第一章 静电场 1.1 库仑定律与电场强度 1.2 电势与电势差 1.3 电容与静电场的能量

相对于观察者静止的电荷在其周围空间所产生的电场称为静电场。我们知道，电场是客观存在的一种特殊形态的物质，电荷之间的相互作用是通过电场来实现的。除了电荷在其周围空间产生电场外，变化的电场在周围空间也产生电场(将在第3章中介绍)，电场最基本的特性是对任何置于其中的电荷都有力的作用。 本章中主要描述静电场的电场强度、电势、电容、电介质等基本概念及库仑定律、高斯定理等主要规律。在对称分析的基础上应用高斯定理求电场强度的普遍意义在于使学生了解和掌握对称分析这一近代科学的基本分析方法。就思维方法来讲，这对整个电磁学(乃至所有的基础科学)都具有典型意义。 As

1.1 库仑定律与电场强度 1.1.1电荷的量子性 我们已经知道，除了用摩擦的方式使物体带电外，还可以用感应等方法起电。物体所带电荷的多少称为电量，常用Q或q表示。在国际单位(SI)制中，电量的单位名称为库仑，符号为C。 实验证明，自然界中的电荷总是以一个基本单元的整数倍出现，这一特性叫做电荷的量子性。实验已经测出电荷的基本单元就是一个电子所带电量的绝对值，常用e表示

实际物体所带电量应为q=±ne(n为正整数)。本章所涉及的宏观物体所带电荷常常是基本单元电荷的许许多多倍，以至于在宏观数值中反映不出电荷的量子性。例如，220V，25W的白炽灯正常工作时，每秒通过其灯丝的基本电荷大约有6×1017个。因此，在研究宏观带电物体时，我们常把电荷当作连续变化量对待。

1.1.2 点电荷 在所研究的问题中，带电体的形状、电荷分布可忽略时，该带电体就可看作一个带电的点，叫点电荷。显然，点电荷是个相对概念，视问题所要求的精度而定。点电荷是一种理想化的物理模型。当带电体不能作为点电荷处理时，可以把带电体划分为许多可视为点电荷的电荷元来处理。

1.1.3 电荷守恒定律 实验指出，对于一个没有净电荷出入其边界的系统，其中正、负电荷电量的代数和将保持不变，这就是电荷守恒定律。在宏观上，物体的带电过程或被中和的过程，都是电荷从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分的过程。在微观中，电荷的产生和消失，也不违背电荷守恒定律。例如，电子对的“产生”或“ 湮灭”过程中，正负电荷总是成对出现或成对消失，可见，这种电荷的产生和消失并不改变系统中电荷数的代数和。因此，电荷守恒定律也可表述为：正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。 电荷守恒定律是自然界中的基本守恒定律之一。

1785年，法国科学家库仑用扭称实验总结出真空中的两个点电荷之间的作用规律——库仑定律，用公式表述为 1.1.4 真空中的库仑定律 1785年，法国科学家库仑用扭称实验总结出真空中的两个点电荷之间的作用规律——库仑定律，用公式表述为 (1.1) 上式中，q1和q2分别表示两个点电荷电量 (含正、负号)，r表示两个点电荷之间的距离， 表示从q1指向q2的单位矢量， 表示q1对q2的作用力，k是比例系数，其值与式中各量所选用的单位有关。

在国际单位制中，r用m作单位，F用N作单位，q用C作单位，则 在国际单位制中通常引入另一常量ε0来代替k，使 于是，真空中库仑定理的形式就可以写成 (1.2) 式中，ε0 称为真空介电常数（或真空电容率），其值和单位为

表面看来，引入“4π”因子使库仑定律形式变得复杂了，但却使以后经常用到的电磁学规律的表示式因不出现“4π”而变得简单些。这种做法称为单位制的有理化。 实验证明：点电荷放在空气中时，其相互作用力与在真空中相差极小，因此真空中的库仑定律对在空气中的点电荷同样适用。

1.1.5电场强度 设空间有一相对于观察者静止的正电荷q，在它周围存在着静电场。现用一个电量充分小而不致影响原电场分布的点电荷q0(常称为检验电荷)来测试此电场。

