研究生学位课： 现代电力系统分析 任课教师：葛少云

第二章 电力系统状态估计 第一节 概 述 考察任何目标的运动状态 x，如果已知其运动规律，则可以根据理想的运动方程从状态初值推算出任一时刻的状态。这种方法是确定性的，不存在任何估计问题。 如果考虑到一些不可预测的随机因素的存在，则这种运动方程是无法精确求解的。即使采取了各种近似处理，其计算结果也必然会出现某种程度的偏差而得不到实际状态(或称为状态真值)。 我们把这种环境叫做噪声环境，并把这些介入的和不可预测的随机因素或干扰称为动态噪声。干扰或噪声具有随机性。因而，状态计算值的偏差也具有随机特性。

在实际应用中常遇到的另一种情况是对运动目标的参数进行观测(或测量)以确定其状态。 假若测量系统是理想的，则所得到的测量量向量z是理想的，亦即可以用来确定状态的真值。但是实际的测量系统是有随机误差的，测量向量z不能直接通过理想的测量方程，亦即状态量与测量量的关系方程直接求出状态真值 x。 由上述两种情况可见，由于随机噪声及随机测量误差的介入，无论是理想的运动方程或测量方程均不能求出精确的状态向量x。为此，只有通过统计学的方法加以处理以求出对状态向量的估计值 。这种方法，称为状态估计。

电力系统的信息是通过远动装置传送到调度中心: 从以上介绍可以看出，状态估计可分为动态估计和静态估计两种。 按运动方程与以某一时刻的测量数据作为初值进行下一个时刻状态量的估计，叫做动态估计； 仅仅根据某时刻测量数据，确定该时刻的状态量的估计，叫做静态估计。 电力系统的信息是通过远动装置传送到调度中心: 由于远动装置的误差及在传送过程中各个环节所造成的误差，使这些数据存在不同程度的误差和不可靠性。 由于测量装置在数量上或种类上的限制，往往不可能得到完整的、足够的电力系统计算分析所需要的数据。

为解决上述问题，除了不断改善测量与传输系统外，还可采用数学处理的方法来提高测量数据的可靠性与完整性。因此，电力系统状态估计就是为适应这一需要而提出的。

从掌握电力系统运行情况的要求来看，总是希望能有足够多的测量信息通过远动装置送到调度中心，但从经济性与可能性来看，只能要求将某些必不可少的信息送到调度中心，通常称能足够表征电力系统特征所需最小数目的变量为电力系统的状态变量。 电力系统状态估计就是要求能在测量量有误差的情况下，通过计算以得到可靠的并且为数最少的状态变量值。

为了满足状态估计计算的上述需要，对电力系统的测量量在数量上要求有一定的裕度。通常将全系统中独立测量量的数目与状态量数目之比，称为冗余度。 只有具有足够冗余度的测量条件，才可能通过电力系统调度中心的计算机以状态估计算法来提高实时信息的可靠性与完整性，建立实时数据库。

由于电力系统远动装置的工作情况是会经常变化的，当远动信息量严重不足时，状态估计无法工作。在状态估计之前应先进行可观察性检验。如果系统中某些部分被判定是不可观察的，无法通过状态估计建立实时数据库，则应把它从状态估计的计算中退出来，或用增加人工设置的虚拟测量或称伪测量数据来使它变成可观察的。 协同状态估计进行工作的是不良数据的检测与辨识，如果有误差很大的，一般没有随机性的数据(也称不良数据)，就应该将它剔除，并重新进行状态估计，最终建立起完整的电力系统实时模型。

由于状态估计必须在几分钟内完成，因此它通常可以跟踪节点负荷的变化规律，在必要时可用来提供补充的测量量。因此，状态估计的计算结果也可以用于负荷预测。 电力系统状态估计的整个功能流程框图见下图。

潮流计算一般是根据给定的n个节点的注入量或电压模值求解n个节点的复数电压。方程式的数目等于未知数的数目。 为了进一步明确状态估计的概念，可以把状态估计与常规潮流计算作一比较。 潮流计算一般是根据给定的n个节点的注入量或电压模值求解n个节点的复数电压。方程式的数目等于未知数的数目。 潮流计算，一般用牛顿—拉夫逊法等求解2n个非线性方程组。 在状态估计中，测量向量的维数一般大于未知状态向量的维数，亦即方程式的个数多于未知数的个数。其中，测量向量可以是节点电压、节点注入功率、线路潮流等测量量的任意组合。 状态估计则是根据一定的估计准则，按估计理论的处理方法来求解方程组。

