第八章 状态空间分析法

回顾和复习 经典控制理论 1、系统建模 （第2章） 2、系统分析 时域分析（第3章） 频域分析（第5章） 根轨迹分析（第4章） 3、系统综合（第6章、第7章）

经典控制理论的特点 a.特点 研究对象：单输入、单输出线性定常系统。 解决方法：频率法、根轨迹法、传递函数。 数学工具：常微分方程、差分方程、拉氏变换、Z变换。 b.局限性 不能应用于时变系统、多变量系统。 不能揭示系统更为深刻的内部特性。 设计方法为试凑法，无法设计出最优系统。

现代控制理论的特点 a.特点 研究对象：多输入、多输出系统，线性、非线性、定常或时变、连续或离散系统。 解决方法：状态空间法（时域方法）。 数学工具：微分方程组、线性代数、矩阵理论 b.优点 既适合线性、非线性、也适合MIMO系统 可确定系统全部运动状态，方便处理初始条件 分析综合方法，可实现最优控制

8.1 状态空间描述 8.1.1 状态变量和状态空间方程 状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=to时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。 状态变量：指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。 完全描述：如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间的行为就完全确定了。 最小个数：意味着这组变量是互相独立的。

状态向量：把 这几个状态变量看成是向量 的分量，则 称为状态向量。记作： 或 状态空间：以状态变量 为坐标轴所构成的n维空间。 状态轨迹：以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。

状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。 通式为：

将通式化为矩阵形式有： 系数矩阵 状态向量 输入向量 输入矩阵

输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。 通式为：

将通式化为矩阵形式有： 输出矩阵 关联矩阵 输出向量

状态空间表达式：将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。 [说明]： (1)为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。 (2)状态空间表达式非唯一性,这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,D非唯一。

系统动态方程的模拟结构图 常用符号： 积分器 比例器 加法器 模拟结构图：

8.1.2状态空间表达式的建立 建立方程： 例：如下图所示电路， 为输入量， 为输出量。 例：如下图所示电路， 为输入量， 为输出量。 建立方程： 和 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量

可以改写为 取状态变量 指定 作为输出 有 或

电路微分方程也可以写为 状态变量选取非唯一 取状态变量 状态空间表达式非唯一 矩阵形式为

练习 建立右图所示系统的状态空间表达式 根据牛顿第二定律 选择状态变量 机械系统的状态空间表达式

8.1.3 状态空间方程的线性变换 各状态空间表达式所选取的状态矢量之间，实际上存在着一种矢量的线性变换。 设给定系统为 设变换关系为 即 新的状态空间表达式 即

8.1.4 传递函数与动态方程的转换 传递函数 —— 系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。 8.1.4 传递函数与动态方程的转换 传递函数 —— 系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。 传递函数矩阵 其中各元素 都是标量函数，它表征第 个输入对第 个输出的传递关系。当 时，意味着不同标号的输入 与输出有相互关联，称为耦合关系。

线性变换不改变系统的传递函数矩阵 一、由动态方程求系统的传递函数

推导过程 设系统状态空间方程为 进行拉普拉斯变换，得 化简后为 令初始条件为零，得 则系统传递函数矩阵表达式为

例 线性定常系统状态空间表达式为 求系统的传递函数矩阵。 解

二、由传递函数列写微分方程 线性定常系统微分方程式的一般形式为 对应系统传递函数为 不存在零极点对消

能控标准形实现 1、传递函数无零点 选择状态变量

能控标准形 友矩阵

2、传递函数有零点 设 令

能控标准形

例 已知传递函数为 试化为能控标准形状态空间表达式。 解：

能观标准形实现 能观标准形

例 已知传递函数为 试化为能观标准形状态空间表达式。 解：

对角标准形实现 传递函数中极点互异时，可得到对角标准形实现 待定系数 对角标准形

推导过程 因为 令： 有： 反拉普拉斯变换后有：

例 已知传递函数为 试化为对角标准形状态空间表达式。 解：

约当标准形实现 传递函数中含有相同极点时，可得到约当标准形实现 互异根 r 重根

约当标准形 约当块 状态方程

约当标准形 输出方程

例 已知传递函数为 试化为约当标准形状态空间表达式。 解： 约当标准形为 待定系数为

8.2 线性定常连续系统状态方程的解 系统性能分析 定量分析：运动分析 定性分析：能控性分析 能观性分析 稳定性分析 8.2 线性定常连续系统状态方程的解 系统性能分析 定量分析：运动分析 定性分析：能控性分析 能观性分析 稳定性分析 问题的提出: 如何知道“嫦娥一号”运动状态？

