例 1—19 一根长度为 的链条，放在摩擦系数为 的桌面上，下垂长度为 ，链从静止开时下滑，求其刚离开桌面时的速率。 例 1—19 一根长度为 的链条，放在摩擦系数为 的桌面上，下垂长度为 ，链从静止开时下滑，求其刚离开桌面时的速率。 解：利用功能原理 零势能面 利用积分牛顿定律

第八节 动量定理 动量守恒定律 研究力的时间累积及效果。 一 质点的动量定理 温故：设一质点在合力 （恒力) 的作用下，沿直线从A运动到B。 第八节 动量定理 动量守恒定律 研究力的时间累积及效果。 一 质点的动量定理 水平面 温故：设一质点在合力 （恒力) 的作用下，沿直线从A运动到B。 （恒力） 设力的作用时间为 故 ，大家已知道，据牛二律 有 这是一新的物理规律，告诉我们，物体受合力的时间累积与动量的增量关系。

平面 知新与发展：若合力 为变力，作用在物体上，物体由 运动到 。 由上式得 ，由牛二律 时刻 物理含义：该式与上式的本质相同，依然是由牛二律得出的，只不过讲的是一个新的物理规律，在力作用在物体过程中，质点某瞬时所受合力 （矢量）与该时刻附近的一无限小时间间隔 的积 与动量 （矢量）微小的增量 的关系。或讲 的变化与力的时间累积相联系着。是一微分关系式，

在 作用一段时间内 定义 合力的冲量，是矢量；也是一种作用。 动量 ：具有矢量性，瞬时性，相对性等特征。 动量的增量。 质点的动量定理： 质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。 的方向可以是沿 或 的方向，也可为其它的方向。

讨论 1 定理微分形式 反映了动量的增量，或微分 ，与合力的瞬时力方向同，动量的增量 与 联系着，尽管合力 是变力，在 微小时间内 可视为恒力。该式为一时间过程方程 。 2 合力为恒力时 3 分量式 （若二维时） （代数式） 4 求平均力

即 分量式 在一些复杂作用过程中，力是随时间变化的，很难用牛二律求出瞬时力，但知过程中的初，末动量或动量的增量，及过程发生所用时间，可求平均作用力。 5 牛二律的又一形式

人体与方向盘间的的气袋以保证紧急刹车时的安全。为何系安全带的原因。

力的冲量

例 1—20 求斜抛物体从抛出到运动到最高点过程中力的冲量。 设物体的初速度为 ，抛射角为 ，质量为 。 解：按公式 方向水平，大小为 其中 矢量关系图为 为什么 方向向下。 大小 另一种解法 联立求解。

例 1—21 如图所示，质量为 的钢性小球速度为 ，与一速度为 退行的硬墙壁进行完全弹性碰撞，则墙壁对小球的冲量为 多少。 例 1—21 如图所示，质量为 的钢性小球速度为 ，与一速度为 退行的硬墙壁进行完全弹性碰撞，则墙壁对小球的冲量为 多少。 解：以墙为参照系，取向右为正方向，球相对墙的动量，设墙的动量保持不变， 碰撞前球的动量 碰撞后球的动量 则墙壁对小球的冲量 墙对地 球对地

以地面为参照系，球向右为正方向，球的动量 墙对地 球对地 以地面为参照系，球向右为正方向，球的动量 碰撞前 碰撞后 可见，在二相对运动的惯性系内，被研究物体的速度，动量各异，然动量的变化及冲量相同，是因为所受合力与惯性系的选择无关。

例 1—22 力 作用在质量为 的物体上，求力在 到 间 的速度的增量。 解： 动量的增量 速度的增量 另一种解法的思路为 例题 例题 例题 例 1—22 力 作用在质量为 的物体上，求力在 到 间 的速度的增量。 解： 动量的增量 速度的增量 例题 例题 例题 另一种解法的思路为 例题

二 质点系的动量定理 物体系 系统 内力 外力 物体系 物体系 物体系

物体系 （1） （2） 对 和 分别运用质点动量定理 （1）+（2） ，考虑到一对内力之和为零，即 得

推广到N个质点组成的力学质点体系 即 为所选的质点系内各质点的动量的矢量和。 系统的动量 质点系的动量定理（积分式)：质点系所受合外力的冲量等于质点系动量的增量。

