龍華科技大學 機械工程系 微積分（一）網路教學 　　　　李瑞貞老師

課程大綱 第一章 極限與連續性 1.1 極限的定義與基本性質 1.2 單邊極限 1.3 無窮極限 1.4 連續性

第二章 導數與不定式 2.1 導數與可微分 2.2 函數導數的基本公式 2.3 高階導數與隱函數的導數 2.4 三角函數與反三角函數的導數 2.5 指數函數與對數函數的導數 2.6 不定式

第三章 導數的應用 3.1 切線與法線方程式 3.2 極值的定義 3.3 函數的圖形 3.4 極值的應用題與相關變率 3.5 微分符號的應用

第四章 多變數函數的微分學 4.1 極值與連續性 4.2 偏導數與微分 4.3 鏈導法則與隱函數的導數 4.4 二變數函數的極值

第一章 極限與連續性 §1.1 極限的定義與基本性質 考慮一邊長為的正方形，如圖1.1.1 所示，則其面積 為邊長 的函數，即

我們仔細觀察二者的變化關係如下表所示: 4 4.5 4.9 4.99 5 5.01 5.1 5.5 6 16 20.25 24.01 24.90 25 25.10 26.01 30.25 36 由上表得知，當 趨近於 5 時，則 趨近於 25， 因此我們說當 趨近於 5 時， 的極限值等於 25， 我們用 表示之。

因此，對於任何函數 ，當 的值趨近於 ( 但不等於 ) 時，若 的值趨近 ，則我們寫作 為了提到“極限值”這個名詞，我們特別使用“趨近 於”(close) 這個語句去詮釋，事實上，我們亦可用“大 約、大概、逼近於……”等語句來解釋“極限值”這個名詞上 所代表的意義。

定義1.1.1 極限值 ( limit ) ■

(1) 極限性的唯一性:若 存在，則其值必 為唯一。 (2) 為實數常數。 (3)若 且 ( 與 為實數常 數)，則 (a) (b) 定理1.1.1 極限值的基本定理 (1) 極限性的唯一性:若 存在，則其值必 為唯一。 (2) 為實數常數。 (3)若 且 ( 與 為實數常 數)，則 (a) (b) (c) 且

(d) 為實數常數。 (e) 當 為偶數正整數時則恆需 。 (f)

例1. 試用趨近的觀念求下列各極值 (1) (2) (3) 設 試求 解: (1) ■ (2) ■ (3) 但 ■

例2. 試利用通分與約分的技巧求下列各極值 (1) (2) (3)

解: (1) ■ (2) 原式

(3) 原式 ■

例3: 試利用有理化的技巧求下列各極值 (1) (2)

解: (1) ■

(2) ■

定理1.1.2 極限的不等式 若 與 且 則 □

定理1.1.3 三明治定理 ( 挾擠定理 ) 若 且 存在，則 ， 為實數常數 □

§ 1.2 單邊極限 定義1.2.1 單邊極限 (1)左極限: (2)右極限: ■

定理1.2.1 極限的存在定理 □ 例1. 試求下列各極限值 (1) (2) (3) (4)

解: (1) 不存在 不存在■

(2) 不存在 ■

(3) 不存在 ■

(4) 不存在 ■

例2. 試求下列各極限值 (1) (2) 解: (1) 不存在 ■

(2) 無意義 (即不存在) 不存在 ■

§1.3 無窮極限 定義1.3.1 無窮極限 ( infinite limits ) (1) (2) (3)

(4) (5) (6) (7) (8)

(9) (10) ■

定義1.3.1 在 或 的極 限值 (1) (2) ■

例1. 試求下列各極限值 (1) (2) 解：原式 ■

(2) 原式 ■

§ 1.4 連續 由定義得知，若函數 在 連續，則必須滿足 下列三個條件: 定義1.4.1 連續 ( Continuity ) § 1.4 連續 定義1.4.1 連續 ( Continuity ) 函數 在 連續 ■ 由定義得知，若函數 在 連續，則必須滿足 下列三個條件: (1) 函數值 存在 ( 即 必在函數 的定義域內)， (2) 極限值 存在，亦即極限值 且 成立， (3) ( 即“極限值等於函數值” )。

