数学文化中的 初等教育学院 李林波

数学文化中的 《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“简要介绍圆周率的历史，使学生领略与圆周率有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值（如圆周率值精确已成为平价电脑性能的最佳方法之一）；结合有关教学内容介绍古希腊季中国古代的割圆术，使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵……”

 圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在 用256/81（约3  圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在 用256/81（约3.1605）作为π的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求π的努力。

什么是圆周率？ 圆周率是圆周与直径之比 习惯以  表示圆周率   3.14、3.1416、22/7 圆周率有何重要？

 的应用 圆周公式： C = 2r 圆面积公式： A = r 2

 的应用 球体面积公式： A = 4r 2 球体体积公式： V = 4/3r 3

符号  的起源 1632 年，英國数学家奧特雷德（William Oughtred, 1574  1660）首先以 “/” 來表示圆周率。 希腊文中，圆周为“”，直径为 “”。 1736 年以后，瑞士数学家欧拉开始提倡以 “” 表示圆周率。 到了今天， “” 已经成为圆周率的「代号」了。

圆周率的历史发展阶段 初期：实验法和几何法 中期：分析法 晚期：计算机的介入

实验及直观时期 古时，人类对圆周率只有一个粗略的概念。  值的计算多以直观或量度而得。 《舊約聖經．列王紀上卷》第 7 章第 23 节有以下的记载： 「他（指所羅門王）又鑄造了一個銅海，樣式是圓的，高五肘，徑十肘，圍三十肘。」 换句话说，当时的人认为  = 3。 肘：〔音爪〕

实验及直观时期 在中国，在汉代以前，人们也都认为  = 3。 约于公元前一世紀写成的《周髀算经》中，就有「圆径一而周三」的说法。 后汉的天文学家张衡（78  139）认为圆周率为 92/29  3.1724。 髀：〔音比〕 同时也用 10  3.1623 表示圆周率。

阿 基 米 德 法

几何法时期 阿基米德（Archimedes, 287 B.C.  212 B.C.） 阿基米德利用了几何方法，计算出以下结果： 阿基米德的方法與劉徽的差不多，故在講座上祇介紹劉徽的方法。 即 3.1408 <  < 3.1429 或   3.14。

內外正六边形

內外正十二边形

24、48、96…从圆內接正多边形和圆外切正多边形同时入手，里外两个正多边形去逼近圆面积。 他计算出圆內接正96边形与圆外切正96边形的周长，取得圆周率的近似值 「 」 阿基米德数

割圆术 刘徽（生于公元三世紀） 三国魏晋時代人。 中国古代杰出的数学家。 魏景元四年（即 263 年）为古籍《九章算术》作注释。 在书中，他提出了一个计算圆周率的方法。我们称这方法为「割圆术」。 魏景元為魏朝最後的一個年號，當時的皇帝是曹奐，號魏元帝。

刘 徽 割 圆术

正六边形

正十二边形

正二十四边形

割圆术

割圆术 先作一个半径为 1 单位的圆。 然后作內接正六边形。 由此逐步算出 2n  6 內接正多边形的周界。（n = 1 , 2 , 3 , …） 刘徽认为：「割之弥細，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣！」 劉徽的方法（阿基米德的方法亦同，）其實亦有上、下限的概念，但在講座中將不會談及。 彌：〔音尼〕 刘徽一直计算到 96 边形的周界，得   3.14 的结果。

祖冲之 祖冲之（429  500） 中国南北朝時代的数学家、天文学家、文学家和工程师。 他应用刘徽的「割圆术」，算出圆周率小数点后七位的正确数值。

《隋書．律曆志》 3.1415926 <  < 3.1415927 約率： 密率： 「宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率：圓徑七，圓周二十二。」 祖沖之的方法已失傳，故無法知道他使用那個內接多邊而求得上述結果。 「宋末」指南朝的宋朝。南朝為「宋齊梁陳」。 朒：〔挪玉切〕〔nuk9〕 參考音：服〔fuk9〕 3.1415926 <  < 3.1415927 約率： 密率：

祖冲之的成就 祖沖之计算出的圆周率精密度相当高，之后的九百多年中，世上再沒有人能够计算出更佳的圆周率结果。 可惜在《隋書．律曆志》卻有以下記載： 「指要精密，算氏之最者也。所著之書，名為《綴術》，學官莫能究其深奧，是故廢而不理。」 《綴術》一书已经失传！ 有說《綴術》一書可能流傳往日本，或者會從日本的古籍中找到，但希望和機會不大了。

 阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切96边形夹逼的方法证明了 由 和 导出  公元5世纪，祖冲之指出 比西方得到同样结果几乎早了1000年

阿尔·卡西 阿尔·卡西（Ghiyath al-Din Jamshid Mas‘ud al-Kashi, 约 1380  1429） 中亚西亚地区的天文学家、数学家。 于撒马尔罕天文台工作。 1424 年，发表了圆周率的 17 位准确数字。 他生於卡尚，今伊朗德黑德南部的城巿。 撒馬爾干天文台位於今烏茲別克境內東南部，一個以回教建立的城巿，一個美麗的古城。

范柯倫 范柯倫（Ludolph van Ceulon, 1540  1610） 德国人，但长期居于荷兰。 1610 年，算出有 35 位的  值。 德语中，圆周率被为 “Ludolphsche Zahl”。