如图为状态估计与潮流计算两种方法的比较框图

根据上面对状态估计定义与功能的介绍，若电力系统的测量量向量为z，它包括支路功率、节点注入功率、节点电压模值等测量量，待求的系统状态量x是各节点的电压模值与电压相角。通过网络方程可以从估计出的状态量 求出支路功率、节点注入功率等的估计计算值 。如果测量有误差，则计算值 与实际值z 之间有误差 ，称为残差向量。 假定状态量有n 个，测量量有m 个。各测量量列出的计算方程式有m 个，当存在测量误差时，通过状态估计由测量量求出的状态量不可能使残差向量为零。但可以得到一个使残差平方和为最小的状态估计值 。

1970年F. C. Schweppe等人首先提出用最小二乘估计法进行电力系统状态估计。与之同时，J. P 1970年F.C.Schweppe等人首先提出用最小二乘估计法进行电力系统状态估计。与之同时，J. P. Dopozo 等人也提出使用支路潮流测量值的最小二乘法。 随后，R.E.Larson等人应用了卡尔曼滤波的递推状态估计算法。 至70年代末期，状态估计在电力系统中应用的效果已被肯定下来，并在数十个电力系统中得到成功的应用。 本章将着重基本概念的介绍，适当介绍算法。

第二节 电力系统运行状态的表征与可观察性 电力系统的运行状态可以用：节点电压模值、 电压相角、线路有功与无功潮流、节点有功 与无功注入等物理量来表示。 状态估计的目的：就是应用经测量得到的 上述物理量通过估计计算来求出能表征系统 运行状态的状态变量。

电力系统静态运行的状态变量，通常取节点电压模值与电压相角。 当有一个平衡节点时，N 个节点的电力系统状态变量维数为n =2N-1。 若电气接线与参数都已知，根据状态变量就不难求出各支路的有功潮流、无功潮流及所有节点的注入功率。

在估计中，状态变量需借助测量方程式，即联系状态向量与测量量向量之间的函数关系来间接求得。在考虑有测量噪声时，它们之间的关系为 z =h(x) + v 式中: z 为m 维的测量量向量； h(x)为测量函数向量 hT(x)＝[h1(x)，h2(x)，…，hm(x)] v为测量噪声向量，其表达式为 vT＝[v1，v2，…，vm]

经过前面的学习，我们很容易写出状态变量x与支路潮流的非线性函数表达式，称之为节点电压测量方程式；也可以写出节点注入功率与支路潮流的非线性函数表达式，称之为注入功率测量方程式。 上四式中：ei、fi分别为节点i电压的实部与虚部；gik、bik及Yik为形线路元件模型中的参数；而Gik，Bik为导纳矩阵元素。ui、ei、fi 和i 的关系如下

表列出五种基本的测量方式。第一种测量其维数为2N-1，显然没有任何冗余度，这在状态估计中是不实际的。第五种测量方式具有最高的维数和冗余度，但所需的投资太高。因此，实际电力系统测量方式是第一种到第四种的组合。 测量方式 z的分量 方程式h(x) z的维数 (1) 平衡节点除平衡节点外所有节点的注入功率Pi、 Q 式(2-4)、式(2-5) 式(2-9) 2N-1 (2) 除了(1)的测量外再加上所有节点的电压模值ui 3N-2 (3) 每条支路两侧的有功、无功潮流Pik、Qik，Pki、 Qki 式(2-6)、式(2-7) 4M (4) 除了(3)的测量外，再加上所有节点的电压模值 4M+N (5) 完全的测量系统 式(2-4)~式(2-7) 4M+3N

用测量量来估计系统的状态存在若干不正确或不精确的因素，概括起来有以下内容。 (1)数学模型不完善。 ①测量数学模型中通常往往包含有工程性的近似处理。 ②模型中所采用参数不精确 ③所采用的结构模型不能及时更新。 参数估计方法来解决 网络接线错误的检测与辨识来解决。

