材料电子显微分析 8 衍射必要条件 燕山大学 材料电子显微分析

（a）布拉格定律推导用图： 一个晶面内原子的衍射 8.1 布拉格定律（Bragg’s Law） （a）布拉格定律推导用图： 一个晶面内原子的衍射 图(a)中画出了垂直于纸面的一列晶面，其指数为(hkl)，晶面间距为d。波长为的射线被晶面1上原子A、B、C散射，入射束的波前在P、Q、R位相相同，当散射束的方向满足“光学镜面反射条件”时，各原子的散射线位相相同，因为此时任意两相邻原子的散射线的光程差为零： 此时为干涉加强——发生衍射。由此看来，一个晶面内原子对射线的衍射可以在形式上看成是原子面对入射线的反射。

(b)布拉格定律推导用图： 两层原子面法线方向相邻2原子的衍射 8.1 布拉格定律（Bragg’s Law） 射线穿入晶体多层原子面时，每一层上相邻原子的散射线在满足“镜面反射”时发生衍射，但对法线方向两层相邻的原子A和A来说，则要满足散射线光程差为射线波长的整数倍时才能干涉而发生衍射。如图（b）。 (b)布拉格定律推导用图： 两层原子面法线方向相邻2原子的衍射 (8-1) 其中n为反射级数，n＝0, 1, 2, , 称为半衍射角。该式为1912年英国物理学家布拉格父子从实验中得出的，能说明晶体衍射的基本关系，称为布拉格定律。它是衍射发生的必要条件。 注意：布拉格定律还要满足以下条件： 1.入射线、反射线和反射晶面法线须在同一平面内(三线共面）。 2.由于 ，故n≤ 2d，当n＝1时， ≤ 2d,或d≥/2，只有面间距d≥/2的干涉晶面能得到衍射——衍射极限。

8.1 布拉格定律（Bragg’s Law） 由布拉格定律： 若d为(hkl)的面间距，则d /n为(nh nk nl)的晶面间距，(nh nk nl)称为干涉晶面，其指数称为干涉指数，一般用（HKL）表示。就是说晶面(hkl)的n级反射，可看成是与(hkl)平行、面间距为dhkl /n的干涉晶面(nh nk nl)的1级反射。例如(100)晶面的2级反射，可看作为(200)晶面的1级反射。因此引入干涉晶面后，布拉格方程简化为2d sinθ =（d为干涉晶面的面间距）。

8.2 衍射条件的矢量方程－劳厄方程 如图，以s0和s分别表示入射和衍射方向的单位矢量，则s-s0必垂直于衍射晶面(hkl)。设晶面 (hkl)的倒易矢量为r*=ha*+kb*+lc*，则s-s0∥r* 。令 衍射矢量图 s-s0=Cr* （C为常数） （8-2） 将上式两端取绝对值，由图求出 s-s0=2s0sin， 而Cr*= Cr*=C·1/dhkl，则有 C=2dhklsin 。由布拉格定律知， C=，代入式(8-2)得： s-s0=  r* ，改写成 (8-3) 此即倒易空间表示衍射条件的矢量方程，也称倒易空间的劳厄方程。实质是布拉格方程的矢量形式。

8.2 衍射条件的矢量方程－劳厄方程 将式(8-3)两端分别乘以a、b、c得： (8-4) 设衍射束单位矢量s与点阵三个晶轴a、b、c间夹角分别为1、2、3；入射束单位矢量s0与点阵三个晶轴a、b、c间夹角分别为1、2、3。则式(8-4)化为 (8-5) 注： 此即劳厄方程组

8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 可知， 由衍射矢量方程 衍射矢量三角形 三个矢量构成等腰三角形，如图。它表明入射线方向、衍射线方向和倒易矢量间的几何关系。当一束射线以一定方向投射到晶体上时，可能有若干个晶面满足衍射条件，可在若干方向上产生衍射线。即以公共的腰s0/存在若干个等腰三角形， 这些三角形均以s0/矢量的起点为三角形的共同顶点，而末端点为各三角形一个底角的公共顶点，也是倒易点阵的原点(因为它是倒易矢量的起点)。那么三角形另一底角的顶点为倒易矢量的终点，是满足衍射条件的倒易阵点。由几何关系可知，这些满足衍射条件的倒易阵点必定位于以等腰三角形公共顶点为球心，以1/(s和 s0均为单位矢量)为半径的球面上。据此，厄瓦尔德提出了倒易点阵中衍射条件的图解法，即厄瓦尔德图解法，作图方法如下：

8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 沿入射线方向作长度1/（倒易点阵周期与之采用同一比例尺度）的矢量s0/，并使该矢量的末端落在倒易点阵的原点O*。以该矢量的起点C为中心，以1/为半径作球，称为反射球，凡是与反射球面相交的倒易阵点(如P1和P2)都能满足衍射条件而产生衍射。则P1O*C、P2O*C构成衍射三角形。 分别为倒易阵点P1和P2的衍射方向，而 分别表示满足衍射条件晶面族的取向和面间距。

8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 要说明的是，厄瓦尔德图解、布拉格方程和劳厄方程是描述衍射几何的等效表达方法。由其中任何一种表达式都可以推出另外两种表达式，这由衍射矢量方程(8-3)容易得到。该方程是图解法的根据，是布拉格方程的矢量形式，且两端分别乘以a、b、c便可以得到劳厄方程组。 由上面讨论的产生衍射的条件可以看出，并非随便把一个晶体置于射线下照射都能产生衍射现象。例如，一束单色射线照射到一个固定不动的单晶体，就不一定能产生衍射，因为在这种情况下，倒易阵点有可能不在反射球面上。

8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 讨论衍射极限条件：根据厄瓦尔德图解，倒易矢量最大值即为厄瓦尔德球的直径2 /λ，对应最小的晶面间距λ/2 。故，只有晶面间距d≥λ/2的晶面才能给出衍射； d<λ/2的晶面不能给出衍射。

8.3 衍射条件图解法－厄瓦尔德图解 由前面所讲内容可知，衍射条件可以由三个方式给出： （1）布拉格方程，即衍射条件的标量方程。 （2）劳厄方程，衍射条件的矢量方程。 （3）厄瓦尔德图解。 由晶体散射的干涉加强，导出了布拉格方程，通过引入倒易点阵，建立起劳厄方程，再由劳厄方程的几何矢量关系，建立了衍射条件的厄瓦尔德图解法。这是衍射的必要条件，即：如果不满足该条件，则不能产生衍射；满足该条件也不一定能产生衍射！产生衍射必须在满足布拉格方程的前提下，还要满足其它条件——下面要讲到的“结构因子不为0”。 前面讲的是第8节——衍射必要条件，下面将讲解第9节——结构因子、系统消光与倒易阵点权重。