否命题”以及“会分析四种命题的相互关系”的含义 “了解命题的逆命题、否命题与逆否命题”是指： 对给定的具体命题，可以写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并可以判断出它们的真假. “会分析四种命题的相互关系”主要包括两部分内容： 第一，通过实例的分析，总结出表示四种命题之间的基本关系的图示. 第二，知道原命题与其逆否命题是同真同假的，原命题的逆命题与原命题的否命题是同真同假的，通常我们说他们是相互等价的.

七、课标要求的具体化和深广度分析 （3）如何认识“理解必要条件、充分条件与充要条件的意义” 可以从以下两个方面来把握标准的要求： 第一、通过对具体实例中条件之间的关系的分析，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义. 第二，通过具体实例理解充分条件、必要条件和充要条件在解决和思考数学问题中的作用. 在数学中，寻求充分条件是一件很重要的事情.特别是在引入新的数学对象后，常常需要判断一个对象是不是我们引入的新对象.

七、课标要求的具体化和深广度分析 （4）如何认识“通过数学实例，了解“或”、“且”、“非”的含义” 可以从以下五个方面来把握标准的要求： 第一，认识逻辑联结词“或”、“且”、“非”是构造新命题的逻辑用语，利用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结具体命题来构造新命题，通过分析这样构造出的新命题的真假，来理解“或”、“且”、“非”的含义. 第二，了解在数学中也可以用逻辑连接词“且”与“或”联结一些“条件”，形成一个新的条件. 第三，只要求用“或”、“且”把两个命题合成一个命题，不要求要把一个“复合”命题进行“分解”.

七、课标要求的具体化和深广度分析 第五，通过一些具体的实例来理解命题否定的作用. 第四，“非”的含义就是对“命题的否定”.《课程标准》不要求一般的讨论“命题的否定”，而要求通过具体的实例体会“命题的否定”的含义.标准只要求能正确地对“含有一个量词的命题”进行否定 . 第五，通过一些具体的实例来理解命题否定的作用.

七、课标要求的具体化和深广度分析 （5）如何理解新增内容——“量词”的要求 第一，结合具体命题来理解全称量词、存在量词的意义，了解全称量词和存在量词在日常生活和数学中的各种表达形式. 第二，通过生活和数学中的丰富实例，体会“量词”在数学中和日常生活中的作用. 全称量词、存在量词是数学中和日常生活中使用频率很高的一种逻辑用语.大量的数学命题都要使用这样的逻辑用语. 第三，标准只要求理解和掌握含有一个量词的命题.不要求理解和掌握含有两个或两个以上量词的命题.对于命题的否定，只要求对含有一个量词的命题进行否定 .

YUAN ZHUI QU XIAN YU FANG CHANG 选修 2－1 第 2 章（ 16课时） 圆锥曲线与方程 YUAN ZHUI QU XIAN YU FANG CHANG 选修 1－1 第 2 章（ 12课时）

一、本章结构 椭圆 双曲线 抛物线 圆锥曲线的实际背景 标准方程 简单的几何性质 简单应用 曲线与方程(2-1) 方程与曲线(2-1) 坐标法(1-1) 曲线与方程(2-1) 方程与曲线(2-1)

重视章首语的使用 教材借助圆锥面这一模型，通过不同的截法得到三种不同的圆锥曲线，引导学生形成椭圆、双曲线和抛物线的概念．这样做，既能使学生经历概念的形成过程，更能使其从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系.根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线的定义”．这一过程是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，强化数学素养．

设圆锥面的母线与轴所成的角为，截面与轴所成的角为．通过观察可以发现，当 <  < ，0≤ < ， =  时，我们可以得到三种不同形状的曲线：

与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解． 对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.同时,在学习平面解析几何初步的基础上,学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

二、教学内容 选修1-1(文科) （12课时） 2.1椭圆 2.1.1椭圆及其标准方程 探究与发现: 为什么载口曲线是椭圆 选修2-1(理科) （16课时） 2.1曲线与方程 2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程 探究与发现: 为什么载口曲线是椭圆 2.2.2 椭圆的简单几何性质 信息技术应用: 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程, 2.3.2 双曲线的简单几何性质 探究与发现:为什么y=(b/a)x是渐近线 2.4 抛物线 2.4.1抛物线及其标准方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 探究与发现:为什么二次函数的图象是抛物线 阅读与思考:一.圆锥曲线的光学性质及其应用 二.圆锥曲线的离心率与统一方程 圆锥曲线的简单应用 选修1-1(文科) （12课时） 2.1椭圆 2.1.1椭圆及其标准方程 探究与发现: 为什么载口曲线是椭圆 2.1.2 椭圆的简单几何性质 信息技术应用: 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.2 双曲线 2.2.1双曲线及其标准方程 2.2.2双曲线的简单几何性质 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 阅读与思考:圆锥曲线的光学性质其及应用

