义务教育教科书《数学》九年级上册 24.2.2切线的判定 驶向成功的彼岸

【学习目标】 1. 理解圆的切线的判定方法； 2. 会应用切线的判定定理进行简单的证明； 3. 掌握利用切线的判定定理解题时常添加的辅助线。 【学习重点】 会利用切线的判定定理进行解题，并理解常用辅 助线的作法。 【学习难点】 切线的判定定理的应用。

温旧知新 （1）直线和圆的位置关系有哪几种？分别是什么？ 相离 相切 相交 （2）判断直线和圆相切的方法有哪些？

归纳引入 判断一条直线是圆的切线的方法： （1）直线和圆的交点个数： 和圆只有一个交点的直线是圆的切线。 除了这两种方法以外，我们能否从直线和半径间的位置关系入手判定一条直线是圆的切线呢？ 判断一条直线是圆的切线的方法： 归纳引入 （1）直线和圆的交点个数： 和圆只有一个交点的直线是圆的切线。 （2）圆心到直线的距离与半径的关系： 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。 (d=r 相切) (1） (2）

自主探究 如图，在半径为5cm的⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线 ⊥OA，则圆心O到直线 的距离是多少？这时直线和⊙O有什么位置关系？ 圆心O到直线 的距离d=5cm 结论： 相切 切线的判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 归纳：与已知半径存在什么位置关系的直线是圆的切线？

归纳小结 切线的判定定理 垂直于这条半径 经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。 直线是圆的切线 几何语言叙述： 你能用几何语言 表达这个定理吗？ 归纳小结 该定理的条件和结论 分别是什么？ 切线的判定定理 经过半径的外端 垂直于这条半径 经过半径的外端且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。 直线是圆的切线 几何语言叙述： ∵OA是半径，OA⊥ 于点A ∴直线 是⊙O的切线

小试牛刀 (1)过半径的外端的直线是圆的切线。（ ） (2)与半径垂直的直线是圆的切线。（ ） (3)过半径的端点且与该半径垂直的直线是 应用切线的判定定理时，要注意直线必须具备 条件，缺一不可。 两个 (1)过半径的外端的直线是圆的切线。（ ） (2)与半径垂直的直线是圆的切线。（ ） (3)过半径的端点且与该半径垂直的直线是 圆的切线。（ ） （1）直线经过半径外端； × （2）直线与这条半径垂直。 × ( ) 直径 √ ×

归纳小结 直线是圆的切线的方法？ （1）与圆只有一个交点的直线是圆的切线。 （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线。 到目前为止，我们学习了哪几种判定 直线是圆的切线的方法？ （1）与圆只有一个交点的直线是圆的切线。 （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线。 （3）经过半径外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。

例1： 例 题 精 析 思考：还有没有其它证明方法呢？ 如图，直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，AC=BC. 求证：AB是⊙O的切线. 分析：已知直线AB经过圆上一点C， 即直线AB经过半径的外端C， 只需连接OC， 再证明OC⊥AB。 证明：连接OC ∵ OA=OB，AC=BC ∴ OC是等腰△AOB底边AB上的中线 ∴ OC是底边AB上的高 即 OC⊥AB ∴ AB是⊙O的切线 例 题 精 析 思考：还有没有其它证明方法呢？

练习巩固 如图，AB是⊙O的直径,∠B=45°,AT=AB. 求证：AT是⊙O的切线. 证明：∵ AT=AB ∴∠T=∠B=45° 分析：已知AT经过半径OA的外端A， 只需证明AT⊥AB。 如图，AB是⊙O的直径,∠B=45°,AT=AB. 求证：AT是⊙O的切线. 证明：∵ AT=AB ∴∠T=∠B=45° ∴∠BAT=90° 即 AT⊥OA ∴ AT是⊙O的切线

例2： 例 题 精 析 如图，⊙O的半径OA=2，弦AB= ，以点O为圆心， 1为半径作小圆O. 求证：AB是小圆O的切线. 作OC⊥AB于点C， 再证明OC=1。 2 C 证明：过点O作OC⊥AB于点C 例 题 精 析 ∴ AC= AB= × = 在Rt△AOC中， 即OC是小圆O的半径 ∴ AB是小圆O的切线

练习巩固 如图，点O为∠BAC的平分线上一点，OD⊥AB于点D， 以点O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：AC与⊙O相切. 过点O作OE⊥AC于点E, 再证明OE=OD。 如图，点O为∠BAC的平分线上一点，OD⊥AB于点D， 以点O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：AC与⊙O相切. 角平分线 证明：过点O作OE⊥AC于点E ∵AO是∠BAC的平分线 且OE⊥AC，OD⊥AB ∴ OE=OD 即OE是⊙O的半径 ∴ AC与⊙O相切 E

按照题目的不同特点试着把上面所讲的四道题目分成两类，并比较这两类题目所作的辅助线以及证明方法有什么不同？ 合作探究 第一类： 如果条件中已知直线经过圆上一点，则 连接这点和圆心，得到一条辅助半径， 再证明这条半径与已知直线垂直。 （简记为：连半径，证垂直） 已知AB经过圆上一点C 连接OC 证明OC⊥AB 已知AT经过圆上一点A 证明AT⊥OA （1） （2） 第二类： 如果条件中不知直线是否过圆上一点， 则过圆心作直线的垂线段为辅助线， 再证明垂线段的长等于半径的长。 （简记为：作垂直，证半径） (3) 不知AB是否经过圆上一点 作OC⊥AB 证明OC=1（已知半径为1） 不知AC是否经过圆上一点 作OE⊥AC 证明OE=OD（OD是半径） E （4）

深化拓展 1.如图，点D在⊙O的直径AB的延长 线上，点C在半圆O上，AC=CD, ∠D=30°.求证：CD是⊙O的切线. 驶向成功的彼岸 深化拓展 温馨提示： 1. 已知直线经过圆上一点： 连半径，证垂直 2. 不知直线是否经过圆上一点： 作垂直，证半径 1.如图，点D在⊙O的直径AB的延长 线上，点C在半圆O上，AC=CD, ∠D=30°.求证：CD是⊙O的切线. 2.如图，OA=OB=6，∠AOB=120°， 以点O为圆心，3为半径的⊙O与 OA、OB相交.求证：AB与⊙O相切. E

反思总结 1.切线的判定方法有哪些？ 2.应用切线的判定定理解题时，常用的添加辅助线的方法 有哪些？ 驶向成功的彼岸 (1)如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心，得到一条辅助 半径，再证明这条半径与已知直线垂直。（连半径，证垂直） (2)如果不知直线是否过圆上一点，则过圆心作直线的垂线段为辅助线， 再证明垂线段的长等于半径的长。（作垂直，证半径） 与圆只有一个交点 => 是圆的切线 直线 与圆心的距离等于半径 => 是圆的切线 经过半径外端且垂直于这条半径 => 是圆的切线

作业提升 1.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O 于点E，过点E作直线CD⊥AF于点D，交AB的 驶向成功的彼岸 作业提升 1.如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O 于点E，过点E作直线CD⊥AF于点D，交AB的 延长线于点C. 求证：CD是⊙O的切线. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是弦，延长BD到 点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC， 垂足为E． （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE是⊙O的切线.

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