第三章 三角函数与解三角形 第三节 两角和与差及二倍角 三角函数公式
考 纲 要 求 1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
课 前 自 修 知识梳理 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝________________________(简记为Sα±β)； cos(α±β)＝_______________________(简记为Cα±β)； tan(α±β)＝________________(简记为Tα±β)． 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2α＝______________(简记为S2α)； cos 2α＝____________________________________ (简记为C2α)； tan 2α＝________(简记为T2α)． sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β 2sin α·cos α cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
基础自测 解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°·sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝ .故选C. 答案：C
考 点 探 究 考点一 正用和、差及二倍角三角公式求值
变式探究 (2)(2012·北京市东城区月考)已知sin α＝2cos α，那么tan 2α 的值为__________．
考点二 逆用和、差、倍角三角公式求值 解析：原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝ .故选A. 答案：A
变式探究
考点三 配角法(角的变换)的运用 思路点拨：(1)对于有条件限制的求值问题，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般采用配角与拆角的方法；(2)要注意和、差、倍角公式及平方关系的正用、逆用．
点评：在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是配角与拆角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，2α＋β＝2(α＋β)－β，2α－β＝2(α－β)＋β，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，β＝(α＋β)－α，β＝－(α－β)＋α等．变角主要是将所求角转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等．注意角的范围对函数值的影响．
变式探究
考点四 和、差及倍角三角公式的变形运用 【例4】 计算tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40°. ＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋ tan 20°tan 40° ＝ . 点评：不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉．
变式探究 4．(1)(2011·济宁市一模)已知α＋β＝ ，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是 ( ) A．－1 B．1 C．2 D．4 (2)已知A，B为锐角，且满足tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos(A＋B)＝________.
考点五 同角公式、和差倍角公式的综合运用 【例5】 (2011·广州市二模)已知sin α＝ ，α∈ ，tan β＝ .
变式探究
课时升华
2．两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数是高考的重点考查内容之一，同时也是三角部分中后继学习的基础，是多数考生得分的主要得分点之一．在复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式时应注意以下几点：(1)不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；(2)善于拆角、配角；(3)注意倍角的相对性；(4)要时刻注意角的取值范围；(5)化简要求；(6)熟悉常用的方法与技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等． 3．三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．第一，观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二，看函数名称之间的关系，通常“切化弦”．第三，观察代数式的结构特点．
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