如图1.1所示，将正检验电荷q0依次放入静电场的不同位置，结果我们发现，q0所受的电场力F会依场点的位置各异。如果电场中某确定位置依次放入电量不同的检验电荷。我们会发现，虽然各检验电荷受力F不同，但F与q0的比值却是恒定的，即该比值与检验电荷的量值无关，只取决于在该电场中的位置。因此，我们把比值称为电场强度，用符号 表示，即 (1.3) 此式表明，电场中某点电场强度大小，等于静止于该点单位检验电荷所受电场力的大小，电场强度的方向为正检验电荷在该点所受电场力的方向。

国际单位制中，电场强度的单位名称为牛/库，符号为N/C，可以证明，该单位与V/m是等价的，即 由式（1.3）可知，置于电场强度为 的静电场中某点的点电荷q所受的电场力为 (1.4) 与 显然，若q>0，则 方向相同；若q<0，则 与 方向相反。 近代科学的理论和实验完全证实了场的观点的正确性。电场已被证明是一种客观存在，它运动(传播)的速度是光速。

根据电场强度的定义和库仑定律可以很方便地求得点电荷q产生的电场的场强。把检验电荷q0放置在距场源电荷q为r的P点，检验电荷q0受到的电场力为 1.1.6 点电荷的场强 根据电场强度的定义和库仑定律可以很方便地求得点电荷q产生的电场的场强。把检验电荷q0放置在距场源电荷q为r的P点，检验电荷q0受到的电场力为 式中 是丛场源电荷q指向P点的单位矢量。 由定义（1.3）得P点的场强 （1.5）

这就是点电荷场强分布公式。式中，若q>0，则 与 同向，即在正电荷的电场中，任意点的场强沿该点径矢方向(图1.2(a))；若q<0，则 与 反向，即在负电荷  的电场中，任意点的场强沿该点径矢的反方向(图 1.2(b))。式(1.5)还指出，点电荷的电场具有球对称性。

1.1.7 场强叠加原理 设在n个点电荷q1、q2……qn组成的点电荷系所产生的电场中的任意一点，放入检验电荷q0。q0所受的电场力F应等于q1、q2……qn单独存在时分别作用于q0的电场力 的矢量和，即 由场强定义，该点的场强为 （1.6）

此式表明，点电荷系电场中任意一点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。 利用式(1.5)，还可以把点电荷系电场中某的场强表示为 （1.7）

如果带电体的电荷是连续分布的，可以认为该带电体的电荷是由许多可视为点电荷的电荷元d q组成，任一电荷元d q在电场中一点产生的场强为 由场强叠加原理即可求出整个带电体的场强为 （1.8）

【例1.1】 求电偶极子中垂线上任意一点的电场强度。 解 相距为l的一对等量异号点电荷+q和-q，当它们的距离l比所讨论的场点到它们的距离r小得多时，此电荷系统称为电偶极子(如图1.3)。

设+q和－q到偶极子中垂线上任一点P处的位置矢量分别为 和 = 。由(1.5)式，+q，－q在P点处场强 ，而 = 。由(1.5)式，+q，－q在P点处场强 分别为 以r表示电偶极子中心到P点的距离，则由图中可得

是反映电偶极子本身特征的物理量，叫做电偶极子的电矩(或极矩)，以 上式中， 因此，P点的合场强为 由于 ，所以上式化为 是反映电偶极子本身特征的物理量，叫做电偶极子的电矩(或极矩)，以 上式中， 表示，则 = 。 于是上述结果又可表示为 （1.9）

此结果表明，电偶极子中垂线上距电偶极子较远处各点的电场强度与电偶极子的电矩成正比，与该点离电偶极子中心的距离的三次方成正比，方向与电矩的方向相反。 实际中许多宏观带电体可以简化为电偶极子，分子和原子也可看成是电偶极子。因此，电偶极子在理论研究和技术中都具有重要的意义。

1.1.8 电场线 电通量 为了形象地描述电场强度的分布，我们在电场中作出许多曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点的场强的方向一致，使电场强度的大小等于曲线线数密度，即， 这样的曲线称为电场线。图1.4是几种 带电体的电场线。