(2)测量系统的系统误差。这是由于仪表不精确，通道不完善所引起的。它的特点是误差恒为正或负而没有随机性。一般这类数据属于不良数据。清除这类误差的方法，主要是依靠提高测量系统的精确性与可靠性，也可以用软件方法来检测与辨识找出不良数据，并通过增加测量系统的冗余度来补救，但这仅是一种辅助手段。 (3)随机误差。这是测量系统中不可避免会出现的。其特点是小误差比大误差出现的概率大，正负误差出现的概率相等，即概率密度曲线对称于零值或误差的数学期望为零。在状态估计式(2-1)和式(2-3)中的误差向量v 就是指的这种误差。

测量的随机误差也就是噪声向量v是均值为零的高斯白噪声**，其概率密度为 式中：i 是误差vi 的标准差；方差i2越大表示误差大的概率增大。对zi进行多次测量后就可以用协方差Ri来表示不同时刻测量数据误差之间均值的相关程度 ** 高斯分布正态分布 白噪声(又称噪声过程):均值为零而谱密度为非零常数的平稳过程

通常当m≠0时，Ri=0；当m=0时，Ri=rii，这表示不同时间的测量之间是不相关的，在一般情况下，不同测量的误差之间也是不相关的。误差的概率密度或协方差很难由测量或计算来确定，因此在实际应用中常用测量设备的误差来确定。测量误差的方差为 式中：c1为仪表测量误差，一般取0.01~0.02；c2为远动和模数转换的误差，一般取0.0025 ~0.005；F为满刻度时的仪表误差；K为规格化因子。于是每个测量的方差为Ri = rii= i2 。

测量误差的方差阵，可以写成每个测量误差方差的对角阵为 电力系统状态能够被表征的必要条件是它的可观察性。如果对系统进行有限次独立的观察(测量)，由这些观察向量所确定的状态是唯一的，就称该系统是可观察的。在线性系统中，可以由式 z=h(x)+v 的雅可比矩阵H来确定:

只要m×n阶测量矩阵H的秩为n，则系统是可观察的，这表示通过测量量可以唯一地确定系统的状态量，或者说，测量点的数量及其分布可以保证系统是可观察的。在非线性系统中，可观察性问题虽复杂得多，但可观察的一个必要但非充分条件仍是雅可比矩阵H的秩等于n，每一时刻的测量量维数至少应与状态量的维数相等。 电力系统测量需要有较大的冗余度。有冗余度的目的是提高测量系统的可靠性和提高状态估计的精确度。保证可观察性是测量点布置的最低要求。 电力系统中出现异常大误差的数据，称为不良数据。查找出不良数据，并将其剔除也是建立实时数据库的基本要求。测量具有冗余度则是实现这一工作的基本条件。

第三节 最小二乘估计 前面已经提及，所谓静态估计就是用一定的统计学准则通过测量向量z求出状态向量 ，且使之尽量接近其真值x 。于是 就是一个估计值，估计值与真值之间的误差称为估计误差，表达式为 估计误差值 是n维向量。判断某一估计方法的优劣不是根据 中个别分量的估计误差值，而是根据 的整个统计特性来决定的。如果估计量的分量大部分密集在真值x的附近，则这种估计结果是比较理想的。因此， 的二阶原点矩 可以作为衡量估计质量的一种标志，称为均方误差阵(n×n阶)。如果所用的估计方法是遵循最小方差准则，则称这种方法为最小方差估计。

最小方差估计作为一种统计学的估计方法，要求事先掌握较多的随机变量的统计特性，这在电力系统状态估计实践中是难以做到的，不宜多采用。 本文介绍的最小二乘法则是一种非统计学的估计方法。 这种方法是在电力系统状态估计中应用最为广泛的方法之一。最早的最小二乘方法是高斯解决天体运动轨迹问题时提出的。优点之一是不需要随机变量的任何统计特性，它是以测量值z和测量估计值 之差的平方和最小为目标准则的估计方法。

由于电力系统中的测量函数向量h(x)是非线性的向量函数，无法直接求解。如果先假定h(x)为线性函数，则 则状态量的值x与测量值z间的关系为 z=Hx+v 式中：H为m×n矩阵，其元素为hij。 按最小二乘准则建立目标函数 J(x)=(z-Hx)T(z-Hx) 对目标函数求导数并取为零，即就可以求解出估计量 。