质点系的动量定理（微分式)：

1 合外力改变系统的总动量。内力不影响系统的总动量，但影响系统内各个物体的动量。因而，内力实现了系统内质点间的动量交换和传递。 点评 2 求平均力 在时间过程 内，系统的动量定理为 式中 为 内的平均力。

或 因 小， 在 时间内可视为恒力，平均作用力 可视为 时刻对体系的作用力。

经验谈 下面会看到，上述的表述式有广泛的应用，是牛二律所不能代替的。在运用物体系的动量定理时，1 要选好合适的物体系；2 在运用微分式时，在 时间内，力为 时刻的瞬时平均合外力，而关键正确地表示出 时刻体系的动量和 体系的动量，用式 求解问题。

例 1—23 如图示，下落到传送带上的质量为 ，求传送带的水平拉力。 例 1—23 如图示，下落到传送带上的质量为 ，求传送带的水平拉力。 传送带 解：直观理解与分析：传送带匀速运动，为何带还有拉力呢?这是因为，下落到带上的矿石在落到带上时，动量由竖直方向变到了水平方向，动量发生了变化，由动量定理知，水平方向的动量变化，必有力沿水平作用到落到带的矿砂上，此力由传送带提供。 研究。取向右为正方向。 时刻，快要与带接触，在水平方向上的动量为 1 解法一 选下落的一小部分矿砂

在 时刻落到带上，获得水平速度，水平方向的动量为 从直观理解， 在水平方向获得动量，必有水平方向的力作用在其上。 据动量定理的微分式，则有 2 解法二：取传送带上的质量 和下落中的接近带的质量 为一力学系统，为研究对象。取向右为正方向，用质点系的动量定理微分式，体系的水平方向的动量为

*** 然而，该题用牛二律无法求得力，因无加速度。注意用牛二律和动量定理的区别。

例 1—24 如图示，一初速度为 零 ，质量为 的车在水平恒力的作用下在光滑的水平面上向右运动。矿沙 以 下落，求车的速度和加速度的表达式。 按质点系的动量定理 解：设 时刻车的质量为 ，接近车的矿沙为 ，以二者为力学系统，或研究对象，取向右为正方向，则水平方向的动量为 其中

若使车保持匀速前进，求拉力。

例 1—25 一长为 质量为 的的柔绳一端恰与桌面接触。由静止自由下落，求下落 长时，绳对桌面的作用力。 例 1—25 一长为 质量为 的的柔绳一端恰与桌面接触。由静止自由下落，求下落 长时，绳对桌面的作用力。 解：直观理解和分析：落绳的过程中，桌面上的质量不断增加，与桌面间的作用力增加；同时，下落到桌面上的质量其动量由非零 变为零，即动量变化，桌面对其有作用力，故落绳对桌面有一冲击力。应综合考虑。 静止下落 如何求绳对桌面的冲击力，先考虑高中物理的一个问题：小球对桌面的作用力求法。 平均作用力 自由下落

故球对桌面平均作用力为 由动量定理得 1 解法一 可采用类比法，仿落球问题，求一连续下落的绳子对桌面的作用力，正所谓“温故知新”。取一接近桌面的质元 为研究对象（似球)。取向上为正方向。 静止下落 当 接近桌面时速度为 ，其动量

(靠近桌面瞬时) （落到桌面后瞬时) 由动量定理得 则 时刻已落到桌面上的部分对桌面的作用力为 故得绳对桌面作用力的大小为

由本题从中得到的启示 1 高中物理与大学物理在处理问题时的共性，类比性。 2 大学物理处理问题的广延性。 3 大学高数处理大学物理问题的灵活性及普适性。 4 温故知新，重在知新求新和创新，创造性和研究性学习。 2 解法二 以桌面上的落绳 和接近桌面的一质元 为质点系，为研究对象。取向上为正方向。

所选物体系的动量为 设桌面对所选体系的作用力为 ，则 结果同上。 3 解法三 对整条绳子运用动量定理的微分形式，取向上为正。 设 时刻，空中部分的质量为 ，桌面上部分的质量为 体系动量为 在 时刻， 中的 ( )质量落到桌面上

