相似三角形的判定(1)

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数). 1.相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数). B A C A C B

(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似. 2.判定两个三角形相似的简单方法 (1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似. B A C 如何 证明？ A C B

在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且DE∥BC，则在△ABC中有： ∠ADE=∠B ∠AED=∠C ∠A=∠A △ADE∽△ABC

EF//DB 作EF//DB交CB延长线于F ED//BC ED=FB ∠EAD=∠CAB △ADE∽△ABC ∠ADE=∠ABC FBDE为 ED=FB ∠EAD=∠CAB ∠ADE=∠ABC ∠AED=∠ACB △ADE∽△ABC

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. A E C B D E B A C D

判定定理1 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似. 简述:两角对应相等,两三角形相似

已知,如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A, ∠B=∠B, 求证:△ABC∽△ABC D E

在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由预备定理得: 证明: 在△ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=A’B’,过点D作DE//BC,交AC于点E.由预备定理得: △ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B,∠B=∠B ∴∠ADE=∠B ∵∠A=∠A, AD=AB ∴△ADE≌△ABC ∴△ABC∽△ABC A B C C B A D E

例1 如图,在△ABC, AB=AC, D是AC边上一点, BD=BC. 求证: BC2=ACCD 分析: 遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似 证明: ∵△ABC是等腰三角形 ∴∠A=180-2∠C ∵△BCD是等腰三角形 ∴∠DBC=180-2∠C ∴∠DBC=∠A 又∵∠C为公共角 ∴△ABC∽△BDC 即 BC2=ACCD

分析: 遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似 根据线段所在三角形考虑证 △EBD∽△ECB 练习 1.如图,圆内接△ABC的角平分线CD延长后交圆于一点E. D E A B C 分析: 遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似 根据线段所在三角形考虑证 △EBD∽△ECB P19 1,2

相似三角形的判定(2)

引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边. 引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延 长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行 于三角形的第三边. 已知:如图△ABC中,点D、E分别在AB、AC上，且 求证：DE//BC C B A D E 证明: 作 DE//BC,交AC于E E 采用了“同一法”的间接证明 ∴AE=AE 因此E与点E重合即DE与DE重合, 所以 DE//BC

当一个命题的条件和结论所指的概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法 *用同一法解题一般有三个步骤： ①先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件； ②根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；  ③从而说明已知图形符合结论．

对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 判定定理2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似. 简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似

? △ADE≌△ABC DE//BC 已知:如图,在△ABC和△ABC中,∠A=∠A, 求证: △ABC∽△ABC A △ABC∽△ADE

例 3 如图,在△ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在△ABC外,∠EBC=∠ABD, ∠ECB=∠DAB.求证: △DBE∽△ABC. 分析: 好容易得出∠ABC=∠DBE 只需要再证明 即证 只要证明△ABD∽△CBE B A C D E

练习P19 3 5

判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. 简述:三边对应成比例,两三角形相似

已知:如图,在△ABC和△ABC中 求证: △ABC∽△A’B’C’ A B C 证明: 在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE//BC,交AC于点E. △ADE∽△ABC C B A ∵ AD=AB D E ∴△ADE≌△ABC ∴△ABC∽△ABC

例4 如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC 证明:∵线段EF、FD、DE都是△ABC的中位线 F D E B A C ∴△DEF∽△ABC

练习P19 6 1.如图，已知：DE∥AB，EF∥BC. 求证：△DEF∽△ABC.

练习 P20 9

相似三角形的判定(3)

直角三角形相似的判定定理 (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.

例 如图，已知AD、BE分别是△ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点 求证：(1)ADBC=BEAC (2)AHHD=BHHE 分析: (1)只要证明Rt△ADC∽Rt△BEC (2)只要证明Rt△AHE∽Rt△BHD H E D A B C

练习P19 7

小结 判定定理1 相似三角形的概念 判定定理2 预备定理 直角三角形判定定理 判定定理3

相似三角形的性质

.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线 的比和对应角平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方；

问题1、两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？ O A B C D 1．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．

2．相似三角形内切圆的直径比、周长 比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方． 问题2、两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？ 2．相似三角形内切圆的直径比、周长 比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．

结论： 1．相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 2．相似三角形内切圆的直径比、周长 比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．

P17 例6

练习 A B C D E F O 1.已知:梯形ABCD中AD∥BC,AD=36cm, BC=60cm,延长两腰BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD于E,EF=32cm,则OF=_______. F 80cm P20 10

作业 1．如图，BD、CE是△ABC的高． 求证：△ADE∽△ABC. 2.如图，在▱ABCD中，过点B作BE⊥CD， 垂足为E，连接AE，F为AE上一点， 且∠BFE＝∠C. (1)求证：△ABF∽△EAD； (2)若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长； (3)在(1)、(2)的条件下，若AD＝3，求BF的长．

作业 1．如图，BD、CE是△ABC的高． 求证：△ADE∽△ABC.

2.解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠BAF＝∠AED，∠C＋∠D＝180°. 又∵∠C＝∠BFE，∠BFE＋∠BFA＝180°， ∴∠D＝∠AFB， ∴△ABF∽EAD. (2)∵AB∥CD，BE⊥CD， ∴∠ABE＝90°. 在Rt△AEB中，∠BAE＝30°，AB＝4，

四 直角三角形的射影定理

1.射影 点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。 点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。 N M A B A´ B´ A N M A´ A 一条线段在直线上的正射影 线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。 点和线段的正射影简称射影

射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 探究：△ABC是直角三角形，CD为斜边AB上的高。你能从射影的角度来考察AC与AD，BC与BD等的关系。你能发现这些线段之间的某些关系吗？ 射影定理 直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 A B D C ∵AB²=AC²+BC² ∴(AD+BD)²=AC²+BC² 即2AD·BD=AC²-AD²+BC²-BD² ∵AC²-AD²=CD²，BC²-BD²=CD² ∴2AD·BD=2CD² ∴CD²= AD·BD 而AC²=AD²+CD²=AD²+AD·BD =AD(AD+BD)=AD·AB 同理可证得BC²= BD·AB ∽ ∽ A B D C ∽ 用勾股定理能证明吗?

例1 如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D. AD=2,DB=8, 求CD,AC和BC的长. A B D C O

总结： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可 以求出其余四条线段，有时需要用到方程的 思想。 A B D C

BD=144,AB=169,AC=65,BC=156 5 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长 习题1.4 1. 直角△ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长 A B D C BD=144,AB=169,AC=65,BC=156 B A C D O 2.(2007广州一模)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于_____． 5

例2 △ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且 CD²=AD·DB 求证： △ABC是直角三角形。 证明:在△CDA和△BDC中, ∽

总结： 1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和比例中项的表达式——射影定理。 2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明线段等积式。 3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的基本图形的能力。 4、数学思想：方程思想和转化思想。

平行线等分线段定理 平行线分线段成比例定理 推论1 推论2 推论 1.2节例3 引理 预备定理 判定定理3 判定定理1 判定定理2 相似三角形概念 直角三角形相似的判定定理 射影定理 相似三角形性质 射影概念 勾股定理

数学方法: 1.从特殊到一般的思考方法. 在研究数学问题时,通过考察特殊性问题获得一般规律的猜想,并从中得到证明一般规律的思想方法的启发;然后由特殊过渡到一般,对一般性结论作出严格证明. 2.化归思想方法. 在研究问题时,常常通过一定的逻辑推理,将困难的,不熟悉的问题转化为容易的熟悉的问题.恒等变形,换元法,数形结合法,参数法等,都是具体的化归方法.相似三角形的证明采用了化归为预备定理的方法.