高考数学复习 抛物线(1) 李凤君

高考定位

考纲要求 考试热点 1.了解抛物线的定义，几何图形和标准方程． 2．知道抛物线的简单几何性质． 3．了解抛物线的实际背景及在刻画现实世界和解决实际问题中的应用． 4．了解抛物线的简单应用． 考试热点 1.在高考中，对双曲线和椭圆的要求有所降低，因而抛物线就成了一个重点，在近几年的高考中，关于圆锥曲线的综合问题，多以抛物线、椭圆为背景，成为高考的热点． 2．抛物线的定义、标准方程、几何性质是考查的重点，一般以选择题、填空题为主． 3．关于抛物线综合问题及与三角函数、数列、不等式、向量的综合问题是高考的一个难点.

观察图形

l F p 抛物线 抛物线的焦点 抛物线的准线 基础知识 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。 （定点不在定直线上 ） l ┑ p 抛物线 F 抛物线的焦点 抛物线的准线

基础知识 2.抛物线标准方程的四种形式： 焦点坐标 准线方程 焦半径公式 Q Q F Q Q

基础知识 3.抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点. ②焦准距： ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为 2P ④顶点平分焦点到准线的垂线段：

以M为圆心、FM为半径的圆必与准线相切. 所有这样的圆过定点F、准线是公切线. 基础知识 3.抛物线的图形和性质： ⑤焦半径为半径的圆： 以M为圆心、FM为半径的圆必与准线相切. 所有这样的圆过定点F、准线是公切线. P ⑥焦半径为直径的圆： 以焦半径 FM为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切. 所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线. ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PM为直径的圆必与准线相切.所有这样的圆的公切线是准线. 幻灯片 24

基础自测 ①:已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程； ②：已知抛物线的方程是y=－6x2， A.（ ，0) B. (0， ) C. (0，- ) D.( ,0)

典例讲解 N 4 总结评述： 注意利用定义法判断轨迹形状． 例1. 动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹是 (　　) A．直线　B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 N 解析：根据所给条件，结合图形可知动点P到定直线x＝4及定点M(－4,0)的距离相等，故选D. 4 总结评述： 注意利用定义法判断轨迹形状．

跟踪练习 1.已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为 (　　) A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1 C．y2＝4x D．x＝0 解析：设圆心坐标为(x，y)， 由题意，x－(－1)＝ ， 整理得y2＝4x，故选C. 答案：C 另法：动圆圆心C到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等， ∴C点轨迹是以(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线， ∴p＝2， ∴方程为y2＝4x. 应注意圆锥曲线定义在解题中的应用.

解: 如图,设|PQ|为P到准线的距离 典例讲解 例2:在抛物线y2=2x上求一点P,使得P到焦点F与到 点A(3,2)的距离之和最小,并求出最小值. 解: 如图,设|PQ|为P到准线的距离 A F x y P Q P 则|PF|=|PQ| Q ∴|AP|+|PF|=|AP|+|PQ| ∴当A,P,Q共线时, |AP|+|PF|最小 即P点坐标为(2,2)时, |AP|+|PF|最小, 且最小值为 .

典型例题: 跟踪练习 在抛物线y2=2x上求一点P,使得P到准线与到 点A(3,4)的距离之和最小,并求出最小值. y A Q P F x

加强：抛物线的定义及最值 (1)在抛物线y2＝4x上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)，F(1,0)，求M点的坐标及此时的最小值． (2)已知抛物线y2＝2x和定点A(3， )，抛物线上有动点P，P到点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值及此时P点的坐标．

典例讲解 例3 抛物线的标准方程 求下列各抛物线的方程： (1)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点 M(－2，－4)； 例3　抛物线的标准方程 求下列各抛物线的方程： (1)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点 M(－2，－4)； (2)顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 Q(m，－3)到焦点的距离等于5.

高考直击

典例讲解 [例3]　已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝ |AF|，则△AFK的面积为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：y2＝8x的焦点为F(2,0)， 准线x＝－2，K(－2,0)， 答案：B 即(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2]， 化简得，y2＝－x2＋12x－4， 与y2＝8x联立解得：x＝2，y＝±4， 点评：按照题目的叙述，直接将文字语言数字化，依据所给关系或等式列方程求解是这类问题的基本解决方法．本题中关键的关系式是|AK|＝ |AF|.

跟踪练习 H =1+2 ∴x0=2 解析：如图，由题意可得，|OF|＝1， 两三角形有公共的高|AH| ， 高考直击 跟踪练习 解析：如图，由题意可得，|OF|＝1， 两三角形有公共的高|AH| ， ∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴|AM|:|OF|=3:1 H =1+2 ∴x0=2

课堂小结： 1.要牢记抛物线的定义，标准方程，及简单的几何性质。 2.具体问题中，要结合实际熟练运用坐标法，待定系数法，方程的思想 和数形结合思想等熟悉思想和方法。 3.有关抛物线的问题要仔细研究其几何图形的性质，常用方法是将焦点弦和对应点到准线的距离互相转化。

高考直击 1.(湖南卷)抛物线y2＝－8x的焦点坐标是( ) A．(2,0) B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0) 2.(文科)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为(　　) A . B．1 C .2 D．4 3.(梅州)(理科)抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　) A. B. C. D．0 4.(辽宁卷)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　) A. B．3 C. D.

5．(年潍坊月考)当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－x 或 x2＝y B．y2＝x 或 x2＝y C．y2＝x 或 x2＝－y D .y2＝－x 或 x2＝－y 6．(上海卷)(文科)若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝__________. 7．(济南模拟)(理科)若A(6，m)是抛物线y2＝2px上的点，F是抛物线的焦点，且|AF|＝10，则此抛物线的焦点到准线的距离为____________． 幻灯片 9

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