线性定常系统的运动 1、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。 齐次状态方程的解： 非齐次状态方程的解：

一、齐次方程的解 ) ( L + = t b a 齐次状态方程： ，控制输入为零。 先考察标量齐次微分方程 的幂级数解法 假设其解为一幂级数 先考察标量齐次微分方程 的幂级数解法 假设其解为一幂级数 代入 式有 ) ( 2 1 L + = k t b a

等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有 而 所以

设 的解为 类似的形式 代入 式后，由等式两边t 的同次幂的系数相等，有 而

则线性定常系统齐次状态方程 的解为 定义 矩阵指数函数 所以 状态转移矩阵

二、状态转移矩阵 其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，由 转移到 ，再由 转移到 ，…… 。 的形态完全由 决定。

状态转移矩阵的基本性质 1、 2、 3、 4、 5、 6、

例 已知状态转移矩阵如下，求 解 根据 ，有 根据 ， 有

状态转移矩阵的计算方法 方法1 根据矩阵函数矩阵定义，计算 例 已知 求 解：

方法2 应用拉氏变换计算 齐次状态方程： 两边取拉氏变换得： 整理得： 拉氏反变换得： 与直接求解的结果比较，由解的唯一性得：

例 线性定常系统的齐次状态方程为 求其状态转移矩阵 解：

三、非齐次状态方程的解 线性定常系统非齐次状态方程为 改写为 两边同乘以 或写成 0 到 t 时间段上积分

即 零状态响应 两边同乘 ，并且移项 零输入响应 所以 或 当

例 已知状态方程如下，求其状态解 解：1)求状态转移矩阵 由前面的例子可知

2）求状态方程的解

综合例题 分析在不同情况下电路中电容上电压和电流的变化 1、设输入电压为0V，电容上电压和电感上电流初始值分别为1V和0A

解：1）建立状态方程 由微分方程 取状态变量 ，有

2）求状态转移矩阵

3）求状态解 第一种情况：零输入响应

零输入响应电容上电压和电流的变化曲线如图所示

3）求状态解 第二种情况：零状态响应

零状态响应电容上电压和电流的变化曲线如图所示

3）求状态解 第三种情况：全响应

8.3 线性定常系统的能控性和能观性 能控性和能观测性基本概念： 20世纪60年代初，由卡尔曼提出，与状态空间描述相对应。 状态空间描述的两段性： 状态方程：描述了输入引起的状态变化 输入是否能够控制状态 输出方程：描述了状态变化引起的输出改变 状态能否由输出反映

问题的提出 （1） 电路中电容上电压是否可以由输入电压所控制？

问题的提出 （2） 输入电压是否能使电容电压 和 为任意不同的数值？

能控性：指由系统的输入 u(t) 改变状态变量 x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输入来控制。 直观概念: 已知系统的结构图如下 显然， 只能控制 而不能影响 ，我们称状态变量 是可控的，而 是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。

能控性定义 线性定常系统的状态方程为 给定系统一个初始状态 ，如果在 的有限时间区间 内，存在容许控制 ，使 ，则称系统状态在 时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。

能控性判据 系统 状态完全能控的充分必要条件是能控性矩阵 满秩，即

例6-1 考虑如下系统的状态能控性 解 所以系统不能控

线性定常系统的能观性 问题的提出 若系统输入 ，且 ，是否可以通过对输出的观测去确定初始状态呢？

能观测性：指由系统的输出 y(t) 识别状态变量 x(t)的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。 直观概念 系统结构图如下 显然输出 中只有 ，而无 ，所以从 中不能确定 ，只能确定 。我们称 是可观测的， 是不可观测的。