体系动量变为 由动量定理得 略去

4 解法四 取空中部分 为研究对象，取向上正方向。 体系动量 由动量定理得 略去 而桌面上已有部分 ，故对桌面的作用力为

经验谈 物体系（质点系）动量定理释义 最初由质点的牛二律得来，质量为 恒量。由以上的题目可知，此式在变质量的体系内也可用。选好体系，分别列出 1 时刻体系的动量 2 时刻体系的动量 质量增量以 计，速度增量以 计， 为 过程中的合外力。 则 最初由质点的牛二律得来，质量为 恒量。由以上的题目可知，此式在变质量的体系内也可用。选好体系，分别列出

三 动量守恒定律 若 则 1 矢量式。 2 分量式（在选定的坐标轴上写出分量式，为代数式）。 3 若体系所受合外力不为零，但在某一方向上的分力零，则在该方向上的动量守恒。 4 若内力远大于外力，可用动量守恒。 5 仅适合惯性系。 注意 6 内力可实现动量的转移；内力可做功，故物体系的机械能 不一定守恒。

例1—27 连有绳梯的气球，质量为 ，在绳梯上站一质量为 的人随球以匀速 上升，若人以速度 （对梯）上爬，则气球的速度变为多少? 解： 设人上爬时，气球的速度为 取气球与人为研究力学体系，不计体系所受的外力时，体系的动量守恒。取向上为正。 （对地向上），则

例 1—31 如图，体系开始静止，当摆线由水平摆到竖直时，车及球的速度。 例 1—31 如图，体系开始静止，当摆线由水平摆到竖直时，车及球的速度。 光滑 水平面 车 解： 体系机械能守恒。 体系水平方向动量守恒。 解得 如何求物体到达最低点时绳中得张力。

四 碰撞

几种典型的碰撞 演示1 1 完全非弹性碰撞 作用前 作用后 光滑水平面 结论： 1 动量守恒 2 机械能不守恒

2 完全弹性碰撞 演示2 作用前 作用后 光滑水平面 结论： 1 动量守恒 2 机械能守恒

3 非完全弹性碰撞 演示3 作用前 作用后 光滑水平面 结论： 1 动量守恒 2 机械能不守恒 3 恢复系数 碰撞中发生 了朔性形变 了弹性形变 作用后 作用前 光滑水平面 结论： 1 动量守恒 2 机械能不守恒 3 恢复系数

二维碰撞 光滑水平面 作用前 作用后 水平面内动量守恒 分量式（略） 演示4

两星体碰撞

质子和反质子碰撞 产生电子和正电子 正电子 电子

质子和质子碰撞 质子从左方射入与静止的质子碰撞

线性加速器

碰撞新释 碰撞的的意义有了新的内涵，在宇宙间，有大到天体之间的碰撞，如近年（1994年）发生的慧星与木星的碰撞。在微观领域中，粒子间的碰撞引起各种变化。如原子间的碰撞，使原子内的能态变化，受激发的原子发光等；电子与原子作用，如光电效应，以及光子被原子散射等。金属中的自由电子被晶格散射，晶格吸受和释放声子等。在高能物理的研究中，用对撞机及高能加速器，使粒子（电子，质子，中子等）高速碰撞（正负电子对撞机，质子与反质子对撞机等），发现新的物理现象及基本粒子等。再有，电子与正电子碰撞生成一对光子等。由 裂变产生的中子速度可达 ，必须使其与减速剂重水（或石墨）作用，必须使减速后，在进行下一步裂变。这一过程是弹性碰撞，使中子速度变为 。一句话，碰撞是一种极其复杂的物理过程。

例 1—28 如图，质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向左滑行，一质量为 的小球以速度 向左飞行，与斜块碰撞后，以速度 向上飞去，若碰撞的时间为 ，计算滑块对地面的平均作用力及其动量的增量。 解：解题分析：以 为物体系。注意，本题动量不守恒，仅水平方向动量守恒。设作用前，滑块的速度为 ，作用后 ，并取向左为正方向，则有 故滑块动量的增量为 动量的传递与交换源于内力的冲量。

