第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1 向量及其线性运算 §7.2 数量积 向量积 混合积 §7.3 曲面及其方程 §7.1 向量及其线性运算 §7.2 数量积 向量积 混合积 §7.3 曲面及其方程 §7.4 空间曲线及其方程 §7.5 平面及其方程 §7.6 空间直线及其方程 矢量纵横八卦，代数析解几何。

一、背景知识 1、解析几何──变量数学的开端。 2、解析几何的对象和方法。 3、笛卡尔关于解析几何的基本思想。 恩格斯曾指出，微积分是变量数学的最重要部分；他还说: “数学中的转折点是笛卡尔的变数。…有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生；…”所以学习微积分，除了应当具备初等数学的知识以外。还必须具备最初引入变数的学科──解析几何的基础知识。由于平面解析几何在中学已学过，所以本章仅介绍空间解析几何及其所必须的向量代数的基本知识。 2、解析几何的对象和方法。 应用代数方法研究图形性质的数学学科。 3、笛卡尔关于解析几何的基本思想。 ⑴点和数一一对应的统一关系。 ⑵曲线和方程的统一关系。 4、空间解析几何的两个基本问题。 ⑴把已知曲面看成点的几何轨迹，建立这个曲面的方程。 ⑵已知含有三个未知数的方程，研究这个方程表示曲面的几何性质。

一、背景知识 5、笛卡尔简介 (Rene Descartes 1596~1650)法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。1596年3月31日生于图伦， 1650年2月11日卒于斯德哥尔摩。他出生于一个贵族家庭。早年就读于拉弗莱什公学，因孱弱多病，被允许早晨在床上读书，养成了喜欢安静、善于思考的习惯。 1612年去普瓦捷大学攻读法学，四年后获得博士学位旋即去了 巴黎。1618 年从军，到过荷兰、丹麦、德国。1621 年回国，正值法国内乱，又去荷兰、瑞士、意大利旅行。1625 年返回巴黎。1625 年移居荷兰，从事哲事哲、数学、天文学、物理学、化学和生物学等领域的研究，并通过数学家M. 梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系。他的著作几乎全都是在荷兰完成的。1628年写出 «指导哲理之原则» ，1634年完成以哥白尼学说为基础的 «论世界»(因伽利略受到教会迫害而未出版)，1637年笛卡尔用法文写成三篇论文 «折光学» 、 «气象学» 和 «几何学» 并为此写了一篇序言 «科学中正确运用理性和追求真理的方法» ，哲学史上简称 «方法论» ，6月8日在莱顿匿名出版。此后又出版了«形而上学的沉思»和«哲学原理»(1644)等重要著作。 1649年冬，他应邀去为瑞典女王授课，1650年初患肺炎，同年2月病逝。

二、教学计划 1、教学内容及课时安排 2、教学重点 ⑴向量及其线性运算 3 学时 ⑵数量积 向量积 混合积 2 学时 ⑴向量及其线性运算 3 学时 ⑵数量积 向量积 混合积 2 学时 ⑶曲面及其方程 3 学时 ⑷空间曲线及其方程 2 学时 ⑸平面及其方程 3 学时 ⑹空间直线及其方程 2 学时 习题课 2 学时 2、教学重点 ⑴数量积 向量积； ⑵几何图形及其方程。

三、基本要求 1、理解空间直角坐标系、向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算(线性、点乘、叉乘)， 了解两个向量垂直、平行的条件。 3、掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表示式。 4、掌握平面和直线的方程及其求法， 会利用平面和直线的关系解决有关问题。 5、理解曲面方程的概念， 了解常用二次曲面的方程及其图形， 了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴 的曲面方程。 6、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 7、了解曲线的交线在坐标平面上的投影。

Anhui University of Finance& Economics 安徽财经大学 Anhui University of Finance& Economics §7.1 向量及其线性运算 a 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 六、小结 思考题

一、向量的概念 | | 1、概念 ⑴向量： 既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。 ⑵向量表示： 或 ⑶向量的模： | | ⑶向量的模： 向量的大小. 或 ⑷单位向量： 模长为1的向量. 或 ⑸零向量 模长为0 的向量. ⑹自由向量： 不考虑起点位置的向量. ⑷单位向量： ⑺相等向量： 大小相等且方向相同的向量. ⑸零向量： ⑻负向量： 大小相等但方向相反的向量. ⑼向径： 空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.

