区间估计 Interval Estimation

相关数学英文词汇 点估计: Point Estimation 区间估计: Interval Estimation 置信区间: Confidence Interval

区间估计的思想 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。

置信水平、置信区间 设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果 由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量 （ X1，X2，…，Xn ）， （ X1，X2，…，Xn ）， 使得 则称随机区间，( ）为 参数的置信系数为1- 的置信区间。 ：置信水平 ——置信下限　　 ——置信上限

正态总体方差已知，对均值的区间估计 如果总体X~N（，2），其中2已知， 未知， 则取U-统计量 ，对做区间估计。 对给定的置信水平1-，由 确定临界值（X的双侧分位数）得的置信区间为 将观测值 代入，则可得具体的区间。

几点说明 1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。 2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。 3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。

a q - = £ 1 } ˆ { P ] ˆ , [ q q ˆ q 和 a - 1 一、 置信区间定义： 设  是 一个待估参数，给定 满足 设  是 一个待估参数，给定 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 a q - = £ 1 } ˆ { 2 P ] ˆ , [ 2 1 q 则称区间 是 的置信水平（置信度、置信概率）为 的置信区间. q a - 1 2 1 ˆ q 和 分别称为置信下限和置信上限.

一旦有了样本，就把 估计在区间 q ˆ q = ˆ q = ] ˆ , [ q q 可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) q 1 ˆ q = (X1,…Xn) 2 ˆ q = (X1,…Xn) 一旦有了样本，就把 估计在区间 ] ˆ , [ 2 1 q q 内. 这里有两个要求:

q ] ˆ , [ q 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 2 1 q 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 q } ˆ { 2 1 q £ P 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 1 2 ˆ q - 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度.

m a - 1 二、置信区间的求法 例1 设X1,…Xn是取自 的样本， 求参数 的置信度为 的置信区间. 解： 选 的点估计为 求参数 的置信度为 的置信区间. a - 1 m 解： 选 的点估计为 X ~N(0, 1) 寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知. 有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.

对给定的置信水平 查正态分布表得 使 对于给定的置信水平, 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平. 为什么 这样取？ 查正态分布表得 使

对给定的置信水平 查正态分布表得 使 从中解得

于是所求 的 置信区间为 m ] , [ 2 a s u n X + - 2 a s u n X ± 也可简记为 n, s 的作用？

m a - 1 ~N(0, 1) 例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95 我们得到 均值 的置信水平为 的 置信区间为 ] 96 均值 的置信水平为 的 a - 1 m 置信区间为 ] 96 . 1 , [ n X s + -

m a - 1 由 P(-1.75≤U≤2.33)=0.95 我们得到 均值 的置信水平为 的 置信区间为 这个区间比前面一个要长一些. [ 均值 的置信水平为 的 a - 1 m 置信区间为 [ X - 1 . 75 s n , X + 2 . 33 s n ] 这个区间比前面一个要长一些.

例２　假设某地小学五年级学生语文统考成绩服从正态分布 N(m,s×s)，已知s×s＝14分。 现随机抽取27名五年级学生的成绩进行统计，平均分为78分。 试求该地小学五年级学生语文平均成绩的95％的置信区间.

正态总体方差未知，对均值的区间估计 如果总体X~N（，2），其中，均未知 的1-的置信区间？

正态总体方差未知，对均值的区间估计 如果总体X~N（，2），其中，均未知 由 构造T-统计量 当置信水平为1-时，由 从而得的置信水平为1-的置信区间为

正态总体方差已知，对均值的区间估计 U-统计量 构造 未知，用样本标准差 近似代替. 对大样本，由中心极限定理， 近似N(0,1)分布

样本均值的抽样分布 与中心极限定理 当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)  = 50  =10 X 总体分布 n = 4 抽样分布 x n =16

中心极限定理 (central limit theorem) 中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布 当样本容量足够大时(n  30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布 一个任意分布的总体 x

中心极限定理 (central limit theorem) x 的分布趋于正态分布的过程

抽样分布与总体分布的关系 总体分布 正态分布 非正态分布 大样本 小样本

近似N(0,1)分布

例3 从1998年全国文科政治高考成绩中抽取样本3 861人， 计算出第二大题的平均分为11.97分， 修正方差为4.469 试求全国文科考生政治科第二大题平均分的95%的置信区间.

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