--球的体积和表面积-- 西伯利亚
棱柱的展开图 正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ h a 正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图 正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 侧面展开 正棱锥的侧面展开图
棱锥的展开图 正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ h' h' 侧面展开 正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． 棱柱、棱锥、棱台的表面积 h' 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
圆柱的表面积 O S侧= 圆柱的侧面展开图是矩形
圆锥的表面积 S侧= O 圆锥的侧面展开图是扇形
圆台的表面积 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ． S侧= O O’ S侧 圆台的侧面展开图是扇环
三者之间关系 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？ O O O’ O r’＝r r’＝0
小结 棱柱、棱锥和棱台的体积公式： v= 当s=s'时为棱柱体积公式v=sh. 当s=0为棱锥体积公式v=.
怎样求球的体积?
球的体积 分割 求近似和 化为准确和 即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
球的体积 已知球的半径为R,用V表示球的体积. A O A O B2 C2
球的体积 A O R O
球的体积
球的体积
定理:半径是R的球的体积
3. 球的表面积 半径是R的球的体积： 球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。 它包括球面和球面所包围的空间。 半径是R的球的体积：
球的表面积 球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢? 下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式． 1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积. 2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
球的表面积 球面被分割成n个网格，表面积分别为： 第一步：分割 O 则球的表面积： 则球的体积为： O
球的表面积 第二步：求近似和 O O 由第一步得：
球的表面积 第三步：化为准确和 如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥 O
定理 半径是 的球的表面积： 球的表面积是大圆面积的4倍 R
6 4 R S p = + Q 例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证: (1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. R (1)设球的半径为R, 证明: 得: 则圆柱的底面半径为R,高为2R. O (2) 2 6 4 R S p = + 圆柱全 Q
例题讲解 注：正方体顶点都在球O的球面上时 例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 A B C D D1 C1 B1 A1 O 分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 A B C D D1 C1 B1 A1 O 注：正方体顶点都在球O的球面上时
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍. 练习 8 1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍. 2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3. 3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比__________________. 球直径等于正方体棱长 球直径等于正方体面对角线 球直径等于正 方体体对角线
解题小结： 1、多面体的“切”、“接”问题，必须明确“切”、“接”位置和有关元素间的数量关系，常借助“截面”图形来解决。 2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决，并注意方程思想的应用。 3、注意化整为零的思想的应用。 4、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一，外接球半径等于其高的四分之三。
课堂小结 了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用； 熟练掌握球的体积、表面积公式：