 十五世纪中叶，阿尔·卡西给出π的16位小数，打破了祖冲之的纪录  1579年,韦达证明  1630年,最后一位用古典方法求π的人格林伯格也只求到了π的第39位小数

分析方法 从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求π的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求π近似值的实例。

分析时期 1671 年，苏格兰数学家格雷哥里（James Gregory, 1638  1675）发表了以下数式： 1674 年，德国数学家莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646  1716）将1 代入 x 得： 韋達、華理斯、萊布尼茲三位的數式都有一個共同的缺點：就是收歛的速度非常之慢。 格雷哥里公式的證明可參考《Breakthrough Pure Mathematics Calculus and Coordinate Geometry》2nd Edition, p.415

一百位小数 1706 年，英国数学家梅欽（John Machin, 1680  1751）建立了一个重要公式： 利用此式，再加上前面的「格雷哥里公式」，他计算出圆周率小数点后一百位的数值。 梅欽的譯音很多，其中有書譯成「馬信」或「馬陵」。 欽：〔音音〕 令 A = tan-1(1/5)，從而 tan A = 1/5， 則 tan2A = (2 tan A)/(1 - tan2A) = 5/12。又，類似地，tan4A = 120/119。 設 B = 4A - ， 則 tan B = tan(4A - ) = ((120/119) - 1)/(1 + (120/119)) = 1/239。 由此得  = 4A - B = 4 tan-1(1/5) - tan-1(1/239)。 參考自：《數學的猜想與發現》溫光編著，地質出版社  = 3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 … …

欧拉 欧拉（Leonhard Euler, 1707 - 1783） 瑞士数学家。 “” 符号的倡义者。 13岁入大学，17岁取得硕士学位，30岁右眼失明，60岁完全失明。

欧拉公式 2/6 那公式的證明，可見《天才之旅》一書。 公式參考自《神奇的 》布拉特納著，商周出版

欧拉公式

 1656年，沃里斯(Wallis)证明 取 取

 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有 当

取 取

 在中学数学中证明过下面的等式 A C B D 左边三个正方形组成的矩形中， 由 和 可得 和 的展开式的收敛速度都比 快得多

 麦琴(Machin)给出 (Machin公式) 记 ， ，得 此式求得了π的第100位小数且全部正确

蒲丰拋针 蒲丰（Comte de Buffon, 1707  1788） 法国数学家。 在 1777 年刊行的《或然算术实验》一书中，导入了一条著名的问题。

蒲丰拋针 设在一个水平面上，画一些距离相等的平行线。设该距离为 a。如果把一根质量均勻，长度为  的小针，（  < a，）任意地拋掷到这一平面上， 公式證明見《概率萬花筒》蕭文強、林建合著，廣角鏡出版社，46及47頁 或《的今昔》寧挺，福建教育出版社，58至60頁

蒲丰拋針 那么这根小针能和某一直线相交的概率是多少？

蒲丰抛针 資料來自《概率萬花筒》蕭文強、林建合著，廣角鏡出版社，第5頁及《的今昔》寧挺，福建教育出版社，第60頁

其它方法 除用古典方法与分析方法求π的近似值以外，还有人用其他方法来求π的近似值。这里我们将介绍两种方法： 概率方法 数值积分方法

 概率方法 取一个二维数组（x,y），取一个充分大的正整 数n，重复n次，每次独立地从 （0，1）中随机地取一对 数x和y ，分别检验x2+y2≤1是否成立。 设n次试验中等式成立的共有m次，令π≈4m/n。 但这种方法很难得到π的较好的近似值。

数值积分方法 还可用其它数值积分公式来求，但用此类方法效果也很难做得比用幂级数展开更好

计算机时期 1949 年 美國 ENIAC 電腦計算  到 2037 位小數 1961 年 IBM 7090 型電腦把  計算到 100265 位小數 1967 年 CDC 6600 型電腦把  計算到 50 萬位小數 1973 年 計算到 100 萬位小數 1983 年 已算到 8,388,608 位小數 1987 年 2936 萬位小數 1990 年 楚諾維斯基兄弟（The Chudnovsky Brothers）計算出 10 億位小數 1997 年 安正金田等人計算至 510 億位小數 今天 計算仍然繼續……

 的一个重要性质 兰伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728  1777） 原籍瑞士的德国数学家 1761 年，他证明了  不能表示成分数，即  不是一个有理数。  是一个无理数。 證明見香港大學入學試1978年題目。 或《Introduction to Elementary Calculus》Third Edition, Hsieh Shin Ru, p.276, Ex9.129

无处不在的  高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855） 德国数学家。 计算出统计学上「正态分布」曲线的公式。 公式證明見《Applied Statistical handbook》Second Edition by W.K.Chu, Educational Publishing House Ltd., pp.64-6

Further Reading [1]梁宗臣：《数学历史典故》，第213页。 [3]华罗庚著：《华罗庚科普著作选集》，上海教育出版社，1997年版。 [4]郑毓信著：《数学方法论》 [5]王晓勤：《圆周率议案始末》，《中学数学教学参考》2003年第9期，62-64。 [6]中国的一页沧桑 [7] 是文化的一面镜子