第三章 频滤域滤波 4.1 频域世界与频域变换 4.2 傅立叶变换 4.3 傅里叶变换的性质 4.4 频域滤波 图像平滑 图像锐化

3.1 频域世界与频域变换 图象变换的引入 方法分类 可分离、正交变换: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DWT 。 用途 3.1 频域世界与频域变换 图象变换的引入 1. 方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。 2. 目的：有利于加工、处理[滤除不必要信息(如噪声)，加强提取感兴趣的部分或特征]。 方法分类 可分离、正交变换: 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-DWT 。 用途 1．提取图象特征（如）：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)； （2）目标物边缘：F（u,v）高频分量 2．图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。 3．图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。

任意波形可分解为正弦波(余弦波)的加权和 频域变换的引入 任意波形可分解为正弦波(余弦波)的加权和

空域和频域之间的变换可用数学公式表示如下： 为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法: 完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。

若X到Y为正变换，则由Y到X反变换一定存在； A-1=AT，计算简单； 是线性变换，变换前后能量不变。 为什么选择正交变换？ 变换后能量更加集中，相关性大大减少； 若X到Y为正变换，则由Y到X反变换一定存在； A-1=AT，计算简单； 是线性变换，变换前后能量不变。

3.2 傅 立 叶 变 换 （Fourier Transform） 1. 背景介绍 法国伟大的数学家，主要贡献： 3.2 傅 立 叶 变 换 （Fourier Transform） 1. 背景介绍 法国伟大的数学家，主要贡献： 傅立叶级数：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式。 傅立叶变换：非周期的任意函数也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示。 傅立叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768-1830 )

2. 连续函数的傅立叶变换 若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。 当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x) （1） 具有有限个间断点； （2） 具有有限个极值点； （3） 绝对可积。

则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。 一维傅立叶变换对的定义为 式中x称为时域变量，u称为频域变量。

以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x, y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为 式中：x, y为时域变量；u, v为频域变量。

3. 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform－DFT) 设{f(x)|f(0), f(1), f(2), …, f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样， 其一维离散傅立叶变换对为 式中：x，u=0， 1， 2， …, N－1。

通常傅立叶变换为复数形式， 即 式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。 其中 |F(u)|————f(x)的频谱或傅立叶幅度谱； φ(u) ————f(x)的相位谱；E(u) ——能量谱或功率谱。

二维离散傅立叶变换对定义为 式中：u, x=0, 1, 2, …, M-1；v, y=0, 1, 2, …, N-1。 二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为

例 二： 16×16的图像原始灰度值

傅立叶变换后的频谱幅度值

对傅立叶变换计算结果的讨论与分析： 傅立叶变换后F(0,0)代表什么含义？ 傅立叶变换后高频和低频分量怎样分布，各自幅度值有何特点？ 为什么说傅立叶变换后能量更加集中，图像中的大部分能量集中在高频还是低频？

傅立叶变换结果示意图 1 2 DFT 频移 3 原图像 DFT的频谱分布 1 直流成分 2 低频成分 3 高频成分 1 直流成分 2 低频成分 3 高频成分 坐标原点在窗口的左上角，即变换后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低频成分。对原图乘以 后进行傅里叶变换，观察频谱图（c）可知，变换后的坐标原点移至频谱图窗口中央，因而围绕坐标原点是低频，向外是高频。 图像的能量主要集中在低频区，即图像的中央位置，而相对的高频区（左上、右上、左下、右下四个角）的幅值很小或接近于0。

离散傅立叶变换的显示: 通过傅立叶变换模来显示傅立叶变换图象。由于模的值域大于显示的值域，因此要进行动态值域的压缩 D(u,v) = c log(1 + |F(u,v)|) 其中： c = 255 / k; k = max(log(1 + |F(u,v)|))

原图 傅立叶变换后的图

频移后的图

细节较少图片的傅立叶变换

细节中等图片的傅立叶变换

细节较多图片的傅立叶变换

3.3 傅 立 叶 变 换 的 性 质

F(u,v)=1/MN [f(x,y)e(-j2vy/N)] e(-j2ux/M) x=0 y=0 1. 可分离性 一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。 M-1 N-1 F(u,v)=1/MN [f(x,y)e(-j2vy/N)] e(-j2ux/M) x=0 y=0 u = 0, 1, 2, …M-1; v = 0, 1, 2, ...N-1 f(x,y)= [F(u,v)e(j2vy/N)] e(j2ux/M) u=0 v=0 x = 0, 1, 2, ...N-1; y = 0, 1, 2, ...N-1

先对行做变换： F(x,v) f(x,y) －然后对列进行变换： F(u,v) F(x,v) （0，0） （N-1，M-1） x y

(a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱 2. 平移性质 只要将f(x, y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M／2, N／2）处。 (a) (b) (c) 傅立叶频谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱

3. 线性 傅立叶变换是线性系统的函数变换，设： f(x,y) 的傅立叶变换为F{f(x,y)} g(x,y)的傅立叶变换为F{g(x,y)} 有：F{f(x,y)+g(x,y)} = F{f(x,y)}+F{g(x,y)}

