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专题20：圆的有关性质

考点 课标要求 难度 圆心角、弦、弦心距的概念 1．清楚地认识圆心角、弦、弧的概念，并会用这些概念作出正确的判断； 2．认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 易

考点 较易课标要求 难度 1．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧； 2．在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明． 3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 中等

题型预测 圆的基本性质是中考必考考点之一，但这部分知识出现在解答题的可能性不大，一般以填空或选择的形式出现．

相等 弧 优弧 劣弧 弦 直径 圆心角 圆周角

相等 相等 一组量相等

平分 弦 垂直 平分 圆心 弦 相等

相等 一半 圆周角 直径

D C C 考点1 圆周角与圆心角之间关系（考查频率：★★★★★） 命题方向：同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系． 考点1 圆周角与圆心角之间关系（考查频率：★★★★★） 命题方向：同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系． 1．（2013山东泰安）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ABO＝32°，∠ACO＝38°，则∠BOC等于（ ） A．60° B．70° C．120° D．140° D 2．（2013山东滨州）如图，在⊙O中圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为（ ） A．156° B．78° C．39° D．12° C 3．（2013吉林长春）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝71°，∠CAB＝53°，点D在 上，则∠ADB的大小为（ ） A．45° B．53° C．56° D．71° C

4．（2013福建龙岩）如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（ ） C 5．（2013海南）如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是（ ） A

B C 考点2 圆内接三角形和圆内接四边形（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）圆内接三角形的边角关系； （2）圆内接四边形的计算问题． 考点2 圆内接三角形和圆内接四边形（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）圆内接三角形的边角关系； （2）圆内接四边形的计算问题． B 7．（2013安徽）如图，点P是等边△ABC外接圆⊙O上点，在以下判断中，不正确的是（ ） A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形 C

8．（2013福建莆田）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，则∠OBC的度数为（ ） A．40° B． 50° C．80° D． 100° A 9．（2013山东莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为（ ） A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5° D

10．（2013福建厦门）如图，已知A，B，C，D 是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形. 证明∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE． ∵ 四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°. ∵∠BCE＋∠DCB＝180°， ∴∠A＝∠BCE．∴∠A＝∠E． ∴ AD＝DE．∴△ADE是等腰三角形.

C 考点3 直径所对的圆周角（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）利用“直径所对的圆周角等于90°”进行角度的计算； 考点3 直径所对的圆周角（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）利用“直径所对的圆周角等于90°”进行角度的计算； （2）利用“直径所对的圆周角等于90°”证明一个三角形是直角三角形． C

12．（2013广东佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ） A．3 B．4 C． D． C 考点4 垂径定理（考查频率：★★★★☆） 命题方向：（1）已知半径、弦长、弦心距中的两个量，求第三个量的值； （2）利用垂径定理进行有关证明． 12．（2013广东佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ） A．3 B．4 C． D． C 13．（2013湖北黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝8，则CED所在圆的半径为_____________．

14．（2013山东济南）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AB＝10，AC＝6，垂足为D，则BD的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 C 15．（2013四川乐山）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0，1)，过点P(0，－7)的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD的长所有可能的整数值有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C

16．（2013甘肃兰州）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为（ ） A．3cm 　　　 B．4cm 　　　 C．5cm 　　　 D．6cm C

例1：（2013四川内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 . 【解题思路】直线y＝kx－3k＋4必过点（3，4），因此问题归结为过圆内一定点的弦长何时最小的问题，问题看似无法入手，但注意到直线y＝kx－3k＋4必过点（3，4），则利用垂直于过该点的直径的弦最短来解. 【思维模式】求过圆内一点最短弦长的方法是先过该点作圆的直径，然后过该点作垂直于直径的弦，构造出垂径定理模型．

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D． 例2：（2013浙江温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长． 【解题思路】（1）要证明∠B＝∠D，只要证明AD＝AB，结合AB是⊙O的直径，DC＝CB的已知条件，可通过证明AC垂直平分DB，从而解决问题． （1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D． 【解题思路】要求CE长，可通过证明CE＝AB，转化为求AB长，结合∠E＝∠B及等腰三角形的性质、勾股定理，可解决问题． 【必知点】 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； （2）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； （3）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 是直角三角形．

例1：（2013四川泸州）已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为（ ） 【解题思路】分两种情况考虑：①当A、C两点位于圆心O两侧时，如图1所示，连接AC和AO，利用垂径定理得到点M是弦AB的中点，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出OM的长，在Rt△AMC中，利用勾股定理求出AC的长；②当A、C两点位于圆心O同侧时．

【解题思路】②当A、C两点位于圆心O同侧时，如图2所示，先求出CM，然后在Rt△AMC中，利用勾股定理求出AC的长即可． 【易错点睛】本题需要分两种情况讨论，常见错误是只考虑其中一种情况而造成错误．