能观性定义 线性定常系统的状态方程为 如果在有限时间区间 内，通过观测 ，能够惟一地确定系统的初始状态 ，称系统状态在 是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。

能观性判据 系统 状态完全能控的充分必要条件是能观性矩阵 满秩，即

例6-2 考虑如下系统的状态能观性 解 所以系统是能观测的。

综合例题 分析该电路的输出是否能反映两个状态？ 解 电路方程为

取 所以系统是不能观测的

8.3.4 对偶性原理 x & B ò A C u x y + 对偶系统 T B ò A C v z & w +

例8-1 求如下系统的对偶系统 解：其对偶系统

对偶系统两个基本特征 1. 对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置 2. 对偶的两个系统特征值相同

对偶性原理 设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性； 的能观测性等价于 的能控性。 设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性； 的能观测性等价于 的能控性。 [说明]：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。

对偶原理的证明 若 能控，则能控性矩阵 满秩。即 的能观测性矩阵为：

例 已知如下系统，判断其对偶系统的能控、能观性 解：原系统是能控标准形，所以原系统能控，对应对偶系统能观。 原系统能观，对应对偶系统能控

8.4 状态反馈和极点的任意配置 回顾 负反馈控制原理：将系统输出量引回输入端，与输入量相比较，利用所得偏差进行控制，使偏差减小或消除。具有较强的抗干扰能力，控制精度高 输出反馈

一、状态反馈 原系统 状态反馈 带状态反馈系统

二、极点配置 极点配置：通过状态反馈矩阵 K 的选择，使闭环系统具有任意希望的极点。 定理 线性定常系统可以通过状态反馈进行极点配置的充分必要条件是：系统状态完全能控。

K阵的求法 直接求K阵 根据要求极点，写出希望闭环特征多项式 令 由两式对应项系数相等求解

例 已知如下系统，试用状态反馈使闭环极点配置在-1和-2。 解：1） 能控 2） 设 ，带状态反馈系统极点为 期望的特征多项式为 3）比较对应项系数，可得

例 已知如下系统，试用状态反馈使闭环极点配置在 解 首先需检验该系统的能控性 系统是完全能控，可任意配置极点。 设

期望的特征多项式为 因此 从中可得 即

8.5 状态观测器的设计 引言： 系统设计离不开状态反馈 实际系统的状态变量不是都能用物理方法测得到的 8.5 状态观测器的设计 引言： 系统设计离不开状态反馈 实际系统的状态变量不是都能用物理方法测得到的 需要设法得到状态变量 →采用状态观测器实现状态重构

8.5.1 状态观测器定义 å x - 8.5.2 状态观测器的存在条件 å å u y x x , ] [ lim = x å å 设线性定常系统 的状态向量 不能直接检测 ＝（ ) , å C B A x 如果动态系统 以 的输入 和输出 作为其输入量能产生一组输出量 渐近于 即 å g å u y Ù x x , ] [ lim = - Ù ¥ ® t x 则称 为 的一个状态观测器。 å g å 8.5.2 状态观测器的存在条件 定理 系统 其观测器极点可任意配置的充要条件是系统完全能观测

8.5.2 全维状态观测器 开环状态估计器：构造一个与原系统完全相 同的模拟装置 (1)

从所构造的这一装置可以直接测量 。这种 开环状态估计器存在如下缺点： 每次使用必须重新确定原系统的初始状态并 对估计器实施设置； ① ②在 有正实部特征值时， 最终总要趋向无 穷大。

说明 定义偏差 如果

(2)闭环全维状态观测器。 状态观测器的动态方程可写为：

定理 若n维线性定常系统是状态完能观，则存在状态观测器 可选择矩阵 来任意配置 的特征值。 强调：

例8.5.1 给定系统的状态空间表达式为 试设计一个全维状态观测器，使其极点为－10、－10 解：1、判断系统能观测性 所以系统使状态能观测的，可构造能任意配置极点的状态观测器。