4. 周期性 DFT和它的逆变换是以N为周期的： F(u) = F(u + N) 对于二维傅立叶变换有： 4. 周期性 DFT和它的逆变换是以N为周期的： 对于一维傅立叶变换有： F(u) = F(u + N) 对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F(u + M,v+N)

5. 共轭对称性 傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数： 对于一维傅立叶变换有： F(u) = F*(-u) 对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F*(-u ,-v)

6. 旋转不变性 如果时域中离散函数旋转θ0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。 离散傅立叶变换的旋转不变性 (a) (b) (d) (c) 离散傅立叶变换的旋转不变性 （a） 原始图像 （b） 原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转45°后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱。

7. 相似性 相似性的描述： a f(x,y)  a F(u,v) 且有： f(ax,by)  1/|ab|F(u/a,v/b)

【例】比例尺度展宽（相似性）。 （c）比例尺度a=0.1，b=1，展宽后的频谱 （b）比例尺度展宽前的频谱 （a）原始图像

8. 卷积的性质 卷积定理的描述： 空域中的卷积等价于频域中的相乘。 f(x,y)*g(x,y)  F(u,v)G(u,v) F{f(x,y)*g(x,y)} = F(u,v)G(u,v) 同时有： f(x,y) g(x,y)  F(u,v)*G(u,v)

3.4 频 域 滤 波 频率域的基本性质： 频域的中心邻域对应图像中慢变化部分，较高的频率开始对应图像中变化较快的部分（如：物体的边缘、线条等）。

卷积定理： 空间域的乘法对应频域卷积

频域滤波的折叠误差干扰 使用DFT进行滤波操作，图像及其变换均视为周期性的。 若周期关于函数的非零部分持续时间很靠近，则对周期函数执行卷积运算会导致相邻周期间的干扰——折叠误差干扰。 通过使用零填充函数的方法避免折叠误差干扰。

频域滤波的步骤 计算图像的离散傅立叶变换F(u,v) 用滤波函数 H(u,v) 乘以F(u,v) 计算乘积的离散傅立叶反变换 39

一些基本的频域滤波器 Low Pass Filter High Pass Filter 40

低通滤波器滤波结果 41

高通滤波器滤波结果 42

频域平滑滤波器 通过过滤掉频域的高频成分达到平滑目的。 滤波的基本模型: G(u,v) = H(u,v)F(u,v) 其中 F(u,v) 是图像的傅立叶变换结果， H(u,v) 称为滤波器传输函数 低通滤波器（Low pass filters） – 仅保留低频分量而过滤掉高频分量。 43

低通滤波是要保留图像中的低频分量而去除高频分量。 图像中的边缘和噪声都对应图像傅里叶变换中的高频部分，所以通过在频域中的低通滤波可以去除或消弱噪声的影响, 与空域中的平滑方法类似。 根据频域增强技术的原理，要实现低通滤波需要选择一个合适的H(u, v)以得到消弱F(u, v)高频分量的G(u, v)。

理想低通滤波器 将频域中所有与原点的距离超过D0的高频分量截取掉改变距离D0将改变滤波器滤波效果 45

理想低通滤波器 理想低通滤波器的传输函数: 其中D(u,v) 为: D0：是一个非负整数, 理想低通滤波器的截止频率； 46

理想低通滤波器的分析： 理想滤波器传递函数在通带内所有频率分量完全无损地通过，而在阻带内所有频率分量完全衰减。 理想滤波器有陡峭频率的截止特性，但会产生“振铃(ring)”现像使图像变得模糊。

理想低通滤波器 左图为原始图像, 右图为其傅立叶变换结果，并在其上绘出半径分别为5, 15, 30, 80 和 230 的低通滤波器。 48

理想低通滤波器 标准低通振铃现象 严重的振铃现象 Original image Result of filtering with ideal low pass filter of radius 5 标准低通振铃现象 Result of filtering with ideal low pass filter of radius 15 Result of filtering with ideal low pass filter of radius 30 严重的振铃现象 Result of filtering with ideal low pass filter of radius 80 Result of filtering with ideal low pass filter of radius 230 49

Butterworth 低通滤波器 截至频率为D0 的n 阶Butterworth 低通滤波器定义为: 50

巴特沃斯低通滤波器 BLPF 不同于ILPF，BLPF变换函数在带通和被滤除的频率之间没有明显的截断，有一个平滑的过渡带。 对于有平滑(过渡带)的传递函数H(u,v) 的滤波器，定义一个截止频率位置D0，并在D0处使H(u,v) 幅度降到其最大值的50%。 低通巴特沃斯滤波器在高低频率间的过渡比较光滑 BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果