三、教学要求 选修1-1（12课时） 选修2-1（16课时） （1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 （2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。 （3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。 （4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 （5）了解圆锥曲线的简单应用。 （1）圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题（直线与圆锥曲线位置关系）和实际问题。 ⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 （2） 曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。

四、课时安排 理科 文科 16课时 2.1 曲线与方程 0+2课时 2.2 椭圆 4+1课时 2.3 双曲线 3课时 2.4 抛物线 3+1课时 小结 2课时 文科 12课时 2.1 椭圆 4课时 2.2 双曲线 3课时 2.3 抛物线 小结 2课时

五、课程标准与教学大纲的比较 内容 《课程标准》目标表述 《教学大纲》目标表述 圆 锥 曲 线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质. ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质 ④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题. ⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想. （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；理解椭圆的参数方程. （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. （4）能够利用工具画圆锥曲线的图形，了解圆锥曲线的简单应用. （5）结合教学内容，继续进行运动、变化观点的教育. 曲线 与 方程 结合已学过的曲线及其方程的实例， 了解曲线与方程的对应关系，进一步 感受数形结合的基本思想.

六、重点与难点 教学重点是： ①经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质.理解坐标法的基本思想. ②了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及有关性质 ③经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质. ④掌握圆锥曲线标准方程中a,b,c,p的几何意义；初步了解圆锥曲线的离心率e ⑤能用坐标法判断直线和圆锥曲线的位置关系. ⑥了解曲线的方程与方程的曲线的概念，使学生体会曲线与方程的对应关系，通过解决简单的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想.

六、重点与难点 教学难点是： ①椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的应用 ②双曲线的标准方程推导与化简 ③理解曲线的方程与方程的曲线的概念；曲线与方程的对应关系；求曲线方程

七、教学建议 用好本章引言: 本章引言首先从欧氏几何角度介绍圆锥曲线产生的过程,这样即使学生经历概念的形成过程,更有利于使学生从整体上认识三种圆锥曲线的内在联系.同时阐述人类研究圆锥曲线的历史,提出学习目标,不仅渗透数学史,而且激发学生学习兴趣. 把握教学要求： 　 本章理科共分四大节，前一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤。 后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质。并插入学会用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题 教学时力求突出主干知识，精选内容：研究圆锥曲线方程时主要介绍标准方程，不涉及一般方程；在利用方程研究圆锥曲线的几何性质时，只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法；对有兴趣的学生可鼓励自主探究，并通过“思考”、“探究”、“探究与发现”、“阅读与思考”等栏目，以及在条件许可下运用信息技术提供发展空间。另外，根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线定义”。

七、教学建议 突出基本思想: 解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的性质.由于教材是先通过特殊曲线，从感性上认识曲线方程的意义，再建立一般的曲线方程的概念，因此在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上.曲线方程的概念比较抽象，教学时只需通过已经学习过的几种曲线的方程与曲线的关系进行概括，并通过具体问题让学生适当感受，并在应用中加深体会，不要在定义的两个方面作过多研究.本章的数学教育价值是“数形结合”的数学思想方法，《课程标准》中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实.

七、教学建议 重视引入过程 在椭圆的学习过程中，教材给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别；由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征；在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称：椭圆；通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程.教材意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化（代数化）为“方程”，形成理性认识.其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开.

七、教学建议 (1)文科对抛物线的要求是 “了解”． (2)文科对“曲线与方程”不作要求． (3)文科在例、习题上要求有所降低． 应知文理有别 在1-1、2-1中都有圆锥曲线这部分内容，但两者的要求不同.从所用教学时间来看，1-1中为12课时，而2-1中为16课时；从内容上看，2-1增加了“经历从具体情境中抽象是出抛物线模型”（而在1-1中只要求从具体情境中抽象出椭圆模型）；增加了“能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题”；增加了“曲线与方程的对应关系”.在教学要求上，2-1增加了“引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程”，“通过软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系”.由此可见， 2-1对抽象概括和参数变化、运动观点的要求提高了，在教学设计和实施中教师应注意到这一点. (1)文科对抛物线的要求是 “了解”． (2)文科对“曲线与方程”不作要求． (3)文科在例、习题上要求有所降低．

