第八章　立体几何与空间向量 第四节　空间点、直线、平面之间的位置关系

考 纲 要 求 1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的四个公理和空间等角定理． 2．理解异面直线所成角的概念；会求异面直线所成的角.

课 前 自 修 知识梳理 一、平面的基本性质 1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 2．公理2：经过_________________的三点，有且只有一个平面． 3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有一条________的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 两点 不在同一条直线上 一个 经过该点

二、直线与直线的位置关系 1．位置关系的分类． (1)共面直线：________或________； (2)异面直线：不在________一个平面内的两条直线． 2．异面直线所成的角． (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的______________叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)． 相交 平行 任何 锐角或直角

(2)范围：__________. 3．直线与平面的位置关系有________、________、____________三种情况． 4．平面与平面的位置关系有________、________两种情况． 5．平行公理：平行于同__________的两条直线互相平行． 6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________． (0°，90°] 平行 相交 在平面内 平行 相交 一条直线 相等或互补

基础自测 1．已知A，B，C为空间三点，经过这三点(　　) A．能确定一个平面 B．能确定无数个平面 C．能确定一个或无数个平面 D．能确定一个平面或不能确定平面 解析：由于题设中所给的三点A，B，C并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”． 当A，B，C三点共线时，经过这三点就不能确定平面；当A，B，C三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面．故选D. 答案：D

2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b(　　) D．不可能是相交直线 解析：c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾．故选C. 答案：C

3．(2012·河北八校联考)已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：直线EF和GH不相交，则EF与GH平行或异面，故E，F，G，H四点可能共面． 答案：B

4．(2013·惠州市二模)给出命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行平面α； ③两异面直线a，b，如果a⊥平面α，那么b不垂直于平面α； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线． 上述命题中，真命题的序号是__________． 解析： ②中b也可能与平面α平行；④中两异面直线在同一平面内的射影也可能是两条平行直线. 答案： ①③

考 点 探 究 考点一 平面的基本性质 【例1】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并请说明理由． (1)直线AC1在平面CC1B1B内；

(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1； (3)由点A，O，C可以确定一个平面； (4)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1； (5)直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C上的直线，若l与m相交 ，则交点一定在直线CD上． 思路点拨：根据三个公理及其推论进行判断．

解析：(1)错误．若AC1⊂平面CC1B1B，又BC⊂平面CC1B1B，则 A∈平面CC1B1B，且B∈平面CC1B1B， ∴AB⊂平面CC1B1B，与AB⊄平面CC1B1B矛盾． (2)正确．因为O，O1是两平面的两个公共点，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1. (3)错误．因为A，O，C三点共线． (4)正确．因为A，C1，B1不共线，∴A，C1，B1三点确定平面α.又AB1C1D为平行四边形，AC1，B1D相交于点O2，而O2∈α，B1∈α， ∴B1O2⊂α.而D∈B1O2，∴D∈α. (5)正确．若直线l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上．

变式探究 1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上． 同理可知，点C也在γ与β的交线上． 答案：D

考点二 点共线、线(点)共面的证明 【例2】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 思路点拨：(1)连接CD1，可证得EF∥CD1；(2)先证CE与D1F相交于P，再证P∈AD.

证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1. ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF＜CD1， ∴CE与D1F必相交于一点，设交点为P， 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD， 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点．

变式探究 2．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B，D，O三点共线． 证明：∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD. 同理可证O∈平面BCD， ∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD. ∴B，D，O三点共线．

点评：(1)证明若干线(点)共面，首先根据公理3或推论，由题设条件中的部分线(点)确定一个平面，再根据公理1证明其余的线(点)都在这个平面内．(2)要证明若干点共线，先证明这些点都是某两个平面的公共点，再运用公理2得出这些点都在这两个平面的交线上，即这些点共线．

考点三 两条直线的位置关系 【例3】 如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点． (1)判断AM和CN的位置关系，并说明理由； (2)判断D1B和CC1的位置关系，并说明理由

思路点拨：空间中直线有三种位置关系，通过图形观察两直线可能具有的关系，选择适当的方法求解．(1)两直线AM和CN延长可能相交，实际上，由于M，N分别是A1B1和B1C1中点，可证得MN∥AC，故AM，CN共面；(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，直接证明有难度，判断的方法可用反证法． 解析：(1) AM和CN是相交直线．理由： 连接MN，A1C1，AC， ∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点， ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C，