+MV-MV0 求地面对大木块的作用力。 选取 为物体系。 滑块对地面的平均作用力 。据系统的动量定理， 取向上为正方向,则在竖直方向有 滑块对地面的平均作用力 。据系统的动量定理， 选取 为物体系。 求地面对大木块的作用力。 略去了 的重力。 取向上为正方向,则在竖直方向有 +MV-MV0

另一种方法，先求 对 的作用力，由质点的动量定理 取向上为正方向，在竖直方向上分量式 则 不难得出，斜面对地面的作用力大小为 在 与 作用中，作用力是变力，而且无法确定加速度，故无法用牛二律求解。

例 1—29 如图，求小球粘在框架地板上后，框架下降的最大距离。 例 1—29 如图，求小球粘在框架地板上后，框架下降的最大距离。 解：解题思路 动量守恒律 零势能面 据机械能守恒律

*** 在框架向下运动时，还有何法求其向下下降的距离 ： 提示 1 动能定理 2 动量定理 3 积分牛二律 请自行练习完成。

例 1—30 质量为 的人手里拿着一质量为 的物体。用以与地平线成 角的速度 向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对速度 水平向后抛去。问由于物体的抛出，跳的距离增加多少。 解： 最高点处，抛物时水平方向动量守恒。 为人抛物后的速度。 速度增量为

例 1—32 一质量为 的木块置于光滑的水平面上，其上有一半径为 的光滑圆弧，如图示。当质量为 的小球沿圆弧由 运动到圆弧的底部 时，二者的速度。 解：本题的特点是,作用中，体系沿水平方向动量守恒，取向左为正方向。在最底点时，设大木块及球对地均向左运动，则有 解（略） 过程中，对体系，仅重力作功，故机械能守恒，则 *** 物体系在竖直方向的动量是否守恒，为什么? 的动能来自何方?哪些力对 做功； 与 间的一对内力功之和为多少?

若 运动到 时。 解： 对地速度为 ，而 对地的速度为 。 因系统动量守恒，则 因系统的机械能守恒，则 以上关于系统动量守恒的表述不对。

系统沿水平方向动量守恒。 设 的相对速度为 系统的机械能守恒，则 可求得 正确解法：

第九节 火箭飞行原理 火箭是高科技的产品，火箭飞行过程中，因不断喷射物质而质量变化，飞行中可运用动量定理，分析其所受推力。 火箭 第九节 火箭飞行原理 火箭是高科技的产品，火箭飞行过程中，因不断喷射物质而质量变化，飞行中可运用动量定理，分析其所受推力。 火箭 喷射物 时刻火箭的动量为 火箭 喷射物 火箭 喷射物 为喷出物 相对火箭的速度。 在 时间内，火箭喷出的质量为 时刻体系的动量为 因 减小， 若不计重力及空气阻力等。体系的动量守恒。 展开此式，略去 演示

初速度, 末速度。 推动力 推动力与 有关。

设 考虑重力,据物体系的动量定理 则 火箭 喷射物 火箭自身受外力

而 得

大型喷气客机

鱼类利用反冲作用前进

第 九 节 角动量定理 角动量守恒定律 一 质点的角动量 如图，对某惯性系，质点的动量 质点的角动量 式中的 为质点相对固定点 的矢径。 角动量是矢量。 方向：垂直于 和 所决定的平面，沿 （右手螺旋法则）的方向。 大小 角动量取决与固定点位置的选择，同一质点，相对与不同的固定点，其角动量有不同的值。 质点做圆周运动时的，对圆心的角动量大小为 单位

质点动量的变化率由质点受的合力决定。质点角动量的变化率由什么决定呢？ 二 质点的角动量定理 质点动量的变化率由质点受的合力决定。质点角动量的变化率由什么决定呢？ 质点角动量对时间的变化率 则 式中的 称为质点所受合外力对此固定点的力矩。 力矩为矢量；方向，右手螺旋法则。 大小 （合力）

结果有 质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，称为质点的角动量定理。 积分有 称为合外力的冲量矩。则 质点所受合外力的冲量矩等于质点角动量的增量，称为质点的冲量矩定理。 若 ，则 ，称为质点的角动量守恒定律。