在这一方法中，对于任一个测量分量的误差 ，不论其值大小，均以相同 的机会参加进目标函数，亦即它们在目标函数中所占的分额均为一次。但由于各个测量量的量测精度是不一样的，因此它们以同样的权重组成目标函数是不尽合理的。为了提高整个估计值的精度，应该使各个量测量各取一个权值，精度高的测量量权大一些，而精度低的则测量量权小一些。根据这一原理提出了加权最小二乘准则，其目标函数可写成 JW(x)=(z-Hx)T W (z-Hx) 式中：W为一适当选择的加权正定阵，当W为单位阵时上式就是最小二乘准则。

假设W=R-1，R为测量误差方差阵，其中各元素为 于是目标函数可写成 J(x)=[z-Hx]T R-1[z-Hx] 或 要使目标函数为最小的条件是 亦即

求解上列方程组，得出xj值。写成矩阵方程式的形式，即 式中： 为状态量的解，亦即估计值。 估计值的估计误差为 由于通常测量误差v 的均值为零(称为无偏的)，所以估计误差的均值为 也是无偏的估计。

由于E(vvT)=R (测量误差方差阵)，故估计误差的协方差阵为 c =(HTR-1H)-1 在工程中往往以估计误差的协方差阵来衡量状态量的估计值与真值间的差异，估计误差的协方差阵为 由于E(vvT)=R (测量误差方差阵)，故估计误差的协方差阵为 c =(HTR-1H)-1 式中：[HTR-1H]称为信息矩阵。 [HTR-1H]-1的对角元随测量量的增多而减小，亦即测量越多时，估计出来的 就越准确，反之，当测量越少时，估计出来的状态量误差就越大。若有一个状态量xi 未被测量函数向量H所包含，则H中的i 列元素就为0。此时，HTR-1H的对角元便有0元素，其逆不复存在，因而失去了估计的可能性。

测量量的测量值与估计值的差，称为残差 r，表达式为 式中：W=I-H(HTR-1H)-1HTR-1称为残差灵敏度矩阵，为m×m阶阵，它表示了残差 与测量误差v之间的关系。 在工程应用中常以残差的协方差阵来衡量测量量估计值 与实际值z之间的差异:

测量量的估计值 与其真值H(x)差异的协方差阵为 式中：Q称为测量误差方差阵，其对角元表示测量误差方差的大小。若diag{Q}<R，表示状态估计可以提高数据的精度，亦即具有滤波作用。 以上是在h(x)为线性函数的前提下讨论的。但一般情况，h(x)为非线性函数，这就需要用迭代的方法求解。

h(x)=h(x(0))+H(x(0))x +… 式中：H(x(0))是函数向量h(x)的雅可比矩阵，其元素为 先假定状态量初值为x(0)，使h(x)在x(0)处线性化，并用泰勒级数在x(0)附近展开h(x)，即 h(x)=h(x(0))+H(x(0))x +… 式中：H(x(0))是函数向量h(x)的雅可比矩阵，其元素为 略去x的高阶项，则 J(x)=[z-h(x(0))-H(x(0))x]T R-1 [z-h(x(0))-H(x(0))x] =[z-H(x(0))x]T R-1 [z-H(x(0))x] 与前一样，以x为变量可得

应该指出，只有当x(0)充分接近 时泰勒级数略去高阶项后才能是足够近似的。应用上式 逐次迭代，可以得到 。若以(l)表示迭代序号，前两式可以写成 按上式进行迭代修正，直到目标函数 接近于最小为止。所采用的收敛判据可以有三种 上三式中：下标i 表示向量x中分量的序号，x、 J 和a 是三种收敛标准。其中式(1)表示状态修正量绝对值最大者小于规定的收敛标准，这是最常用的判据。 x可取基准电压模值的10-6~10-4。

经过l 次迭代满足收敛标准时，求得 ，即为最优状态估计值 。此时测量量的估计值是 。 当h(x)是x的非线性函数时，进行状态估计的步骤如下： (1)从状态量的初值计算测量函数向量h(x(0))和雅可比矩阵H(x(0)) 。 (2)由遥测量z和h(x(0))计算残差z- h(x(l))和目标函数J(x(l))，并由雅可比矩阵H(x(l))计算信息矩阵[HTR-1H]和向量 HTR-1[z- h(x(l))] 。 (3)解方程式(2-36)求取状态修正量x(l)，并取其中绝对值最大者 。 (4)用式(2-38)检查是否达到收敛标准。

(5)若未达到收敛标准，修改状态量 x(l+1)＝x(l) + x(l)，继续迭代计算，直到收敛为止。 (6)将计算结果送入不良数据检测与辨识入口。