八、教学中要注意： 1. 注意知识内容的前后衔接,准确把握教学要求 　 如《必修2解析几何初步》中已经接触过：“坐标法”(应贯穿平面解析几何教学的始终), “数形结合”(自始至终帮助学生不断地体会的重要思想方法). 　　系列4 中的“选修 4-4坐标系与参数方程” 2．圆锥曲线统一定义和非标准的圆锥曲线方程不作教学要求 　 圆锥曲线统一定义是非常经典的内容, 但不作为基本教学要求. 教材中有”探究与发现: 圆锥曲线的离心率与统一方程”,供有余力学习学习. 非标准的圆锥曲线方程没有必要补充

八、教学中要注意： 3. 关注曲线与方程和函数与图象之间的关系 曲线与方程, 函数与图象是两类不同的研究对象,它们之间有一定联系,也存在一定区别. 2-1中选学内容: “探究与发现为什么二次函数什么二次函数 y = ax2 + bx + c(a0)的图象是抛物线” 4. 关于信息技术使用 信息技术在本节大有用武之地, 应该得到运用, 但要注意运用是促进探究? 还是猜想验证? 是呈现?还是发现?

九、其他注意问题 42

突出建立椭圆标准方程的全过程 建系——设点——列等式（限制条件） ——代入坐标（得到方程）——化简方程 教科书p40“由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x、y)都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点都在已知的椭圆上．” 只要让学生从方程同解的角度认同即可，不要提纯粹性和完备性的概念 ． 参数 b 的引入在这里只需说明是为了简化方程形式，在后面再说明其几何意义 焦点在y轴的椭圆标准方程可由学生独立研究自行推出．（不妨先作猜想，或变量代换．）

掌握椭圆的几何性质 要突出“用代数方法(方程)研究几何问题”的解析几何的基本思想．如：范围、对称性等． “顶点是椭圆与对称轴的交点”，不能认为最高(低)点、最左(右)点就是顶点． 对离心率要突出其几何意义，并在实验的过程中感受和理解其意义。直观上椭圆的扁圆程度可用b/a来刻画，为什么用c/a呢？

学习双曲线要注意与椭圆类比 把握教学要求，了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质 突出类比，如导言中的类比提出问题、研究过程中从结论、过程、方法各个层面与椭圆类比 我们知道，椭圆上的点到两个定点距离的和等于定值，当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 ． 双曲线上的点到两个定点距离的差的绝对值等于定值.那么，双曲线的标准方程是什么形式呢？

关注抛物线方程与性质的特殊性 建立抛物线标准方程时坐标系的理性选择 让学生独立探索如何建立抛物线的方程，关键是选择适当的坐标系． 注意与椭圆、双曲线的联系与区别 方程特点：无常数项、一个一次项、一个二次项 图形特征：过原点、一条对称轴、非中心对称

KONG JIAN XIANG LIANG YU LI TI JI HE 选修 2－1 第三章（12课时） 空间向量与立体几何 KONG JIAN XIANG LIANG YU LI TI JI HE

本章所需主要预备知识： （1）必修2中的空间几何体（立体几何初步知识） （2）必修4中的平面向量

本章知识结构 空间向量的运算 空间向量运算的坐标表示 空间向量运算的几何意义 用空间向量表示点、直线、平面等元素 空间向量的定义 空间向量的运算 空间向量运算的坐标表示 空间向量运算的几何意义 线性运算和数量积运算 用空间向量表示点、直线、平面等元素 建立空间图形与空间向量在联系 空间向量的应用

空间向量及其运算知识结构 实际背景 线性运算 数量积 坐标表示 基本定理 空间向量的概念 简单应用

立体几何中的向量方法知识结构 第一步:向量表示; 第二步:向量运算; 第三步:回归几何. 点、直线、平面的 位置的向量表示 直线、平面间的平行与 垂直关系的向量表示 立体几何中向量方法的三步曲 直线的方向向量与平 面的法向量 向量方法与坐标方法结合解决立体几何问题 直线、平面间角的大小 的向量表示 第一步:向量表示; 第二步:向量运算; 第三步:回归几何.

地位与作用 1.本章是必修数学4“平面向量”在空间的推广，又是必修数学2“立体几何初步”的延续. 2.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究). 3.进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用.

本章的基本思想 本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．教科书还通过例题，引导学生对解决立体几何问题的二种方法（向量方法、坐标法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力． 蕴涵了“符号化”和“模型化”思想（即用抽象符号把一类对象转化为其他等价形式）； “运算化”和“程序化”思想（即通过对量化后的对象进行特定运算来解决问题）. 形 数 ⇒

与原大纲教材的比较 大纲教材 新教材 重点 立体几何知识 空间向量和向量方法 空间向量知识 对空间向量只是作为解决部分问题的工具 与九B教材有明显的区别 大纲教材 新教材 重点 立体几何知识 空间向量和向量方法 空间向量知识 对空间向量只是作为解决部分问题的工具 强调对向量方法的一般性认识 有系统性要求 不作系统性要求

课程标准要求与教学大纲比较 内 容 《课程标准》目标表述 《教学大纲》目标表述 空 间 向 量 及 其 运 算 (1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. (2)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. (3) 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (4) 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘. （2）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算. （3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式.