电场线是为描述电场而人为引入的，其图形可用实验方法模拟显示。静电场的电场线有如下性质：（1）电场线起于正电荷（或无穷远处），止于负电荷（或无穷远处）。在无电荷处，电场线不会中断。（2）电场线不形成闭合曲线。（3）任何两条电场线在无电荷处不相交。 通过电场中某一面的电场线总条数，称为通过该面的电通量，用符号Φe表示，显然 （1.10） 上式中 是面元 在垂直于电场线的平面上的投影， 因而有 两面元的的夹角。

理论和实验都已证明，在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面S的电通量等于该闭合面所包围的电荷电量代数和的 1.1.9 真空中的高斯定理 理论和实验都已证明，在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面S的电通量等于该闭合面所包围的电荷电量代数和的 倍。这一结论叫做真空中的高斯 定理，用公式表示 （1.11） 该定理是由德国物理学家和数学家高斯首先推导出来的一条重要规律。公式中 的为闭合曲面上的场强，但通过闭合面的总电通量只由闭合面所包围的电荷决定，与闭合面外部的电荷无关。

【例1.2】 求无限大均匀带电平面的电场分布（该带电平面上面电荷密度为σ）。 解 考虑距带电平面r的P点的场强 （图1.5） 由于对垂线OP来说，电荷是对称分布的， 所以P点的场强必然垂直于该带电平面，又因为电荷均匀分布在一个无限大的平面上，所以电场分布必然对该平面对称。当σ>0时，场强垂直指离平面，且距离平面等远处的场强大小都相等。

如图1.5中那样，我们选一个轴线垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面S，使P点位于它的一个底上，带电平面平分此圆筒。由于圆筒的侧面与场强垂直，所以通过侧面的电通量为零，而通过两底面的电通量即为整个高斯面的电通量 由高斯定理得 因而得 （1.12） 该式表明，无限大均匀带电平面的电场中任一点场 强大小均为 ，方向垂直于带电平面。 可见这个电场是匀强电场。

【例1.3】 两个互相平行面电荷密度分别为+σ和-σ的无限大均匀带电平面的电场分布。 【例1.3】 两个互相平行面电荷密度分别为+σ和-σ的无限大均匀带电平面的电场分布。 解 由例1.2可知，两个面在各自的两侧产生的场强方向如图1.6所示，其大小分别为 根据场强叠加原理可得 在Ⅰ区：EⅠ=E1-E2＝0 在Ⅱ区：EⅡ=E1＋E2＝

在Ⅲ区：EⅢ=E1-E2＝0 可见，在两平面外侧的场强为零，而两平面之间的场强大小为 ，方向由带正电平面指向带负电平面。

1.2 电势与电势差 1.2.1 静电场力作功的特点 如图1.7所示，在点电荷q产生的电场中，把检验电荷q0从a点沿任意路径移到b点，

在经历任一位移元dl过程中，静电场力F对q0所作的元功为 由图得 而点电荷q的场强大小为 故q0从a点移到b点，电场力作的功为 （1.13） 该式表明，当检验电荷在点电荷产生的电场中移动时，电场力所作的功只与起点和终点位置有关，而与路径无关，根据电场强度的叠加原理，上述结论可推广为：电荷在静电场中移动时，电场力所作的功与该电荷所经历的路径无关，只与其在电场中的起点和终点位置有关。

由于静电场力所作的功与路径无关，当电荷q从电场中某一点出发经任意闭合路径再回到原来位置时，电场力所作的功必然为零，即 而 所以有 （1.14） 即在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。这一结论称为静电场的环路定理，它与“静电场力作功与路径无关”是一致的。 我们把作功与路径无关的力场，称为保守力场或势场。显然，静电场是保守力场(势场)。

理论研究中，常取无限远处的电势能为零，这样q0在电场中某一点p的电势能为 1.2.2 电势能 根据系统中保守内力所作的功，数量上等于相应势能增量的负值这一规律可知，静电场力所作的功应该等于电势能增量的负值。当检验电荷q0从静电场中某一位置a移到另一位置b时，电场力作功Aab与a、b位置的电势能Wa和Wb间的关系为 如果选b为零势能的参考点，即Wb=0，则 （1.15） 理论研究中，常取无限远处的电势能为零，这样q0在电场中某一点p的电势能为 （1.16）

