§1.1 复 数 1. 复数的概念 形如 或 的数称为复数。 a 和 b 为实数, 分别称为复数 z 的实部和虚部, 记作 i 称为虚单位, 即满足 当且仅当虚部 b=0 时,z=a 是实数； 当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0 ； 当虚部 b≠0 时,z 叫做虚数； 当实部 a=0 且虚部 b≠0 时,z=ib 称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集, 用 C 表示. 实数集 R 是复数集 C 的真子集.

如果两个复数的实部和虚部分别相等, 称这两个复数相等. 2. 复数的向量表示和复平面 复数可用点 z(a,b) 表示 用直角坐标系表示的复数 的平面称为复平面， x 轴叫 做实轴， y 轴叫做虚轴. 实轴上的点表示实数；除 了原点外，虚轴上的点表 示纯虚数. 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两 个复数叫做互为共轭复数. 任一实数的共轭复数仍是它本身.

在复平面上, 复数 还可以用由原点引向点 z 的向量 来表示, 这种表示方式建立了复数集 C 与平面 向量 所成的集合的一一对应（实数 0 与零向量对 应）. 向量 的长度称为复数 z 的模，记为 |z| 或 r. 3. 复数的运算 加法 减法 复数的运算，有关复数的模和共轭 复数的性质

乘法 除法 复数的模和共轭复数的性质

4. 复数的三角表示和复数的方根 复平面 C 的不为零的点 极坐标  是正实轴与从原点 O 到 z 的射线的 夹角，称为复数 z 的幅角，记为 满足条件 的幅角称为 Argz 的主值，记为  =argz ，于是有  =argz=argz+2k , k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos  +isin  ) 复数的指数形式

例 1.1 求 arg(-3-i4). 解： Arg(-3-i4)= arg(-3-i4)+2k , k=0,±1,±2,…. 点 -3-i4 位于第四象限 k=0,±1,±2,…. 例 1.2 计算 解：

例 1.3 把复数 表示成三角形式和指数形式. 解： 对应的点在第一象限

复数乘法的几何意义 两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.

两个复数的商的模等于它们模的商，商的幅角 等于被除数的幅角与除数的幅角的差.

复数的乘方 r=1 时，得棣莫拂 (de Moivre) 公式 复数的开方 设是 已知的复数， n 为正整数，则称满足方程 的所有的复数为 z 的 n 次方根，并且记为.

设 k=0,±1,±2,…. 记 k=0,1,2,…,n-1 复数的 n 次方根是 n 个复数，这 些方根的模都等于这个复数的 模的 n 次算术根，它们的幅角 分别等于这个复数的幅角与的 0,1,2,…,n-1 倍的和的 n 分之一。

例 1.4 求 1-i 的立方根. 解：解： 1-i 的立方根是 例 1.5 计算 n 次单位根. 解：解： 立方单位根是

§1.2 复平面点集 1. 平面点集的几个概念 (1) 邻域 集合 称为 z 0 的  邻域，其中  >0, 称为 z 0 的去心邻域. (2) 内点、开集 若点集 E 的点 z 0 ，有一个 z 0 的邻域 ， 则称 z 0 为 E 的一个内点；如果点集 E 中的点全为内点， 则称 E 为开集.

(3) 边界点、边界 如果点 z 0 的任意邻域内，既有属于 E 中的点，又有 不属于 E 中的点，则称 z 0 为 E 的边界点；集合 E 所有边界 点称为 E 的边界，记作  E. (4) 区域 如果集 E 内的任何两点可以用包含在 E 内的一条折 线连接起来，则称集 E 为连通集. 连通的开集称为区域. 区域 D 和它的边界  D 的并集称为闭区域，记为 (5) 有界区域 如果存在正数 M ，使得对一切 z  E ，有 则称 E 为有界集. 若区域 D 有界，则称为有界区域.

(6) 简单曲线、光滑曲线 设 x(t) 和 y(t) 是实变量 t 的两个实函数，它们在闭区 间 [ ,  ] 上连续，则由方程组 或由复值函数 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线  的参数方程. 点 A=z(  ) 和 B=z(  ) 分别称为曲线  的 起点和终点. 如果当 时，有 ， 称曲线  为简单曲线，也称为约当 (Jordan) 曲线. 的简单曲线称为简单闭曲线.

定理 1.1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区 域，以曲线为公共边界. 这两个区域，一个是有界的，称为  的内部； 一个是无界的，称为  的外部. 如果曲线  在 上有 和 存在、连续，而 且不同时为零，则称曲线  为光滑曲线. 由有限条光滑 曲线连接而成的连续曲线，称为分段光滑的曲线. (7) 单连通区域 设 D 为复平面上的区域，如果在 D 内的任意简单 曲线的内部均属于 D ，则称 D 为单连通区域，否则就 称为多连通区域.

2. 直线和半平面 设 L 表示 C 中的直线，如果 a 是 L 上的任一点， b 是 它的方向向量，那么 对于 L 上的 z ，有 假定 |b|=1 ， a=0. 于是 ，当且仅当 即.

如果 “ 按照 b 的方向沿着 L 前进 ” ， H 0 是位于 L 的左 边的半平面. H a 是由半平面 H 0 平移 a 而得到的，因此， H a 是位于 L 的 左边的半平面. 是位于 L 的右边的半平面.

§1.3 扩充复平面及其球面表示 设 a 是异于  的一个复数，规定 (1) ，则 ； (2) ，则 ； (3) ，则 ； (4) ，则 ； (5) 的实部、虚部、幅角都无意义； (6) 为了避免和算术定律相矛盾，对 不规定其意义.

设想平面上有一个理想点和它对应. 这个理想点称为 无穷远点. 复平面加上  ，称为扩充复平面 C  =C  {  }. 为 使的规定合理，规定扩充复平面上只有一个无穷远点. 记 R 3 中的单位球面为 N=(0,0,1) 为 S 上的北极点, 把 C 等同于 R 3 中的点集 R 对于复平面 C 内任意一点 z ，用直线将 z 与北极点 N 相 连接，此直线与球面 S 恰好交于一点 Z  N. 若 |z|>1 ， Z 位于北半球面上； 若 |z|<1 ， Z 点位于南半球面上； 若 |z|=1 ，那么 Z=z. 当 |z|  时， Z  N.