█ 若函數 在 連續， I，則稱函數 定義1.4.2 左連續、右連續 (1) 函數 在 為左連續 : (2) 函數 在 為右連續 : 定義1.4.2 左連續、右連續 (1) 函數 在 為左連續 : (2) 函數 在 為右連續 : █ 定義1.4.3 若函數 在 連續， I，則稱函數 在區間 I 內連續。 ■

定理1.4.1 若函數 在 內連續，而且 與 存在，則函數 在 內連 續。 □

下面幾個例子即是函數 在 不連續的情況:

例1. 試討論下列各函數的連續性 (1) (2) (3) (4)

解: (1) 的定義域，即函數值 存在。 即 在 不連續，但在 處均 連續。

(2) 的定義域即函數值 存在 即 在 為連續，在 處亦連續。

(3) 的定義域即函數值 不存在 在 不連續，但在 處均連續。

(4) 的定義域即函數值 存在 不 存在 在 不連續，但在 處均連續。

定理1.4.2 連續的基本性質 (1) 若 與 在 均為連續函數，則 與 與 以及 為常數 且 在 均為連續函數。 (2) 若 在 連續，且 在 連續， 則 在 連續。 (3)多項式函數、有理函數與三角函數、指數函數、對 數函數、雙曲線函數等超越函數在它們的定義域內 均為連續函數。 □

例2. 試求下列各題; (1) 設 為連續函數，試求 值。 (2) 設 為連續函數，試求 值。

解: (1) 且 又 為連續函數 即 ■

(2) 且 與 又 為連續函數 即 ■

第二章 導數與不定式 §2.1 導數與可微分 定義2.1.1 函數 在 的導數 若函數 在 為連續，而且極限值 存在，則稱 在 處為 可微分的( differentiable )，而且稱此極限 為 在 的導數 ( derivative )， 記為 ，即 ■

由定義2.1.1得知，我們若用 與 分別表示函數 在 的右導數與左導 數，則我們有 而且導數 其它型式如下: 由定義2.1.1得知，我們若用 與 分別表示函數 在 的右導數與左導 數，則我們有 而且導數 其它型式如下:

定義2.1.2 函數 的導數 若 在區間 內為連續函數，則 稱為函數 在 的導數 ( derivative ) 或函數 對 的微分 ( differential )。 若 存在，則稱 在 處為可微 分( 的 )。 ■

函數 之導數 的其它型式為 事實上，導數的定義都是根據函數的幾何意義與其它 意義而來，我們說明如下:   函數 之導數 的其它型式為 事實上，導數的定義都是根據函數的幾何意義與其它 意義而來，我們說明如下:

1. 幾何上的意義:求切線的斜率 設 在區間 內為連續函數，考慮此函 數 在 平面上的圖形，假設 與 分別為圖形上的兩點，如圖2. 1 1.  幾何上的意義:求切線的斜率 設 在區間 內為連續函數，考慮此函 數 在 平面上的圖形，假設 與 分別為圖形上的兩點，如圖2.1.1所示，則經 過 與 兩點之割線的斜率為

圖2.1.1 割線斜率

令動點 沿著曲線移動而趨近於固定點 ，使得 且 ，則我們將得到函數 圖形上經過切點 的切線斜率為 令動點 沿著曲線移動而趨近於固定點 ，使得 且 ，則我們將得到函數 圖形上經過切點 的切線斜率為

顯然地，此斜率 即為函數 在 之導數的定義。此處 與 分別為 與 的增量 ( increment )，而且當 與 時，則 有 與 均表示極微小的量，亦有 ( 即， 在 的導數或 對 的微分可視為 除以 )

2.  物理與化學工程上的意義:求瞬時變化率 考慮一連續之物理( 或化學 )工程的實驗，假設 某物體( 或物質 )在時間 時的數量為 且 時間 時的數量為 ，則此物體( 或物質 ) 在時間 內數量的變化為 ，而且其平均變化為