一、向量的概念 2、两非零向量的关系 ⑴相等： 大小相等且方向相同的向量. ⑵平行或共线： 方向相同或相反的两个非零向量. ⑶垂直： 方向成90°夹角的两个非零向量. 注意： 由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为 零向量与任何向量都平行或垂直。 ⑷共面： 把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.

二、向量的线性运算 1、向量的加减法 ⑴ 加法： （平行四边形法则） （平行四边形法则有时也称为三角形法则） ‖ 特殊地：若 分为同向和反向

二、向量的线性运算 ⑵向量的加法符合下列运算规律： ①交换律： ②结合律： ③加负律： ⑶ 减法

二、向量的线性运算 2、向量与数的乘法 ⑴ 定义： ⑵数与向量的乘积符合下列运算规律： ①结合律： ②分配律： ⑶线性运算： 向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。

二、向量的线性运算 例1 化简 解 例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 与 平行且相等, 结论得证.

二、向量的线性运算 ⑷单位向量的表示 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法.

二、向量的线性运算 ⑸两个向量的平行关系 证 充分性显然； 下面证明必要性 两式相减，得

三、空间直角坐标系 1、坐标系的构成 竖轴 ⑴ 坐标轴：横轴、纵轴、竖轴 三个坐标轴的正方向符合右手系. 定点 纵轴 横轴 空间直角坐标系Oxyz坐标系 或[O;i,j,k]坐标系 ⑵ 坐标面：xOy面、 yOz面、zOx面 ⑶ 卦限：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ

三、空间直角坐标系 Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有八个卦限

三、空间直角坐标系 2、点、向量与坐标 空间的点M 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点

四、利用坐标作向量的线性运算 1、向量的加减法与数乘 ⑴加法 ⑵减法 ⑶数乘 2、平行向量的坐标表示式

四、利用坐标作向量的线性运算 例3 求解以向量为未知元的线性方程组 解 解二元一次方程组，易得 例3 求解以向量为未知元的线性方程组 解 解二元一次方程组，易得 例4 已知两点A(x1,y1,z1) 和B (x2,y2,z2) 以及实数λ≠-1， 在直线AB上求点M，使 解 设 为直线上的点，

四、利用坐标作向量的线性运算 由题意知：

五、向量的模、方向角、投影 1、向量的模与两点间的距离公式: ⑴向量的模: 按勾股定理可得 ⑵两点间的距离公式:

五、向量的模、方向角、投影 解 原结论成立. 例6 已知两点A(5,3,1) 和B (1,0,5)，求与 解

五、向量的模、方向角、投影 解 设P点坐标为 所求点为

五、向量的模、方向角、投影 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 2、方向角与方向余弦 ⑴空间两向量的夹角的概念: 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.

五、向量的模、方向角、投影 ⑵方向角 非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角. 显然有 ⑶方向余弦 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为

五、向量的模、方向角、投影 例8 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 计算 解 解

五、向量的模、方向角、投影

五、向量的模、方向角、投影 3、向量在轴上的投影 ⑴x轴与向量 的关系 ⑵向量在u轴上投影

五、向量的模、方向角、投影 ⑶向量在三坐标轴上的投影 ⑷向量投影的性质

五、向量的模、方向角、投影 解

§7.1 向量及其线性运算 一、向量概念 五、向量的模,方向角,投影 二、向量的线性运算 六、小结 思考题 三、空间直角坐标系 §7.1 向量及其线性运算 一、向量概念 2、平行向量的坐标表示式 五、向量的模,方向角,投影 1、概念 2、两非零向量的关系 1、向量的模与两点间的距离公式 二、向量的线性运算 2、方向角与方向余弦 2、方向角与方向余弦 1、向量的加减法 3、向量在轴上的投影 2、向量与数的乘法 六、小结 思考题 三、空间直角坐标系 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ 1、坐标系的构成 2、点、向量与坐标 四、利用坐标作向量的线性运算 作业：第300~301页 3； 5 ；13；15；18。 1、向量的加减法与数乘 1、向量的加减法与数乘

思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;

练习题 一、填空题 1、下列各点所在象限分别是：

练习题

练习题

练习题答案

附录: 坐标法—解析几何(共3页) 一、解析几何的产生    十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。     1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。     笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。     从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。     为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。     具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。   

附录: 坐标法—解析几何 二、解析几何的基本内容 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。     在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。     费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。     笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。 二、解析几何的基本内容 在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。    坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。

附录: 坐标法—解析几何 三、解析几何的应用 解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。 解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……” 三、解析几何的应用     解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。     在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外， 主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。     在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外， 主要研究柱面、锥面、旋转曲面。     椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。     总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。     运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。     坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。