Butterworth 低通滤波器 Result of filtering with Butterworth filter of order 2 and cutoff radius 5 Original image Result of filtering with Butterworth filter of order 2 and cutoff radius 30 Result of filtering with Butterworth filter of order 2 and cutoff radius 15 Result of filtering with Butterworth filter of order 2 and cutoff radius 230 Result of filtering with Butterworth filter of order 2 and cutoff radius 80 52

Gaussian低通滤波器 Gaussian 低通滤波器的传输函数定义为: 53

Gaussian低通滤波器 Original image Result of filtering with Gaussian filter with cutoff radius 5 Result of filtering with Gaussian filter with cutoff radius 30 Result of filtering with Gaussian filter with cutoff radius 15 Result of filtering with Gaussian filter with cutoff radius 85 Result of filtering with Gaussian filter with cutoff radius 230 54

低通滤波器比较 Result of filtering with Butterworth filter of order 2 and cutoff radius 15 Result of filtering with ideal low pass filter of radius 15 Result of filtering with Gaussian filter with cutoff radius 15 55

低通滤波器的应用 使用高斯低通滤波器连接断裂的笔画 人眼视觉填充识别这些字符没有问题，但机器识别系统阅读这些断裂字符将很困难。用GLPF (D0=80) 滤波模糊后，断开的字符连上了，很好地修复了字符。 444×508像素的低分辨率文 本样本，例如扫描、传真、 复印、历史记录等，放大后 可以看到形状失真和字符断裂。 56

低通滤波器的应用 印刷出版－“美容”处理，平滑、柔和的外观。 用D0=80的GLPF滤波 的结果 原始图像 (放大的眼部细纹) 滤波的结果(细纹减少了) 57

低通滤波器的应用 Original image Gaussian lowpass filter Spectrum of original image Processed image 58

频域锐化 图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过，使低频成分削弱，再经傅立叶逆变换得到边缘锐化的图像。 高通滤波器（High pass filters） – 仅保留高频分量，截取低频分量 高通滤波器可通过低通滤波器获得: Hhp(u, v) = 1 – Hlp(u, v) 59

理想高通滤波器 理想高通滤波器定义为: 与低通滤波器类似， D0 为截至频率 60

与低通滤波器相对，IHPF 将以D0 为半径的圆周内的所有频率置为0，而毫不衰减地通过圆周外的任何频率。 和ILPF 一样有振铃现象

理想高通滤波器 (c) D0 = 80 (a) D0 = 15 (b) D0 = 30 a图振铃现象十分严重，以致产生失真，物体的边界也被加粗了(字母a)，顶部三个圆的边缘不清晰，微小的物体和线条显现出几乎纯粹的白色。b图情况有所改善，开始看到对微小物体的过滤，对应的空间滤波器比左图小，但是边缘失真仍然很明显c图的高通滤波图像边缘更加清晰，失真更小，而且细小的物体也能得到正确地过滤 62

Butterworth 高通滤波器 Butterworth 高通滤波器定义为: 其中， n为阶数， D0 为截至频率 63

Results of Butterworth high pass filtering of order 2 with D0 = 30 BHPF 比IHPF 更平滑，相同设置的BHPF边缘失真比IHPF 小得多。 2.巴特沃斯高通滤波器得到的输出图其振铃现像不明显 Results of Butterworth high pass filtering of order 2 with D0 = 15 Results of Butterworth high pass filtering of order 2 with D0 = 80 Results of Butterworth high pass filtering of order 2 with D0 = 30 64

Gaussian 高通滤波器 Gaussian 高通滤波器定义为: D0 为截至频率 65

Results of Gaussian high pass filtering with D0 = 30 GHPF滤波器比2阶Butterworth滤波器的平滑效果要好 Results of Gaussian high pass filtering with D0 = 15 Results of Gaussian high pass filtering with D0 = 80 Results of Gaussian high pass filtering with D0 = 30 66

高通滤波器比较 Results of ideal high pass filtering with D0 = 15 67

高通滤波器比较 Results of Butterworth high pass filtering of order 2 with D0 = 15 68

高通滤波器比较 Results of Gaussian high pass filtering with D0 = 15 69

高通滤波器比较 GHPF 比前两种滤波器更平滑，即使对微小物体和细线用GHPF 过滤也是较清晰的。 Results of ideal high pass filtering with D0 = 15 GHPF 比前两种滤波器更平滑，即使对微小物体和细线用GHPF 过滤也是较清晰的。 Results of Gaussian high pass filtering with D0 = 15 Results of Butterworth high pass filtering of order 2 with D0 = 15 70

三种高通滤波器 效果比较 平滑效果：GHPF>2阶BHPF>IHPF

高频强调滤波 高通滤波去除了图像中的直流分量，图像失去大部分原图像中的背景色调。 补偿方法：给高通滤波器加上一个偏移量并乘以一个大于1的常数——高频强调滤波

高频强调滤波例子 Highpass filtering result Original image High frequency emphasis result After histogram equalisation 73

Highpass Filtering Example 74

Highpass Filtering Example 75

Highpass Filtering Example 76

Highpass Filtering Example 77

本 次 授 课 结 束 谢 谢 ！