令 即令 ，則我們將得到此物體( 或 物質 )在時間 的瞬時變化率為 顯然地，此時瞬時變化率即為函數 在 之導數的定義。此處 為連續函數且 與 分別為 與 的增量。

例1. 試用導數定義求下列各函數的導數 (1) (2) 解: (1)

(2)

例3. 試求下列函數在 的導數 (1) (2) 解: (1) █

(2) █

例3. 設 試求 解: █

定理2.1.1 ⁘ 證明:令 ，則

其中 與 同理，令 ，則

我們得證

定理2.1.2 若函數 在 處為可微分，則 在 處連續，反之不然。 □ 證明: 在 處為可微分 存在 又 即得證 #

[註]1.函數 在 為不連續， 則 在 “必定”不可微分。 2.函數 在 連續，則 在 “不一定”可微分。 (可微分 連續) [註]1.函數 在 為不連續， 則 在 “必定”不可微分。 2.函數 在 連續，則 在 “不一定”可微分。 (可微分 連續) (不連續 不可微分)

§ 2.2 函數導數的基本公式 定理2.2.1 為常數。 □ 定理2.2.2 ， 為常數。 □ 定理2.2.3 □

定理2.2.4 □ 定理2.2.5 定理2.2.6 □ 定理2.2.7 □

例1.  試求下列各函數的導數 (1) (2) 解: (1) ■

例2.  試求下列各函數的導數 (1) (2) (3)

解: (1) ■

(2) ■ (3)

定理2.2.8 連鎖律 ( Chain Rule ): 合成函數的導數 (1)  設 在 處可微分且 在 處可微 分，若 ，則 在 處可 微分且 (2)   設 與 在 處均可分，則 (3)  

例3.  試求下列函數的導數 (1) (2) (3)

解: (1) ■ (2)

(3) ■

例4. 試討論下列函數的連續性與可 微分性 (1) (2) (3)

解: (1) 又 在 為連續 ■

(2) 即 且 在 不連續 ■

(3) 又 在 連續 ■

例4.  試求出所有常數 及 的值使 得函數 在 可微分 解: 在 可微分 在 連續

即 ① ② 由 ①② 得知 ■

例5.  設 且 ， 試求 解: 令 ，則 ， 即 ■

例6. 若 ，試求 解： 其中 ■

例7. 若 且 ，試求 解: 而且 ■

§ 2.3 高階導數與隱函數的導數   定義2.3.1 高階導數 若 為可微分函數，則其高階導數為 (1) 一階導數: 記號:

(2) 二階導數: 記號: (3) 三階導數:

(4)        階導數: 記號: ■

例1. 試求下列函數的 階導數 (1) (2) 且 解: (1) ■

(2) ■

例2. 若 ，則 解: 且

例1.試求函數 的 與 解:

■

例4. 若 ，試在 與 時求 與 解:

§ 2.4 三角函數與反三角函數的導數 1.  角的度量單位:度度量(grade)與弳度量(radian)之間的 換算為

度度量 弳度量

圖2.4.1 度度量與弳度量

1.  圓弧長與扇形面積:設有一圓 ，半徑為 ，扇形 的圓心角為 ，則有 (1)  弧長 (2)  扇形面積 其中 為弳度量。

3.  三角函數的定義: (1)  三角正弦函數 (2)  三角餘弦函數 (3)  三角正切函數

(4) 三角餘切函數 (5) 三角正割函數 (6) 三角餘割函數

三角函數 象 限 第一象限 + 第二象限 － 第三象限 第四象限

4.  三角函數的定義域與值域: 函 數 定 義 域 值 域

5.  三角函數在特別角的值與三角函數 的圖形: (1) 三角函數在特別角的值 1 2 -2

1 -2 2

(2) 三角函數的圖形:

  6.  三角恆等式 (1)  平方關係: (2)  複角公式:

(3)   倍角公式與半角公式

(4)   和差化積公式 口語:

(5)  積化和差公式:

(6) 正弦定律: (7)  餘弦定律: (8) 三角形的面積

定理2.4.1 三角函數的導數 (1) (2) (3) (4) (5) (6) □

例1. 試求下列各函數的導數 (1) (2) 解: ■

定義2.4.1 反三角函數 (1)  反三角正弦函數: (2)  反三角餘弦函數: (3)  反三角正切函數:

(4) 反三角餘切函數: (5) 反三角正割函數: (3) 反三角餘割函數: 且 ■  

定理2.4.3 三角函數與反三角函數的關係: “三角函數與反三角函數互為反函數”。□

1.若 則 此處 而且 2.若 則 此處 3.若 則 此處

4.若 則 此處 而且 5.若 則 此處 6.若 則 此處

三角函數的圖形如下:(僅考慮黑色實線部份，虛線部分表示不存在)

定理2.4.3 反三角函數的導數 (1) (2) (3) (4) (5) (6) □

例2. 試求下列各函數的導數 (1) (2) 解: (1) ■

(2) ■

§ 2.5 指數函數與對數函數的導數 (一) 指數函數的介紹 1. 指數函數的定義:以 為底的指數函為 且 2. 指數函數的圖形:

3. 指數函數的基本性質:若 且 與 且 ，則有 (1) (2)指數律 ，其中 與 為任意函數。

(二) 對數函數的介紹 1.對數函數的定義:以 為底的對數函數為 且 2.對數函數與指數函數的關係: “對數函數與指數函數互為反函數”

即 (1) 若 則 且 ① 即 ② 即 (2) 若 則 ① 即 ② 即

3.  對數函數的圖形:

4.  對數函數的基本性質:若 且 與 且 ，則有 (1) (2) ， (3)

(4) 其中 與 為任意函數而且 (5) 且 (6) 且 (7)

(三) 自然指數函數的介紹 1. 自然指數函數的定義:以 為底的自然指數函數為

2.  自然指數函數的圖形

3. 自然指數函數的基本性質: (1) (2) 自然指數律 (四) 自然對數函數的介紹 1.  自然對數函數的定義:以 為底的自然對數函數為

2.自然對數函數與自然指數函數的關係: “自然對數函數與自然指數函數互為反函數”。 即 (1) 若 則 ① 即 ② 即 (2) 若 則 即 (1) 若 則 ① 即 ② 即 (2) 若 則 ① 即 ② 即

3. 自然對數函數的圖形:

4. 自然對數函數的基本性質: (1) (2) ， (3) ，

(4) 且 (5) 其中 與 為任意函數，而且 (6) 且 (7) 且

定理2.5.1 指數函數與對數函數的導數 (1) (2) (3) 且

(4) (5) 且 (6) 且 且 □

例1. 試求下列各函數的導數 (1) (2) 解:(1) ■ (2)

例2. 試把 兩邊同時對 微分 解: ■

例3. 試利用對數微分法求函數 的導數 解:

■

  §2.6 不定式 極限的基本定理：若 且 ，其中 與 均為實數，則有 1. 2. 3. 4 . 且

倘若有關極限的問題不滿足上面基本性質，我們稱此極限值問題為不定式。常見的不定式共可分為 七種。

定理2.6.1 L’Hospital’s 第一法則 設函數 與 在區間內除了 之外均 為可微分，而且在 時有 與 ， 則若 且 或著 且 ，我們有 □

  定理2.6.2 L’Hospital’s 第二法則 設函數 與 在 之外均為可微分， 而且在 時有 與 ， 則若 或著 且 ，我們有 □

例1. 試求 與 解: 由 L’Hospital’s 第一法則得知 同理， ■

例2. 試求 解: 由 L’Hospital’s 第一法則得知 ■

例3. 試求 解: 由 L ’Hospital’s 第一法則得知 ■

例4. 試求 解: 由L’Hospital’s第二法則得知 ■

例5.試求 解: ■

例6. 試求 解: ■

例8. 試求 解:   ■

例9. 試求 解: ■