1.2.3 电势 由式(1.16)可以看出，比值 与检验电荷无关， 它反映了电场本身在p点的某一性质。因此，我们把电荷在电场中某点的电势能与它的电量的比值，称为该点的电势，用符号V表示。 （1.17） 该式表明，静电场中某点的电势，等于单位正电荷从该点移动到零参考点过程中电场力所作的功；或者说，在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能。显然，电势是描述电场性质的物理量，与检验电荷存在与否毫无关系。

电势是标量。在电场中，沿着电场线的方向电势逐点降低；同一电场线上，任意两点的电势不相等。 电势是相对量，必须规定零电势参考点后，才能确定其它位置的电势值。理论上，对有限带电体电场中的电势，常取无穷远处为零电势点，而在实际工程应用中，则常取地球或电子仪器的底板为电势零点。

电场中两点电势之差称为电势差(亦称为电压)，用符号U表示，如a，b两点的电势差为 1.2.4 电势差 电场中两点电势之差称为电势差(亦称为电压)，用符号U表示，如a，b两点的电势差为 （1.18） 由上式可见，电势差与电势零点的选取无关。实际应用中，电势差比电势更有意义。在国际单位制中，电势和电势差的单位名称是伏[特]，符号为V。

解 取无穷远处的电势为零，则电场中距点电荷q为r的任意一点p的电势为 【例1.4】 求点电荷电场的电势分布 解 取无穷远处的电势为零，则电场中距点电荷q为r的任意一点p的电势为 （1.19） 可见，点电荷中某点的电势与该点到点电荷的距离r成反比。当场源电荷q为正时，它的电场中电势处处为正；若场源电荷q为负时，它的电场中电势处处为负。

根据场强叠加原理和电势的定义可以证明，点电荷系电场中某点的电势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和，称为电势叠加原理，即 （1.20） 如果电荷连续分布在一物体上，则可把带电体看成由无穷多电荷元dq组成。根据叠加原理，该带电体产生的电势为 （1.20） 上式积分号下的“Ω”表示对整个带电体求积分。

1.2.5 等势面 像场强的分布可以用电场线形象地表示一样，电势的分布也可以用电势相等的点组成的曲面——等势面来形象地表示。图1.8中用虚线画出了几种电场的等势面，其中实线为电场线。

从图1.8中，我们不难总结出等势面如下的一些性质： 1．等势面与电场线处处正交。 2．在等势面上任意两点之间移动电荷时，电场力作功为零。 3．电场线总是从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 4．若相邻两等势面间的电势差恒定，则等势面越密的地方，场强越大。 电势是标量，容易用实验方法测量电场中的电势或电势差。因此，在研究电场分布时，通常用实验测出电势或电势差值，绘出等势面，再由正交关系画出电场线，进而分析出电场的分布状况。 在前两节的讨论中，我们从库仑定律出发，应用叠加原理，借助了演绎推理的方法。这种从实验定律出发，根据实验提出几个科学的概念，借助演绎推理，推导出一定范围内有用结果的科学研究方法在今后的学习中会经常用到。学习和掌握这种研究、分析、解决问题的科学方法，对今后的学习、研究是大有裨益的 。

此式与光的折射定律形式相似。它指出，受到电场加速的电子偏向法线(电场线)，而受到电场减速的电子则偏离法线。 *1.2.6 静电场聚焦 在静电场中，当运动的电子穿过等势面时只有垂直于等势面(即沿电场线方向)的速度发生变化，而垂直于电场线的速度分量vˊ不变(如图1.9)。因此有 即 此式与光的折射定律形式相似。它指出，受到电场加速的电子偏向法线(电场线)，而受到电场减速的电子则偏离法线。

图1.10所示，利用两圆筒之间的电势差，使电子束连续通过一系列等势面后被聚集在一点F，它类似于光学中平行光线的聚焦，称为静电场聚焦。聚焦点F的位置决定于电势的分布，实际应用中(如示波管中的电子枪)通过调节各筒之间的电势差，使电子会聚在需要的位置。