2、设状态观测器为 3、实际状态观测器特征多项式

4、观测器期望特征多项式 5、求 6、状态观测器为

8.5.3 带状态观测器的状态反馈闭环系统 两个问题： （1）在状态反馈系统中，用状态估计值 是否要重新计算状态反馈增益矩阵K？ （2）当观测器被引入系统后，状态反馈部分 是否会改变已经设计好的观测器的极点配置？

设受控系统能控能观，其状态空间表达式为 设状态反馈控制律为： 全维状态观测器： 由以上3式可得到带状态观测器的状态反馈闭环系统状态空间表达式

构造2n维复合系统： 定义误差

写成矩阵形式为 分离定理 若被控系统（Ａ，Ｂ，Ｃ）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行．

闭环极点的分离特性 传递函数的不变性

用状态反馈将闭环极点配置为-4＋j6,-4-j6。并设计实现状态反馈的状态观测器。（设其极点为-10,-10) 例8.5.5 设受控系统传递函数为 用状态反馈将闭环极点配置为-4＋j6,-4-j6。并设计实现状态反馈的状态观测器。（设其极点为-10,-10) 解：（1）由传递函数可知，系统能控能观，因此存在状态反馈及状态观测器。根据分离定理可分别进行设计。

(2) 求状态反馈矩阵K 写出状态空间表达式 令 对应特征多项式 期望特征多项式 由对应系数相等得

（3）求全维观测器 令 全维观测器方程为

8.6 李雅普诺夫稳定性分析 1、稳定性是控制系统的首要问题。 2、经典理论判稳方法及局限性。 3、现代控制理论判稳方法： 8.6 李雅普诺夫稳定性分析 1、稳定性是控制系统的首要问题。 2、经典理论判稳方法及局限性。 A、直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯－古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。 B、间接判定：方程求解－对非线性和时变通常很难。 3、现代控制理论判稳方法： [俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。 思路：构造一个李氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。

8.6.1 几个稳定性概念 一、系统： 二、平衡状态：

意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡，不再随时间变化，即 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统 坐标原点是唯一平衡点 2、非线性系统

3、李氏稳定

4、渐进稳定（经典控制理论中定义）

5、大范围渐进稳定

6、不稳定

8.6.2 李雅普诺夫稳定性理论 李氏第二法：直接判稳，构造一个李氏函数V(x)，根据V(x)性质判稳－－对任何系统都适用。 一、基本思想 8.6.2 李雅普诺夫稳定性理论 李氏第二法：直接判稳，构造一个李氏函数V(x)，根据V(x)性质判稳－－对任何系统都适用。 一、基本思想 举例如下

（二）虚构能量函数V(x)——李氏函数 既可以描述物理系统，又可描述社会系统，满足3个条件：

8.6.3 李雅普诺夫第二方法 说明：

小结： V(x)的构造方法是关键，但李氏方法未给出构造V(x)的一般方法。原理简单，实用困难。 重点理解：

几点说明 1）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数不是唯一的。 2）对于非线性系统能给出关于在大范围内稳定性的信息。 3）关于稳定性的条件是充分的，而不是必要的。 4）若不能找到合适的李雅普诺夫函数就不能得出该系统稳定性方面的任何结论。 5）李雅普诺夫函数只能判断其定义域内平衡状态的稳定性。 6）如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的，那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数一定是存在的。

例8.6.3 已知系统 试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。 解: 系统具有唯一的平衡点 解法1 取 则 因为除原点处外， 不会恒等于零。 当 时， 所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。

解法2 取 则 当 时， 所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。

8.6.4 李亚普诺夫方法在线性系统中应用 稳定性分析 定理: 系统在原点全局渐近稳定的 充要条件为方程 ,有唯一正定对称解. 证明：充分性：考虑系统 其中 令 如果 则 大范围渐近稳定。 必要性：略。

例: 分析下列系统稳定性 解：令 得 则由 矩阵P正定，因而系统的平衡点是大范围渐近稳定的