等腰三角形 本节内容 本课内容 2.3

我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？

探究 任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图. 作△ABC 关于顶角平分线AD所在直线的轴反射， 1 2 D

射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 ； 线段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 ； 点B的像是点C， 点C的像是点 ； 线段BC的像是线段CB. 从而等腰三角形ABC关于直线 对称. AB AB B AD

由于点D的像是点D， 因此线段DB的像是线段 ， 从而AD是底边BC上的 . 由于射线DB的像是射线DC， 射线DA的像是射线 ， 因此∠BDA ∠CDA= °， 由于射线BA的像是射线CA， 射线BC的像是射线 ， 因此∠B ∠C. DC 中线 DA = 90 高 CB =

结论 由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.

结论 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”). 等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对等角”).

动脑筋 如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C 的大小之间有什么关系呢？ 因为△ABC是等边三角形， 所以AB=BC=AC， 由三角形内角和定理可得： ∠A=∠B=∠C=60°.

结论 由此得到等边三角形的如下性质： 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.

由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.

举 例 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 在边BC上，且AD=AE. 求证：BD=CE. 证明 作AF⊥BC，垂足为点F， 则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线. ∴ BF=CF， DF=EF， ∴ BF-DF=CF-EF， F 即 BD=CE.

议一议 如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上. （1）AD与BC是否垂直，试说明理由. （2）这时BC处于水平位置，为什么？

练习 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上 的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度 数及DC的长.

2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一 点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC 的度数. 答：∠DPC =20°.

探究 我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？

3cm 3cm 我测量后发现AB与AC相等.

事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折， 得∠BAC的平分线AD交BC于点D， 则∠1=∠2. D 又∠B=∠C， 1 2 由三角形内角和的性质得 ∠ADB=∠ADC.

沿AD所在直线折叠， 由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2， 所以射线DB与射线DC重合， 射线AB与射线AC重合. 从而点B与点C重合， 于是AB=AC.

有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”). 结论 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).

结论 由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理： 三个角都是60°的三角形是等边三角形.

举 例 例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E 分别是AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴ ∠ADE=∠AED. 于是△ADE为等腰三角形.

动脑筋 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？

如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC. 由三角形内角和定理得 ∠A+∠B+∠C= 180°. 如果顶角∠A=60°， 则∠B+∠C= 180°-60°=120°. 又 AB=AC， ∴ ∠B=∠C. ∴ ∠B=∠C=∠A=60°. ∴ △ABC是等边三角形.

结论 由此得到另一条等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

举 例 例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE. 求证：△ADE是等边三角形. ∴∠BAC=∠B=∠C= 60°. ∵∠EAD=∠BAC= 60°， 又 AD =AE， ∴△ADE是等边三角形 （有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

练习 1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形. A B C D E O 证明 ∴ ∠ABD =∠DBC= ， ∠ACE =∠ECB= ，

又∵ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠ABC =∠ACB， A B C D E O ∴ ∠DBC =∠ECB， ∴ △OBC是等腰三角形.

2. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE 交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°. 求证：△ACE是等边三角形. 证明 ∵CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD =∠DCB， 又∵∠ACE=60°， ∴ ∠ACD=∠DCB=60°， 又 ∵ AE∥DC， ∴ ∠BCD=∠E=60°， ∴ 在△ACE中，∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 ° ∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.

3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. 证明 ∵ AB=BC， ∴ △ABC是等腰三角形， 又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE. ∴ ∠EDF=∠FDC=60°， 又∵DF∥BA， ∴ ∠FDC=∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形.

中考 试题 例1 等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（ ） B A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D.14cm B 解析 另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，故选5. ∴周长为5+5+2=12cm.

中考 试题 例2 若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） D A. 50° B. 80° 若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 65°或50° D. 50°或80° D 解析 因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.

结 束