电子显微镜就是利用电场聚焦电子束的原理制成的(图1 电子显微镜就是利用电场聚焦电子束的原理制成的(图1.11)。电子枪发射的电子束经电子聚焦透镜L1后形成了平行电子束，它经过观测对象(膜片)S和静电透镜(物镜)L2后，将S放大成Sˊ，放大的物像Sˊ又经静电透镜(目镜)L3再次放大后成像在荧光屏或照相底片上。电子显微镜的分辩率远远高于光学显微镜，因此被广泛应用于对分子等精细结构的观察。

1.3 电容 静电场的能量 1.3.1 电容 电工和电子仪器中应用极为广泛的一种电子元件就是电容器。大多数常用电容器都可看成是由两块彼此靠得很近的平行金属板组成的平行板电容器。图1.12示意了一些常见的电容器。

平行板电容器的两金属板称为电容器的两个极板。通常极板面积的尺度比极板间距离大得很多，可以把极板看作为无穷大平面。当两极板分别均匀带等量异号电荷(±q)时，极板间的电场是均匀的。电容器所带电荷q与两极板间的电势差U的比值是一个确定的常量，定义该常量为电容器的电容，用符号C表示 （1.22）

电容是反映电容器本身性质(容纳电荷和储存电能能力)的物理量，它取决于电容器本身的结构，即与电容器极板的形状、大小、极板间距离及极板间的电介质有关，与电容器是否带有电荷无关。 在国际单位制中，电容的单位名称是法[拉]，符号为F。实用中还常用μF(微法)和pF(皮法)作单位，它们间的换算关系为 1F=106μF=1012pF

【例1.5】 平行板电容器两极板相对面积为S，极板间距离为d，求其电容。 解 设两极板均匀带电量分别为±q，则其面电荷密 度为 ，极板间的电场强度大小为 两极板间的电势差为 根据电容器的定义式得平行板电容器电容为 （1.23） 该例题给出了根据电容的定义求电容器电容公式的一般方法。实际工作中，常常用实验的方法测量电容器的电容 电容和额定电压是电容器的两个主要指标。例如，某电 容器上标有“20μF，50V”表示它的电容是20μF，额定电压是50V。。

1.3.2 电介质对电容器的影响 当电容器两极板间充满某种均匀电介质(绝缘介质)时，它的电容将比其间为真空时要增大。我们用符号C0和C分别表示真空和有电介质时的电容，则理论和实验均表明，两者间的关系为 （1.24） 可见,电容器充满介质时的电容等于真空时电容的εr倍，εr称为电介质的相对电容率或相对介电常量；ε=ε0εr称为电介质的电容率或电介质的介电常数。 表1.3给出了一些常见电介质的相对电容率。

1.3.3 电场的能量 给电容器充电的过程是外力把一种电荷从电容器的一个极板移送到另一个极板的过程,在此过程中,外界不断作功使电容器存储的能量增加。设某一时刻电容为C的电容器的两极板间的电势差为U时，极板带电量为q，此时如果把dq从负极板向正极板移送，外力克服静电力作元功为 整个充电过程中，电容器的两极板由不带电到分别带+Q和-Q的电量，外力作的总功 显然，充电过程中电容器存储的电能We等于外力的总功A，即 （1.25）

上式中电容器的能量更确切地说是电容器的电场贮有能量，为此我们应将能量与描述电场的物理量直接联系起来。以平行极板电容器为例有 是极板间电场的体积， 由此得单位体积中的能量，即电场的能量密度为 （1.26） 上式显然是利用平行电容器这一特例导出，但可以证明他对任何电场都成立。根据式（1.26），我们如果知道电场的分布，就可以按下式求出全部电场的能量 （1.27）

由上述讨论中可以看出，对带电电容器来说，其能量可分别表示为 和 两种形式。 前者表明，能量与电荷相联系；而后者表明能量是和电场相联系。在静电场中这两种说法似乎都有道理。然而稍后我们将看到，电视台发射的电磁波完全脱离了电荷，而以场的形式传播能量，可见能量属于电场的观点是正确的。电场具有能量是电场物质性的一种表现。