三 质点系的角动量定理 角动量守恒定律 有若干质点，对惯性系内的同一固定点的角动量的矢和，称为质点系统的角动量，记为 对系统内的第 个质点，据角动量定理，有 式中 为第 质点受系统外物体的作用力； 为受系统内第 质点内力。 将系内所有质点求和，有 第一项为表示各质点所受的各外力矩的矢量和。 系统

为表示各质点所受的各内力矩的矢量和。 系统 由于内力 和 成对出现，与之相对的内力矩也成对出现，对 和 两个质点来说，二者的相互的作用力之和为 图示。 结果，有 即质点系所受的合外力矩等于质点系角动量对时间的变化率，称为质点系的角动量定理。

若 则 系统的角动量守恒，称为系统角动量守恒定律。

第 十 节 质心运动定理 一 质心 质量中心 或 若连续体

二 质心运动定理 得 此式称为质心运动定理。 结论 质点系的总动量为它的总质量与质心的速度之积。 而 有 其质心运动如同一质点，集中了体系的总质量 质心速度

*** 意义与应用（如交通工具等)。

注意：体系受的外力改变体系的运动状态，使体系的 变化，但不一定改变体系的机械能。 和 即是这种力；内力虽然不改变体系的状态 ，但有时对体系做正功或负功，从而改变体系的机械能等。

质心轨迹 质心运动轨迹

例 1—26 一质量为 的人，站在一质量为 ，长度为 的船头。开始时船静止，不计水的阻力，求人走到船尾时，船移动的距离。 例 1—26 一质量为 的人，站在一质量为 ，长度为 的船头。开始时船静止，不计水的阻力，求人走到船尾时，船移动的距离。 解： 人和船组成的系统，在水平方向上受外力为零。 船行方向 人相对船运动的方向 或 取船行向右，方向为正，设船的对地位移为 ；而人的位移为 ，对地。则有 则

经验谈 扩大解题思路。 时 1 若 则，质心以最初的速度惯性运动。 1 若 则，质心以最初的速度惯性运动。 即各物体的质量与其绝对速度（对惯性系的速度）之和为恒矢量。在过程中，各物体间动量通过内力可以交换和传递。 2 若质心开始静止，恒静， 则 即各物体对惯性系的动量矢和为零。在过程中，各物体间动量通过内力可以交换和传递。

即各物体的质量与其绝对位移（对地）之积的和为零。 积分得 3 若质心开始静止，恒静，则 然而，以上情形，内力可做正功或负功，使体系的机械能改变，以及实现机械能与其它形式能的转化。 4 在过程中，各物体间因内力作用可有各自的加速度。

今 日 物 理 一 对称 对称美 物理定律的对称性 物理定律的对称性是指经过一定的操作后物理定律的形式保持不变。因此物理定律的对称性又称不变性。 如：平动对称性， 转动对称性，洛氏变换对称性。 破缺美 二 宇称守恒和不守恒 空间反演的对称性：物理规律经空间反演不变（保持对称性） 和空间反演相对应的守恒量称为宇称。 宇称守恒和不守恒。

Highlights 精萃 经典力学在二十世纪中的重大发展 相对论 Theory of relativity 高速世界 量子力学 Quantum mechanics 微观世界 力学混沌 Chaos 不确定性 内在随机性 三大进展已经作为理论基础渗透到所有自然学科，乃至社会学科。

位矢，速度，加速度的特征： 一 质点运动学 位矢，位移，速度，加速度的特征： 相对性，矢量性，叠加性。 相对性，矢量性，瞬时性，叠加性。 基本运算思路 1 2

二 牛顿定律 1 在惯性系和非惯性系的表述特点，区别。 2 已知力求速度，加速度。分离变量法。 惯性系下的牛二律 分量式（略） 非惯性系下的牛二律 分离变量法解题。

三 功与能 1 功 2 机械能 动能 势能

3 功能关系 当 四 动量原理与动量守恒律 当

朝辞白帝彩云间。千里江陵一日还。 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 学习自然科学的过程有如跨越千山万水，必需付出极大的努力。 下一章 返回