∴A1ACC1为平行四边形． ∴A1C1∥AC，得到MN∥AC， ∴A，M，N，C在同一平面内．又AM和CN不平行， 故AM和CN不是异面直线是相交直线． (2)D1B和CC1是异面直线．证明如下： ∵ABCDA1B1C1D1是长方体， ∴B，C，C1，D1不共面． 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α， ∴D1，B，C，C1∈α， ∴与ABCDA1B1C1D1是长方体矛盾． ∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

点评：公理4是论证空间中两条直线平行的重要方法之一，使用公理4的关键是选择第三条直线作“桥梁直线”；判定两条直线是异面直线，常用反证法，即证明两直线既不相交，也不平行．

变式探究 3．在下图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析：由题知，①中，直线GH∥MN； 图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面． 答案：②④

考点四 异面直线所成的角 【例4】　(1)(2011·大纲全国卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为______________． (2)如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，且PA＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC 所成的角的正切值等于____________．

思路点拨：求异面直线所成角的关键是作出角．对于(1)，可取A1B1的中点F，则EF∥BC，从而将两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的平面角，把问题化归为求解三角形的内角；对于(2)，题中所给的条件正好完全符合正方体的特征，于是可将其补形成一个正方体，从而构造出相应的平面角来．

(2) 如图，将此几何体补形成一个正方体DBCA-D1B1C1P，PB与AC所成的角的大小即为此正方体体对角线PB与棱BD所成角的大小．容易求得tan∠DBP＝ ＝ . 答案：(1)　 (2)

点评：(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,90°]，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． (2)本例平移直线的策略分别是直接平移、补形平移，若题设中出现等分点(尤其是中点)，有时也可利用等分点(尤其是中点)构造平行线(如中位线)达到平移的目的．

变式探究 4．A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角． (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

(2)解析：如图，取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角． 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.

课时升华 1．公理的作用：公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其3个推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据． 2．证明点线共面的常用方法：(1)纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． 3．要注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能够从集合的角度阐述点、线、面之间的联系．此外，还要注意平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确，如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”、“同垂直于一条直线的两条直线平行”等在空间就不一定成立．

4．空间两条直线位置关系有三种情况：相交、平行、异面，而两条直线异面是重点．要正确理解异面直线的定义，其特征是既不相交又不平行． 要弄清楚“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在两个平面内的两条直线”这两种说法的区别．前者所指的两条直线是异面直线，后者所指的两条直线不一定是异面直线． 5．找出两平行直线的常见方法：①利用公理4；②利用平行四边形的性质；③利用中位线或线段成比例． 6.(1)判定空间两直线是异面直线的方法：①依据异面直线的定义判定；②反证法． (2)求两条异面直线所成的角的大小， 一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．其关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交．平移直线的方法有：①直接平移；②补形平移；③等分点平移．

感 悟 高 考 品味高考 1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l1∥l3⇒l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 解析：对于选项A，直线l1，l3可能异面，不正确；对于选项C，直线l1，l2，l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线而不共面，不正确；对于选项D，直线l1，l2，l3相交于同一点时不一定共面，不正确．故选B. 答案：B

2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60° 2．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．

高考预测 1. (2012·安庆市模拟)如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中， ①CN与BE是异面直线；②平面DEM∥平面ACF；③DE⊥BM; ④AF与BM所成的角为60°；⑤BN⊥平面AFC. 在以上的五个结论中，正确的是________(写出所有正确结论的序号)．

解析：如上图，将展开图恢复成正方体，可以看出①CN与BE是平行直线．②利用面面平行的判定定理可以证明平面DEM∥平面ACF 解析：如上图，将展开图恢复成正方体，可以看出①CN与BE是平行直线．②利用面面平行的判定定理可以证明平面DEM∥平面ACF.③∵DE∥CF，CF⊥BM，∴DE⊥BM.④平移AF到DM，可知AF与BM所成角为60°.⑤用线面垂直的判定定理可证BN⊥平面AFC.∴②③④⑤正确． 答案：②③④⑤

2．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA＝2，∠AOP＝120°. (1)求三棱锥A1APB的体积； (2)求异面直线A1B与OP所成角的余弦值．

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