课程标准要求与教学大纲比较 内 容 《课程标准》目标表述 《教学大纲》目标表述 空 间 向 量 的 应 用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量. ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系. ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见《标准》P55~56例1、例2、例3）. ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用. (1)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念. (2)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离,只要求会利用给出的公垂线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理. (3)了解多面体的概念，了解凸多面体的概念. (4)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图. (5)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图. (6)了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式 (7)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式. (8)通过空间图形的各种位置关系间的教学，培养空间想象能力，发展逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点.

几何课程的定位 把握图形的能力 空间想象能力 推理能力 几何直觉能力 培养和发展学生 把握图形的能力 空间想象能力 推理能力 几何直觉能力 提升几何直观的思想方法，突出用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义. 遵循整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性质.

重点与难点 教学重点是： ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，使学生了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法，掌握空间向量的加减运算及其运算律. ②掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线（平行）向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法，并能理解共线向量定理（不要求学生会证明此定理）和共面向量定理及其推论 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. ③了解两个向量的数量积（或称内积、点积）的计算方法及其应用. ④了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示，并会在简单问题中选用空间三个不同向量 作为基底表示其它向量. ⑤掌握空间向量的坐标运算规律，理解直线的方向向量与平面的法向量，理解平行、共线向量坐标间的关系式，会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直，掌握向量长度公式、两向量的夹角公式、空间两点间的距离公式，并会用这些知识解决解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及简单立体几何问题. ⑥理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

阅读与思考 重点与难点 教学的难点是： ①空间向量的基本定理 ②如何将立体几何问题转化为向量的计算问题 本章在3.1 节“空间向量及其运算”之后安排了一个“阅读与思考：向量概念的推广与应用”，介绍了三维以上的高维向量，并通过例子说明高维向量的应用.它可供学有余力的学生学习.

课时分配（12课时） 3.1.1 空间向量及其加减运算 1课时 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 复习小结 3．2 立体几何中的向量方法 5课时

教学建议： 1.注重联系 本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形.这是“由此及彼，由浅入深” 的认识发展过程. 2.体现思想 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量 方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想.主要要思想方法是： （1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）； （2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题.

教学建议： 3.温故知新 空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.

教学建议： 4.强调通法 向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元素用向量表示，进行向量运算，再回归到几何问题.这种“三步曲”式的解决问题过程，在数学中具有一般性. 三步曲：空间向量表示几何元素→利用向量运算研究几何元素间的关系→把运算结果翻译成相应的几何意义. 向量运算时注意其几何意义，联系几何问题（如三垂线定理及其逆定理等）加深对有关运算的认识. 第一步:向量表示; 第二步:向量运算; 第三步:回归几何.

教学建议： 5.螺旋上升 必修2中，已经讨论过空间中直线、平面的平行、垂直等位置关系，当时没有对相关判定定理进行证明，只证明了相关性质定理. 本章以三垂线定理、线面垂直的判定定理等为例，用向量方法对其进行证明，然后指出运用向量方法可以证明关于线面位置关系的其他判定定理，并引导学生进行尝试.这样可以加强所学前后知识的联系，对空间位置关系提高认识水平.

内容解析 空间向量及其运算 1.关于共面向量的定义——平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vector）： 理解：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 对共面向量的理解要突出“自由向量”的特征，向量与平面平行的概念有别于直线与平面的平行，要帮助学生理解.

2.关于共面向量定理——如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数组(x, y)，使p = xa + yb． 空间向量共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的．这是因为任意两个空间向量a，b都可以平移到同一个平面，当a，b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p也可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示．

发展路线：共线向量定理(一维)→平面向量基本定理(二维)→空间向量基本定理(三维)。 3.关于空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x, y, z}，使p = xa + yb + zc． 发展路线：共线向量定理(一维)→平面向量基本定理(二维)→空间向量基本定理(三维)。 通过向量分解惟一性定理的推广，引导学生积极主动地探索． 目的：为空间向量的坐标表示做准备． 注意：“惟一性”的证明要用反证法(了解)．

4.关于空间向量的数量积 (1)由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同. (2)要正确使用两个向量夹角的符号〈a，b〉. (3)空间向量数量积的几何意义只要求学生了解. (4)空间向量数量积运算律的证明不作要求.

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