常用逻辑用语 1.1　命题及其关系 1.1.2 命题的相互关系

1．掌握四种命题的相互关系． 2．用反证法证明一些简单问题．

基础梳理 1．互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假．但原命题与逆命题、否命题都不等价；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假． 例：命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的等价命题是：“________________________”，这是一个假命题，故原命题也是一个假命题． 若sin x＝sin y，则x＝y

2．反证法是我们常用的一种证明方法．用反证法证明命题的一般步骤为： (1)假设命题的结论不成立，即假设命题的结论的反面成立． (2)从这一假设出发，经过一系列的推理论证得出矛盾． (3)由矛盾判断假设不对，从而肯定命题的结论正确． 3．用反证法证明“若p则q”时，导出结果的几种情况： (1)导出非p为真，即与命题的条件矛盾； (2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾； (3)导出一个恒假命题，即与定义、定理、公理矛盾； (4)导出自相矛盾的命题．

自测自评 1．下列说法，不正确的是(　　) A．“若p，则q”与“若q，则p”是互逆命题 B．“若綈p，则綈q”与“若q，则p”是互否命题 C．“若綈p，则綈q”与“若p，则q”是互否命题 D．“若綈p，则綈q”与“若q，则p”是互为逆否命题 B

2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B D

四种命题的应用 写出命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假． 分析：要判断一个命题的其他三种命题的真假，可以分别写出其逆命题、否命题、逆否命题，再判断其真假；也可以利用它们之间的等价关系，由一个命题的真假推断出另一个命题的真假． 解析：逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0，假命题． 否命题：若ab>0，则a>0且b>0，假命题． 逆否命题：若a>0且b>0，则ab>0，真命题．

跟踪训练 1．判断下列命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假． (1)当c>0时，若a>b，则ac>bc； (2)若ab≤0，则a≤0或b≤0. 解析：(1)由于原命题与其逆命题“当c>0时，若ac>bc，则a>b”均为真命题，因此它的否命题与逆否命题也为真命题． (2)其逆命题“若a≤0或b≤0，则ab≤0”为假命题，其否命题与逆命题等价；其逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”为真命题．所以其逆命题与否命题为假，而逆否命题为真．

四种命题真假的判断 写出下列命题的等价命题并判断真假． ①若x＋y≠3，则x≠1或y≠2； ②如果a·b≠a·c，则b≠c(a，b∈R)． 解析：①：若x＝1且y＝2，则x＋y＝3，真命题． ②：如果b＝c，则a·b＝a·c，真命题．

跟踪训练 2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中(　　) A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是奇数 C．真命题的个数一定是偶数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 C

逆否命题的应用 设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn }不是等比数列． 证明：设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q， 假设{cn }是等比数列，则c1c3＝c22， 即(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2⇒(p－q)2＝0 ⇒p＝q. 这与已知p≠q相矛盾．故{cn }不是等比数列．

跟踪训练 3．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等． 证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．

命题的否定与否命题 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假． (1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数； (2)若xy＝0，则x＝0或y＝0； (3)若一个数是质数，则这个数是奇数．

解析：(1)命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，为假命题． (3)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题． 原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题．

跟踪训练 4．命题“若a＝－1，则a2＝1”的逆否命题是 ________. 答案：若a2≠1，则a≠－1

一、选择填空题 1．下列命题中________为真命题． ①“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题， ②“全等三角形是相似三角形”的逆命题， ③“圆内接四边形对角互补”的逆否命题． 2．集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}， C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，又a∈A，b∈B，则有(　　) A．a＋b∈A B．a＋b∈B C．a＋b∈C D．a＋b不属于A，B，C中的任意一个 ①③ B

1．当所给的命题中题设的信息量很少时宜用反证法． 2．当命题的结论以否定的形式出现时，如命题中出现“不大于”、“不存在”、“不可能”等词语宜用反证法． 3．唯一性的命题，或有“至多”、“至少”等形式的命题宜用反证法． 4．“或”否定是“且”；“存在”的否定是“任意”． 5．命题与命题的否定是真假相反，而原命题与否命题可以同真假．

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